33幂函数2022-2023学年高一数学上学期讲与练(人教A版2019)（原卷版）

3.3幂函数一、幂函数的图象与概念1、定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．3、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图二、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．题型一判断是否为幂函数【例1】下列函数是幂函数的是（）A．B．C．D．【变式11】下列函数是幂函数的是（）A．B．C．D．【变式12】下列函数中，不是幂函数的是（）A．y＝2xB．y＝x－1C．y＝D．y＝x2【变式13】下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（）A．B．C．D．题型二求幂函数的解析式【例2】（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（）A．B．C．D．无解【变式21】已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________．【变式22】已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【变式23】已知幂函数在为减函数，则___________.【变式24】已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．题型三幂函数定义域问题【例3】函数的定义域是（）A．B．C．D．【变式31】函数的定义域为______.【变式32】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）A．RB．C．D．【变式33】若有意义，则实数的取值范围是________题型四幂函数的值域问题【例4】函数在区间[－4，－2]上的最小值是____．【变式41】若幂函数的图象过点，则的值域为____________．【变式42】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（）A．1B．C．D．【变式43】幂函数的图象过点，则函数的值域是（）A．B．C．D．【变式44】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_____．题型五幂函数图象的判断及应用【例5】幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（）A．B．C．D．【变式51】函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是（）.A．①④B．①C．①②D．①③④【变式52】已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（）A．B．C．D．【变式53】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A．、、B．、、C．、、D．、、【变式54】若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（）A．；B．，；C．，；D．，．【变式55】函数的图象是（）A．B．C．D．题型六幂函数图象过定点问题【例6】三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（）A．B．C．D．【变式61】若函数与图象关于对称，且，则必过定点（）A．B．C．D．【变式62】函数的图象必经过定点A．B．C．D．【变式63】函数恒过定点______．【变式64】函数的图象过定点________．【变式65】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点____．题型七利用幂函数单调性解不等式【例7】若幂函数的图象过点（16，8），则的解集为（）A．（–∞，0）∪（1，+∞）B．（0，1）C．（–∞，0）D．（1，+∞）【变式71】已知函数，那么不等式的解集为__________．【变式72】若，求a的取值范围.【变式73】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.【变式74】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的实数a的取值范围.题型八幂函数性质的综合应用【例8】已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.【变式81】已知幂函数的图像关于y轴对称．（1）求的解析式；（2）求函数在上的值域．【变式82】已知函数．（1）若为偶函数