第12讲向量的坐标表示（讲义）原卷版

第12讲向量的坐标表示运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．)(2)两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2x2y1=0．(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则(4)两个向量数量积的重要性质：①即(求线段的长度)；②(垂直的判断)；③(求角度)．与的夹角为锐角等价于且与的夹角为钝角等价于且例题解析1、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角思考1已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?思考2若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示．你能用文字描述这一结论吗？例1．（2021·浙江高一期末）若向量，，则（）A． B． C． D．例2．（2021·辽宁沈阳市·高一期末）已知向量，，若，则（）A．12 B．12 C．3 D．3例3．（2019·福建省福州格致中学高一期末）已知向量，，若，则实数的值为（）A．0或3 B．或0 C．3 D．例4．已知向量，，若，则（）A．1 B．0 C． D．例5．（2019·全国高一专题练习）在△ABC中，，，则=A． B． C． D．例6．已知向量，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向例7．（2020·武汉外国语学校高一期中）已知向量，且，则实数（）A． B． C． D．8例8．（2021·天津南开中学高一月考）已知向量，若向量，则可能是（）A． B． C． D．例9．（2021·恩施市第一中学高一月考）已知点D是所在平面上一点，且满足，则（）A． B． C． D．例10．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）=（1，2），=（2，1），满足与向量+平行的一个向量是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（1，3） D．（6，2）例11．（2021·浙江高一期末）在四边形中，，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（）A． B．C． D．例12．（2021·临澧县第一中学高一月考）设向量，且，则（）A．0 B．1 C．2 D．3例13．（2021·辽宁辽阳市·高一期末）已知，，且C与A关于点B对称，则C的坐标为________．例14．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）已知=（2，3），=（2,4），向量在上的投影向量____________；例15．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）已知，则与向量垂直的单位向量__________.例16．（2021·临澧县第一中学高一月考）已知平面向量，若，则__________.例17．（2021·湖北襄阳市·高一月考）已知向量，，若，则___________．例18．（2021·湖南高一月考）已知向量，，.（1）求向量与夹角的正切值；（2）若，求的值.例19．（2021·浙江高一期末）已知向量，．（1）若与平行，求的值；（2）若与垂直，求的值．例20．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）平面内给定三个向量，，，（1）若以，为基底，用该基底表示向量；（2）若，求实数；（3）若，求实数.例21.已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.例22.已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．例23.已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|与点D的坐标．例24.已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)例25.在中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，若是直角三角形，求k的值．【巩固训练】1．若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.2．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．3．以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标．4．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝_____.5．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为eq\f(π,6)，则eq\f(|x|,|b|)的最大值等于________.6．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值.2、平面向量数量积的综合应用需要熟练掌握向量数量积四种常见方法：①向量的分解（定义）：乘法的运算，经常无法直接运算，需要我们要善于利用向量的加减法，将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．（通常选好基向量很重要）②坐标法：建立坐标系，通过坐标运算求解．③数量积几何意义：（常应用于两个向量相乘有已知一个向量长度）④极化恒等式：是特殊的向量的分解（将向量分解为对角线上的数量关系，应用于知道对角线的长度的两个向量数量积）其中D为BC的中点，也可以理解为对角线的交点证明：方法一：方法二：例1.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(8,9) C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(4,9)例2.已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，则|eq\o(AG,\s\up6(→))|的最小值是________．例3已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________．例4.在△ABC中，如图，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(8,9) B.eq\f(10,9) C.eq\f(25,9) D.eq\f(26,9)例5.如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点P在线段BC上运动，且满足eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，当eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))取到最小值时，λ的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)例6.线段的长度为2，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形（顺时针排序），，设为坐标原点，则的取值范围是.【巩固训练】1．[莘庄中学等四校高二11月联考·9]如图，在梯形中，，，，点是边上一动点，则的最大值为．82．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是_____．3．[格致中学高二期中·9][上海中学16]如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是__________.4．等腰直角三角形ABC中，A＝eq\f(π,2)，AB＝AC＝2，M是BC的中点，P点在△ABC内部或其边界上运动，则eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))的取值范围是()A．[－1,0] B．[1,2] C．[－2，－1] D．[－2,0]5．已知△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，且B∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，则eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范围是________．6．[上海中学高二上期中·11]平面向量，，满足，，，，则的最小值为．反思总结1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.课堂练习1．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于()A．7 B．6 C．5 D．42．在边长为1的等边△ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－eq\f(3,2) B．0 C.eq\f(3,2) D．33．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是________．4．已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为________．5．[位育中学期末·16]已知向量，，对任意的，恒有，则()A． B． C． D．6．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围________．7．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．8．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若Aeq\o(P,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．9.[位育中学期末·12]给定平面上四点满足，则面积的最大值为．10．[位育中学期中·12]设是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题：

①方程不可能有两个不同的实数解；

②方程有实数解的充要条