14数列在日常经济生活中的应用（讲义典型例题小练）

1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）例述数列在生活中的应用数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例：例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）.(1)已知，求､；(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.【答案】(1)，；(2)20毫克【解析】【分析】（1）由，计算可得．（2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得．(1)，；(2)依题意，，所以，，所以是等比数列，公比为，所以，，，，数列是递增数列，且，所以，即，所以m的最大值是毫克．举一反三：1．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？【答案】430【解析】【分析】根据题目条件，结合等比数列的前项和公式建立方程关系可得到结论．【详解】设每月应付款元，那么至最后1次付款时(即商品购买12个月后)付款金额的本利和为:（元），另外,5000元商品在购买后12个月后的本利和为（元），根据题意,，即x=（元）.银行储蓄与分期付款中的数列应用储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款（2）银行存款计息方式：①单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是（3）零存整取模型例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则yx的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A．0 B．1200 C．1030 D．900【答案】C【解析】【分析】设小闯同学每个月还款元，则可依次求每次还款元后，还欠本金及利息，由题意可得，求出，从而可求出的值，再利用单利求出，进而可求出的值【详解】解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款元，则小闯同学第一次还款元后，还欠本金及利息为元，第二次还款元后，还欠本金及利息为，第三次还款元后，还欠本金及利息为，依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即，即，解得，故元，按照单利算利息，12月后，所结利息共元，故元，所以，故选：C2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利即息：利息=本金×利率×存期解：（1）根据题意,第一个月存入的x元,到期利息为x•r•n元;第二个月存入的x元,到期利息为x•r•（n1）元;第n个月存入的x元,到期利息为x•r•1元.不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各利息之和为而本金为nx元,这样就得到本利和公式为即①（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为（3）依题意,在①式中,，所以答：每月应存入163.48元.举一反三：1．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可【详解】由已知条件和分期付款公式，可得，∴．故选：C2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?解：(1)根据例1，各月利息之和为，税后实得利息为.而本金为nx元,这样就得到本利和公式，②(2)若每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据②式,本利和为答：到第36个月末整取时的本利和是18799.2元.环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。在土地资源、森林资源、某些再生资源的利用方面，我们可以运用所学到的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分配和有效利用。在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使用量与年开采量之间的数量关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比等差数列关系，从而进行相应的数列计算得到需要的解答；在生物保护方面的植物研究，数列中的斐波那契数列对于植物叶序与深层组织结构关系的研究也提供了相应的指导；数列在土地荒漠化治理、河流污染控制、水资源与森林资源的开采与控制等方面都有着不同程度的应用。例3：1．资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达，每吨占地.环保部门每回收或处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃圾.如果某环保部门2002年共回收处理了废旧物资，且以后每年的回收量递增20％.(1)2018年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）(2)从2002年到2018年底，可节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）【答案】(1)吨(2)平方米【解析】【分析】（1）由题意可得，再化简求值即可；（2）从2002年到2018年底的回收废旧物资累加后可求解.(1)依题意可知，2003年共回收废旧物资吨；2004年共回收废旧物资吨；2005年共回收废旧物资吨；2018年共回收废旧物资吨(2)从2002年到2018年底共回收废旧物资：吨.由于每吨占地，故可节约土地平方米举一反三：1．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为（单位：吨），但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）A．5年 B．6年 C．7年 D．8年【答案】C【解析】【分析】由题意可得以后各年年产量为，然后由，求出的范围，从而可得答案【详解】由题意知，第一年年产量为．以后各年年产量为，∴，令，得，∴，故生产期限最长为7年．故选：C2．为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%．从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%（可参考数据）?【答案】年【解析】【分析】利用等比数列的知识列不等式，解不等式求得需要经过的年数.【详解】设地区总面积为，则年年底绿化面积，沙漠面积，设表示第年年底的绿洲面积，则，即，也即（），所以数列是首项为，公比为的等比数列.，由得，两边取以为底的对数得，，所以至少要进过年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%.巩固提升一、单选题1．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（

