2025届高考数学统考一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数与方程课时规范练文含解析北师大版

PAGE其次章函数、导数及其应用第八节函数与方程课时规范练A组——基础对点练1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x＞1，))则函数f(x)的零点为()A.eq\f(1,2)，0 B．－2，0C.eq\f(1,2) D．0解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.答案：D2．(2024·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(－2，－1) D．(－1，0)解析：∵f(－2)＝－eq\f(35,9)，f(－1)＝－eq\f(2,3)，f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.答案：D3．函数y＝eq\f(1,2)lnx＋x－eq\f(1,x)－2的零点所在的区间为()A．(eq\f(1,e)，1) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，3)解析：由题意可知，函数y＝eq\f(1,2)lnx＋x－eq\f(1,x)－2的零点，即为两个函数y＝eq\f(1,2)lnx与y＝－x＋eq\f(1,x)＋2的交点，又因为y＝eq\f(1,2)lnx为增函数，故交点只有一个．∵f(2)＝eq\f(1,2)ln2＋2－eq\f(1,2)－2＝eq\f(1,2)ln2－eq\f(1,2)＜0，f(e)＝eq\f(1,2)lne＋e－eq\f(1,e)－2＝(eq\f(1,2)－eq\f(1,e))＋(e－2)＞0，∴f(2)f(e)＜0，故函数y＝eq\f(1,2)lnx＋x－eq\f(1,x)－2的零点在区间(2，e)内．答案：C4．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x＞0，,－x（x＋2），x≤0))的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：当x＞0时，由lnx＝0可得x＝1，当x≤0时，由－x(x＋2)＝0，即x＝－2或x＝0，故函数的零点个数为3.答案：D5．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案：A6．(2024·贵阳模拟)函数f(x)＝lgx－sinx在(0，＋∞)上的零点个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数，即函数y＝lgx的图像和函数y＝sinx的图像的交点个数，如图所示．明显，函数y＝lgx的图像和函数y＝sinx的图像的交点个数为3，故选C.答案：C7．(2024·宁夏育才中学月考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x＞0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(－1，0) D．[－1，0)解析：当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝eq\f(1,3)，所以只须要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，所以－a∈(0，1]，即a∈[－1，0)，故选D.答案：D8．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若存在x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3，1) D．(1，＋∞)解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.答案：A9．(2024·贵州凯里质检)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，求实数m的取值范围．解析：设函数f(x)＝x2＋mx－6，则依据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))x，x＞0，,2x，x≤0，))若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，求实数k的取值范围．解析：作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示：由图可知k∈(0，1]．B组——素养提升练11．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋lg（x－2），x＞2，,10|x－1|，x≤2，))若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是()A．(0，10] B．(eq\f(1,10)，10]C．(eq\f(1,10)，10) D．(1，10]解析：当x≤0时，f(x)≥10，数形结合可得1＜b≤10.答案：D12．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜a＜b解析：由于f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，且f(x)为R上的增函数．故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)．因为g(2)＝0，所以g(x)的零点b＝2；因为h(eq\f(1,2))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＜0，h(1)＝1＞0，且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，所以h(x)的零点c∈(eq\f(1,2)，1)，因此a＜c＜b.答案：B13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,2x－1，x＞0))a∈R，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．[－1，0) D．(0，1]解析：因为当x＞0时，f(x)＝2x－1，由f(x)＝0得x＝eq\f(1,2)，所以要使f(x)在R上有两个零点，则必需2x－a＝0在(－∞，0]上有一解，又当x∈(－∞，0]时，2x∈(0，1]，故所求a的取值范围是(0，1]．答案：D14．若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0))解析：令g(x)＝xlnx，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．由g′(x)＝lnx＋1，令g′(x)＜0，即lnx＜－1，可解得0＜x＜eq\f(1,e)；令g′(x)＞0，即lnx＞－1，可解得x＞eq\f(1,e)，所以，当0＜x＜eq\f(1,e)时，函数g(x)单调递减；当x＞eq\f(1,e)时，函数g(x)单调递增，由此可知，当x＝eq\f(1,e)时，g(x)min＝－eq\f(1,e).作出函数g(x)和h(x)的简图，据图可得－eq\f(1,e)＜a＜0.答案：D15．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,4x＋1，x≤0))的零点个数是________．解析：当x＞0时，令lnx－x2＋2x＝0，得lnx＝x2－2x，作y＝lnx和y＝x2－2x图像，明显有两个交点．当x≤0时，令4x＋1＝0，∴x＝－eq\f(1,4).综上共有3个零点．答案：316．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，求实数a的取值范围．解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，∴a＝4x－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，∵x∈[－1，1]，∴2x∈eq\b\lc\[\