233点到直线的距离公式~234两条平行直线间的距离

2．3.3点到直线的距离公式2．3.4两条平行直线间的距离知识点点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))题型一、求点到直线的距离1．已知点和直线，则点P到直线l的距离为_______.【答案】【详解】由可得，则点P到直线l的距离为，故答案为：.2．(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)；②3y＝4.(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是eq\f(3\r(10),5)的直线l的方程．【详解】(1)①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)可化为4x－3y＋1＝0，则点P(2，－3)到该直线的距离为eq\f(|4×2－3×－3＋1|,\r(42＋－32))＝eq\f(18,5).②3y＝4可化为3y－4＝0，则点P(2，－3)到该直线的距离为eq\f(|－3×3－4|,\r(02＋32))＝eq\f(13,3).(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.题型二、由点到直线的距离求参数或范围1．已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【详解】因为两点到直线的距离相等，所以有，或，故选：D2．已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意知直线过定点，且不与轴垂直，当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0，当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3，即点到直线的距离的取值范围是，故选：D.3．已知点在直线上,则的最小值为_____.【答案】4【详解】根据题意知，表示原点到直线上的点的距离，大于等于原点到直线的距离，原点到直线的距离为，，的最小值为4．故答案为：4．题型三、两平行线间的距离1．直线与直线之间的距离为_________.【答案】【详解】因为直线与直线平行,而直线可化为，故直线与直线之间的距离为，故答案为：2．两条平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为直线与直线平行,所以,解得,将化为,所以两平行直线与之间的距离为.故选：C3．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．或【答案】B【详解】直线化为，则两直线之间的距离，即，解得.所以实数的取值范围为.故选：B.4．过点的直线与过点的直线平行，且它们之间的距离为，求直线和的方程．【答案】，；或，【详解】当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，此时它们之间的距离为2，不满足题意；当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，即，．它们之间的距离为，，化简得，解得，或，这两条直线的方程为，；或，题型四、距离的综合应用1．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．【详解】(1)如图，显然有0<d≤|AB|.而|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10).故所求的d的变化范围为(0,3eq\r(10)]．(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝eq\f(2－－1,6－－3)＝eq\f(1,3)，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.2．已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？【详解】|AC|＝eq\r(4－12＋2－12)＝eq\r(10)，直线AC的方程为eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－1,4－1)，即x－3y＋2＝0.因为点B(m，eq\r(m))到直线AC的距离d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(12＋－32))，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4))).因为1<m<4，所以1<eq\r(m)<2，所以0<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4)))≤eq\f(1,4)，0<S≤eq\f(1,8).所以当eq\r(m)＝eq\f(3,2)，即m＝eq\f(9,4)时，△ABC的面积S最大．1．点(1，2)到直线的距离为___．【答案】【详解】由点线距离公式有(1，2)到直线的距离为.故答案为：2．在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．【答案】4【详解】在一象限，所以，点到直线的距离为3，则，解得：或.因为，所以.故答案为：4.3．在平面角坐标系中，直线：，则当实数变化时，原点到直线的距离的最大值为_____________．【答案】【详解】由直线可化为，联立方程组，解得，即直线过定点，由于直线经过定点，又所以原点到直线的距离的最大值为.4．已知点在直线上，则的最小值为______【答案】2【详解】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离∴的最小值为原点到直线的距离，即∴的最小值为2故答案为25．两条平行线与之间的距离是___________.【答案】【详解】直线可化为，又直线与直线的距离为，所以平行线与之间的距离是，故答案为：.6．已知直线：，：．若，则___________，此时与之间的距离为___________．【答案】

【详解】直线：，：．若，所以，解得，当时，：，：，此时与重合，故舍去；当时，：，：，此时与平行；故；若，即：，即：，：，所以与之间的距离为.故答案为：，.7．若直线与直线平行，且它们之间的距离等于，则直线的方程为___________.【答案】或【详解】设直线，将直线与直线化为一般式可得，，故它们之间的距离为，解得或，故直线的方程为或.故答案为：或.8．已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．【答案】x＋2y－3＝0【详解】当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以两条平行直线的斜率为－eq\f(1,2)，所以直线l1的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.1．与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】与的距离为2，在轴上的截距为4，故符合要求；对于直线，有且时，故也符合要求；与的距离为3且轴无交点，不符合要求.∴、都是与点距离为2且在轴上的截距为4的直线.故选：C2．直线：与：之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得，即与平行，故与之间的距离为.故选：B.3．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【详解】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.故选：D.4．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题可设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为，则，∴，∴与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为.故选：D.5．①点到直线的距离是___________.②两平行直线和间的距离是___________.【答案】

4

【详解】①；则点到直线的距离.②即为，所以两平行直线和间的距离.6．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________.【答案】3【详解】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3.故答案为：3.7．点到直线的距离等于4，则实数m___________.【答案】或4【详解】由题意可得：，解得或．故答案为：或4．8．两平行线与之间的距离为______．【答案】【详解】因为直线，即为，所以两平行直线与之间的距离为.故答案为：.9．设，则的最小值是___________.【答案】1【详解】表示直线上任意点到原点的距离的平方，显然原点到直线上的点的最小距离就是原点到直线的距离，即，所以的最小值是.故答案为：110．已知的三个顶点的坐标为、、，试求：(1)边上的高所在的直线方程；(2)的面积．【答案】(1)；(2)24【详解】(1)因为，则边上的高的斜率为3，又经过A点，故方程为，化简得．(2)，直线方程为，整理得，则到的距离为，则的面积为.11．求与直线平行且距离等于3的直线．【答案】或.【详解】设所求直线方程为，由，得或，所以与直线平行且距离等于3的直线方程为或.12．两平行直线，分别过，.(1)，之间的距离为5，求两直线方程；(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.【答案】(1)或；(2)【详解】(1)当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，解得或，当时，；当时，.故两直线方程为或.(2)如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，又两平行直线，不重合，故.13．已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．【详解】因为直线与平行，所以，解得，，又因为直线与直线之间的距离为，所以，解得或.综上，m的值为；n的值为或.14．已知､和直线，若坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，求点P的坐标.【详解】设点P的坐标为.∵，，所以线段AB的中点M的坐标为.而AB所在直线的斜率，