）．A．1 B．3 C．9 D．81【答案】D【解析】【分析】先由前几天结束时，蜂巢中的蜜蜂数量观察出其组成了首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，把4直接代入即可.【详解】由题意知，第一天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂，第二天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，第三天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，第n天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，所以归巢后的蜜蜂数列组成了首项为3，公比为3的等比数列，所以其通项公式为：，所以，第四天共有只蜜蜂.故选：D2．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（

）A．20% B．32% C．40% D．50%【答案】C【解析】【分析】设成本为，平均每月应降低成本，根据题意得解方程可得答案.【详解】设成本为，平均每月应降低成本，所以，解得，平均每月应降低成本.故选：C.3．某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分个月还清，从下个月日，即月日，开始偿还，每月日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【解析】【分析】设每月的偿还金额都是元，根据等比数列的求和公式可得出关于的等式，即可求得结果.【详解】设每月的偿还金额都是元，则，即，得．故选：B.4．某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过（

）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟【答案】B【解析】【分析】根据题意可知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，，公比，再根据等比数列的前项和公式可求得，然后由即可解出．【详解】由题意知，热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，则表示热气球在第分钟上升的高度（单位：米），且，公比.经过分钟，热气球上升的总高度.因为，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米.故选：B.5．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为1.75%，若按复利计算，将这1000元存满5年，可以获得利息（

）（参考数据：，，）A．110元 B．91元 C．72元 D．88元【答案】B【解析】【分析】根据已知求出存满5年后的本息和，再减去本金，即可得出答案.【详解】解：将1000元钱按复利计算，则存满5年后的本息和为，故可以获得利息（元）.故选：B.6．从2017年到2020年期间，甲每年1月1日都到银行存入元的一年定期储蓄.若年利率保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄.2021年1月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（

）A．元 B．元C．元 D．元【答案】D【解析】【分析】先分别计算每一年存入元到2021年的本息和，然后将所有存款的本息相加，根据等比数列求得求和公式解之即可．【详解】解：2017年的元到了2021年本息和为，2018年的元到了2021年本息和为，2019年的元到了2021年本息和为，2020年的元到了2021年本息和为，所有金额为即所有金额为故选：．二、多选题7．某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛．设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，则下列结论正确的是（

）（附：，，，．）A．B．与的递推公式为C．按照计划2028年年初存栏数首次突破1000D．令，则（精确到1）【答案】ABD【解析】【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出60头”建立与的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.【详解】由题意得，并且，故B正确；则，故A正确；设，则，则0.2x＝60，则x＝300，∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，令，则，∵，，∴n－1≥7，则n≥8，故2029年年初存栏数首次突破1000，故C错误；≈3000＋1000×(6.1917－1)≈8192，故D正确.故选：ABD.8．参加工作年的小郭，因工作需要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（

）A． B．小郭第年还款的现值为万元C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”【答案】BD【解析】【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前项和公式求出，再设小郭第3年还款的现值为，根据复利规则求出．【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误，设每年应还元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为，银行贷款元10年后的本利和为．，，即，故A错误．设小郭第三年还款的现值为，则，所以，故B正确；故选：BD三、填空题9．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的为第三根琴弦，第三根琴弦长度的为第四根琴弦，第四根琴弦长度的为第五根琴弦.琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫､商､角（jué）､徵（zhǐ）､羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度的比值为___________.【答案】【解析】【分析】设基准琴弦的长度为1，然后求出另外四根琴弦的长度，然后判断出它们的大小关系，然后可得答案.【详解】设基准琴弦的长度为1，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为，，，，五根琴弦的长度从大到小依次为1，，，，，所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为和，其长度的比值为.故答案为：10．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：，，）【答案】24【解析】【分析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为，2022年的投入在结算时的收入为，，2030年的投入在结算时的收入为，则结算时的总投资及收益为：①，则②，由①②得，，则，故答案为：24四、解答题11．大学生自主创业已成为当代潮流．某大学大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品．银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款．已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投入资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该