第13讲椭圆及其标准方程5种基础常考题型（原卷版）

第13讲椭圆及其标准方程5种基础常考题型考点分析考点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．注意：①若，则动点的轨迹为线段；②若，则动点的轨迹无图形．考点二：椭圆的标准方程与几何性质标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长轴长，短轴长离心率（注：离心率越小越圆，越大越扁）考点三：椭圆的通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．考点四：椭圆上一点的有关最值①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．题型目录题型一：椭圆的定义题型二：利用椭圆定义的解题题型三：利用椭圆定义求范围题型四：椭圆中有关三角形周长、面积问题题型五：椭圆的标准方程典型例题题型一：椭圆的定义【例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（）．A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线【例2】设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【例3】已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）【题型专练】1．已知动点满足(为大于零的常数)﹐则动点的轨迹是A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线2.已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段3.（多选）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（）A．B．C．D．4.已知△ABC的周长为10，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（）A． B．C． D．题型二：利用椭圆定义的解题在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接设直线和椭圆联立．所以在解题的时候如果看到点在椭圆上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线，用上定义分析问题．【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若，则等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【例2】椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点时，小球经过的最短路程是（）A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能【例3】（2021新高考1卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.6【例4】（2023重庆市松树桥中学校高二月考）设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（）A． B． C． D．【例5】（2023吉林高三其他模拟）已知椭圆的焦点为，，其中，的长轴长为，过的直线与交于，两点.若，，则（）A． B． C． D．【例6】设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（

）A． B． C． D．【例7】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（

）A． B． C． D．【例8】（2023福建省泰宁第一中学月考）、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【题型专练】1.（2023武邑月考）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（）A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍2.（2023深圳期中）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（）A．10 B．15 C．20 D．253.（2023重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆，焦点，.过作倾斜角为的直线L交上半椭圆于点A，以(O为坐标原点)为邻边作平行四边形，点B恰好也在椭圆上，则A． B． C． D．124.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（

）A． B． C． D．5.在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（

）A． B．2 C． D．46.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．7.设是椭圆：上一点，，分别是的左、右焦点，则A．5 B． C．4 D．8.椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（）A．2 B．4 C．6 D．1.59.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．610．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（）A． B． C． D．题型三：利用椭圆定义求范围若表示椭圆，则若表示焦点在轴上的椭圆，则若表示焦点在轴上的椭圆，则【例1】方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A． B． C． D．【例2】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【例3】方程表示椭圆的一个必要不充分条件是（）A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．m＜0【例4】（多选题）已知曲线A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是椭圆，其焦点在轴上C．若，则是圆，其半径为D．若，，则是两条直线【题型专练】1.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．2.若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（）A． B．2 C． D．3.是方程表示椭圆的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知p：方程表示椭圆，q：.则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件题型四：椭圆中有关三角形周长、面积问题【例1】已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（）A．B．C．D．【例2】（2023广西钦州一中高三开学考试（理））设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【例3】椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为A．24 B．28C．40 D．48【题型专练】1.（2014安徽）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，（Ⅰ）若的周长为16，求；2.点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（）A． B．C． D．3.已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（）A．4 B．6 C．8 D．104.（黄梅国际育才高级中学高二月考）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.5.（2020·正定县弘文中学月考）焦点在x轴上的椭圆焦距为8，两个焦点为，弦AB过点，则的周长为（）A．20 B．28 C． D．题型五：椭圆的标准方程【例1】椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【例2】已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则A． B．C． D．【例3】椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则A．椭圆的短轴长为 B．椭圆的长轴长为4C．椭圆的焦距为4 D．【例4】椭圆的右焦点到直线的距离是A． B．C．1 D．【例5】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1），，焦点在y轴上；（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点（3）经过两点【例6】（2020·四川青羊.树德中学高三月考（文））已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为（）．A． B． C． D．【例7】（2019全国1文12）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． B． C． D．【例8】椭圆（>>0）的左、右焦点分别为,，且过的直线交椭圆于两点，且．（Ⅰ）若|，|，求椭圆的标准方程；【例9】已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（Ⅰ)求的方程；【题型专练】1．到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（）A． B． C． D．2.（镇远县文德民族中学校高二月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.（2）以点，为焦点，经过点.3.（多选）已知椭圆C：，则下列结论正确的是A．长轴长为 B．焦距为C．焦点坐标为 D．离心率为4.已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．3 B．5C．7 D．85.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（

）A． B． C． D．6.（2019·山西高三开学