3.2.2奇偶性课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2函数的奇偶性从生活中这些图片你感受到了什么？课堂导入从生活中这些图片你又感受到了什么？

前面我们用符号语言精确地描述了函数图像在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，下面我们研究函数的其他性质.

观察函数f(x)=x2，g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？f(x)=x2g(x)=2-|x|

这两个函数的图像都关于y轴对称.新知学习-3-2-10123不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等.9410149-101210-1

类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？探究

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．∀x∈I，都有－x∈I定义域I关于原点对称偶函数例如：（1）函数f(x)=x2,x∈[-2,2]是偶函数吗？（2）函数g(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗？偶函数f(x)∀x∈I，f(－x)=f(x)

图像关于y轴对称代数特征几何特征

探究

观察函数

的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？你能用符号语言精确描述这一特征吗？

这两个函数的图像都关于原点成中心对称.x-3-2-10123f(x)=x

为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：

可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.-3-2-10123这时，我们称f(x)=x,为奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．∀x∈I，f(－x)=－f(x)

奇函数f(x)图像关于原点对称代数特征几何特征∀x∈I，都有－x∈I定义域I关于原点对称奇函数（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是在函数定义域内的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则有f(-x)=-f(x)成立.

若f(x)为偶函数，则有f(-x)=f(x)成立.注意：深化概念例6用定义判断下列函数的奇偶性：

探究一判断函数的奇偶性课本P84探究二利用奇偶性求函数值

变式1：(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝x2＋2x＋b，则f(－1)＝________．(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝________．探究三利用奇偶性求函数解析式例2.(1)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)在R上的解析式；(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．

探究四利用函数奇偶性求参数作业布置：P85练习第2题P86习题3.2第11题求函数f(x)的定义域f(x)既不是奇函数也不是偶函数判断f(-x)与f(x)的关系判断定义域是否关于原点对称？f(-x)≠

f(x)且f(-x)≠

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f(x)是否f(-x)=f(x)f(x)是偶函