72排列（八大题型）

7．2排列【题型归纳目录】题型一：排列的概念题型二：画树形图写排列题型三：简单的排列问题题型四：排列数公式的应用题型五：相邻问题题型六：不相邻问题题型七：定序问题题型八：间接法【知识点梳理】知识点一、排列的概念1、排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点诠释：（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．知识点二：排列数1、排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示．知识点诠释：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；2、排列数公式，其中，且．知识点诠释：公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数．知识点三：阶乘表示式1、阶乘的概念：把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!．规定：．2、排列数公式的阶乘式：所以．知识点四：排列的常见类型与处理方法1、相邻元素捆绑法2、相离问题插空法3、元素分析法4、位置分析法【典型例题】题型一：排列的概念例1．（2022·全国·高二课时练习）下列问题是排列问题吗？(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；(2)某班40名学生在假期相互写信；(3)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(4)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？【解析】(1)来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.(2)A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于排列问题.(3)任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题；选3个座位安排三位客人，与顺序有关，故是排列问题.(4)直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的顺序有关，故确定射线是排列问题.【方法技巧与总结】判断一个具体问题是否为排列问题的思路例2．（2023·高二课时练习）给出下列问题：①有10位同学，每两人互通一次，共通了多少次？②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）【答案】②【解析】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次，也就是乙与甲通一次，没有顺序区别，故不是排列问题；对于②，假设10位同学中含甲乙，甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，是有顺序区别的，故属于排列问题；对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，没有顺序区别，故不是排列问题，故答案为：②例3．（2023·高二课时练习）给出下列问题：①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）【答案】②【解析】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题;对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题;对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题;故答案为：②题型二：画树形图写排列例4．（2022·全国·高二课时练习）写出4个元素a，b，c，d的所有排列．【解析】由树状图可知，所有排列为，，，.【方法技巧与总结】树形图的画法（1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．（2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．（3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止．例5．（2022·全国·高二）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．【解析】从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：语数英

语数物

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物英数例6．（2022·全国·高二课时练习）写出下列问题的所有排列：（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？（2）A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？【解析】(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示.故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图.所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种.题型三：简单的排列问题例7．（2022·全国·高二课时练习）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.【解析】写出所有不同的试验方法如下：，，，，，，，，，，，，，，共14种.【方法技巧与总结】对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．例8．（2022·全国·高二课时练习）请列出下列排列：(1)从4个不同元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列；(2)从7个不同元素a，b，c，d，e，f，g中任取2个元素的所有排列．【解析】(1)根据题意，从4个不同元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列共有如下种：.(2)7个不同元素a，b，c，d，e，f，g中任取2个元素的所有排列共有如下种：.例9．（2022·全国·高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号．【解析】根据题意，所有的信号为：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．题型四：排列数公式的应用例10．（2023·全国·高二专题练习）若，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】由题意，得，化简可得，解得．故选:B【方法技巧与总结】排列数公式的选择（1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．（2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．例11．（2023·全国·高二专题练习）解不等式：；【解析】因为则原不等式可化为，即，解得，，所以，故原不等式的解集为.例12．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）_________．【答案】0【解析】.故答案为：0.变式1．（2023·高二课时练习）若，且，则用排列记号可表示为______．【答案】【解析】由排列数的定义，.故答案为：题型五：相邻问题例13．（2023·江西吉安·高二统考期末）某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（

）A．18 B．24 C．36 D．60【答案】C【解析】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种，其中的每一种排法，C、D节目的排列有，所以节目安排的方法总数为（种）.故选：C【方法技巧与总结】相邻问题捆绑法例14．（2023春·天津·高二统考期末）若5个人排成一排照相，要求甲､乙两人必须相邻，则有___________种不同的排法（用数字作答）.【答案】48【解析】因为把甲、乙两人必须相邻，所以把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，和其他3人进行全排列，再考虑甲乙之间的顺序，所以共有种，故答案为：例15．（2023春·上海浦东新·高二上海市进才中学期末）班级有六个同学排成一排照相，其中甲乙两人必须相邻，则一共有_________种排法.（用数字作答）【答案】240【解析】先把甲乙两人捆绑在一起和其他4个同学全排列共有种排法.再将甲乙松绑,共有种排法.所以总的排法数为故答案为：240变式2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）将5个人排成一排，若甲和乙须排在在一起，则有__________种不同的排法．（用数字作答）【答案】【解析】甲和乙须排在在一起，共有种排法，将甲、乙看成一个元素，则考虑4个不同的人排成一排，共有种不同的排法，故共有种不同的排法，故答案为：变式3．（2023·全国·高三专题练习）年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧个剧种的各一个片段．对这个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有______种．【答案】【解析】分以下三种情况讨论：①京剧排第一位，将越剧、粤剧捆绑在一起，共有种；②京剧排第二位，将越剧、粤剧捆绑在一起，第一位有三种选择，此时不同的排法种数为种；③京剧排第三位，将越剧、粤剧捆绑在一起，则越剧、粤剧可放在第一、二位，也可放在第三位以后，此时，不同的排法种数为种.综上所述，不同的排法种数为种.故答案为：.题型六：不相邻问题例16．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）射洪中学高2020级准备举行题为“挺进高三”主题活动，计划安排文理科学生各一人作为学生代表发言，两名科任教师作鼓励性动员以及年级主任讲话，要求学生不能相邻，科任教师不能相邻，则不同的安排顺序种数为______.【答案】48【解析】1、计算两名学生不相邻的排法：第一步，将两名科任教师和年级主任排成一列有种；第二步，将两名学生插入到4个空位中有所以总排法有种.2、计算两名学生不相邻且两名科任教师相邻的排法：第一步，两名教师站成一排有种；第二步，将两名教师看成一个元素与年级主任进行排列有种；第三步，将两名学生插入到3个空位中有种。所以总排法有.所以学生不相邻且教师不相邻的排法种数有种.故答案为：48【方法技巧与总结】不相邻问题插空法例17．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）某单位要举办一场晚会，有两个歌唱、两个舞蹈、一个小品、一个相声共6个节目，要求两个歌唱不相邻演出，且两个舞蹈不相邻演出，则这6个节目共有______种不同的演出顺序．【答案】【解析】个节目全排列的方法数为，个节目的安排中，歌唱或舞蹈相邻的方法数为，所以符合题意的演出顺序有.故答案为：例18．（2023·福建宁德·高二统考期末）某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答）【答案】42【解析】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：种情况，②当2个教师节目不相邻时有：种情况，所以共有种情况，故答案为：42.变式4．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）某高校2022级数学兴趣学习小组有男生3人，女生2人，这5人站成一排合影，其中的甲､乙两人不相邻的站法有___________种.【答案】72【解析】先排甲、乙之外的其他3个人，共有种排法，且3人形成4个空位再将甲、乙两人插入到4个空位中，共有种排法，根据分步乘法原理可得共有种排法，故答案为：72变式5．（2023春·上海虹口·高二校考期末）2名老师和5名学生站成一排，则2名老师恰好不相邻的排法数为______.【答案】3600【解析】先将5名学生排成一排有种，再将2名老师插入到6个空位中有，所以满足条件的排法共有种排法.故答案为：3600.题型七：定序问题例19．（2022·上海市金山中学高二期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．【答案】【解析】演出中的6个节目全排列有,甲、乙、丙3个节目全排列有,所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有，故答案为：.例20．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.【答案】1200.【解析】从8所高校中选出5所，除去、还需要选3所，选法是种，当、两高校不相邻时，不同的表演顺序有，当、两高校相邻时，不同的表演顺序有，因此可选择的不同航模表演顺序有种.故答案为：1200.例21．（2022·全国·高二课时练习）期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种．【答案】60480【解析】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序确定，只有一种方法，故共有60480种排法．解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法．解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法．故答案为：60480变式6．（2022·全国·高二课时练习）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答）【答案】40【解析】5个元素无约束条件的全排列有种排法，由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A，因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法有（种）.故答案为：40变式7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）.【答案】【解析】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有种取法，又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题，可知不同的取法有种.故答案为：90.题型八：间接法例22．（2022·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（

）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种【答案】B【解析】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种，所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）.故选：B【方法技巧与总结】正难则反例23．（2022·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（

）A．198个 B．180个 C．216个 D．234个【答案】A【解析】当2在首位时，在任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选两个字母在字母位上全排有；当2与Z相邻时，即2在数字位的最后，Z在字母位的最前面，再从任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选一个字母放在字母位的最后有；所以当2在首位和2与Z相邻的情况共有种，而任选3个数字在数字位全排，任选2个字母在字母位全排共有种，所以满足要求的车牌号有种.故选：A例24．（2022·江苏·常州市武进区礼嘉中学高二阶段练习）小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（

）A．84 B．78 C．108 D．96【答案】A【解析】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有种，队列有4个空，小李与父母中另一人相邻有种，再作为整体插入队列中有种，所以共有种；爷爷奶奶两人成列有种，队列有3个空，小李与父母都相邻有种，再作为整体插入队列中有种，所以共有种；综上，共有种.故选：A变式8．（2022·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（

）A．60 B．66 C．72 D．80【答案】C【解析】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有种，故甲乙不在同一实验舱的种数有种.故选：C.【同步练习】一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为（

）A．4 B．12 C．24 D．64【答案】D【解析】1至10中的质数有2，3，5，7，由2，3，5，7组成的没有重复数字的整数可以为一位数、两位数、三位数、四位数，这4个数字可组成的一位数有（个），可组成的没有重复数字的两位数有（个），可组成的没有重复数字的三位数有（个），可组成的没有重复数字的四位数有（个），则1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为．故选：D．2．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（

）A．288种 B．336种 C．384种 D．672种【答案】D【解析】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，所以共有种方案.故选：D3．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种类为（

）A．12 B．18 C．24 D．144【答案】C【解析】由题意，4名志愿者参加社区志愿工作，每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，∴值班当天不同的排班种类为：故选：C.4．（2023春·甘肃张掖·高二统考阶段练习）（

）A．10 B．5 C．20 D．4【答案】B【解析】．故选：B5．（2023·四川攀枝花·统考二模）一排11个座位，现安排甲、乙2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不能相邻，则不同排法的种数是（

）A．28 B．32 C．38 D．44【答案】D【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当甲、乙两人在三个空位左侧时：共（种），同理，当甲、乙两人在三个空位右侧时：共（种），当甲、乙两人在三个空位异侧时：共（种），即共（种），故选：D.6．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）2022中国（南昌）国际大健康产业大会暨博览会将于11月25日27日正式举办，此次博览会将围绕医疗器械、生物医药、中医中药、国际医养、医疗美容、健康生活六大板块，搭建政、商、学、医、研，产的高端对话与合作平台，推动健康产业资源要素相互赋能．博览会某日将举办六大板块为主旨的六场报告会，其中上午四场，下午两场，要求中医中药排在上午前两场中任意一场，医疗美容和健康生活排在下午，则不同安排种数是（

）A．24 B．96 C．144 D．192【答案】A【解析】依题意可知，不同安排种数是种.故选：A7．（2023秋·北京西城·高二统考期末）2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有种排法，所以共有种排法；故选：B.8．（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（

）A．20种 B．30种 C．50种 D．60种【答案】A【解析】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，故共有种方法.故选：A9．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】由于，所以从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给和共有种，并且计算结果不会重复，所以得到不同的值有12个.故选：C.10．（2023·全国·高三专题练习）从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】值的个数为从3，5，7，11这四个数中任选2个数的排列数.故选：C11．（2023·河南信阳·高三统考期末）源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（

）A．18种 B．36种 C．72种 D．108种【答案】B【解析】先排两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放，共有种放法；再排剩余的3道程序，共有种放法；则共有种放法.故选：B.12．（2023·全国·高二专题练习）某研究室有2男6女共8名教研员，研究室东、西两区各有4张办公桌，则两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】没有位置限制的8人的坐法有种，其中男教师坐在同一区的坐法有种，所以两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为，显然选项A，B，C都不正确，D正确.故选：D二、多选题13．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（

）A．共有种不同的排法 B．男生不在两端共有种排法C．男生甲、乙相邻共有种排法 D．三位女生不相邻共有种排法【答案】AC【解析】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；三位女生不相邻，先排3位男生