1.5 两条直线的交点坐标课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版

数学

选择性必修第一册第一章直线与圆1.5两条直线的交点坐标课标定位素养阐释1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系.2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标,提升数学运算素养.3.会利用直线系方程解决相关问题,提升逻辑推理素养.自主预习新知导学两条直线的交点坐标【问题思考】(1)二元一次方程组的解法有哪些?提示:代入消元法、加减消元法.提示:两直线的公共部分,即交点.(3)若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点?提示:不一定.两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得的方程组是否有唯一解.若方程组有无穷多组解,则两直线重合.2.一般地,对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交,若相交,则依据直线方程的概念可知,两条直线l1,l2交点的坐标就是两个方程的公共解

.3.已知直线3x+5y+m=0与直线x-y+1=0的交点在x轴上,则m=

.

解析:直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),则点(-1,0)在直线3x+5y+m=0上,于是3×(-1)+5×0+m=0,解得m=3.答案:3提示:A1B2-A2B1≠0.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)若两条直线的方程组成的方程组无解,则这两条直线平行.(

)(2)直线x=2与直线y=3没有交点.(

)(3)两条直线的交点坐标就是两条直线的方程组成的方程组的解.(

)(4)过直线l1:x-y+1=0与直线l2:3x+y-7=0的交点的所有直线可写为参数形式x-y+1+λ(3x+y-7)=0(其中λ∈R).(

)√×√×合作探究释疑解惑探究一两直线的位置关系及交点坐标【例1】

判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点坐标.(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;(2)l1:x+3y-1=0,l2:2x+6y-2=0;(3)l1:6x-2y+3=0,l2:3x-y+2=0.由方程组解的个数判断两直线的位置关系根据方程组解的个数判断两直线的位置关系,在解方程时,要先观察方程系数.若方程组有唯一解,则两直线相交;若方程组无解,则两直线平行;若方程组有无数多个解,则两直线重合.也可根据直线的斜率和截距的关系判断两直线的位置关系.【变式训练1】

(1)已知两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在直线y=-x上,那么k的值是(

).A.-4 B.3C.3或-4 D.±4(2)已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是

.

探究二过两直线交点的直线方程【例2】

求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.解法二:由题意可设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.(*)若将本例中的“平行”改为“垂直”,如何求解?解:设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,由于所求直线与直线3x+y-1=0垂直,因此3(2+λ)+(λ-3)×1=0,解得λ=-,所以所求直线方程为5x-15y-18=0.两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解.本例可采用常规方法,先通过方程组求出两直线交点,再根据平行直线求出斜率,由点斜式求解;也可以采用过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0,其中λ∈R),直接设出过两直线交点的方程,再根据平行条件求出待定系数.【变式训练2】

求经过两条直线l1:2x+y-8=0和l2:x-2y+1=0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为

的直线的方程.即(λ-8)2=|(1-2λ)(2+λ)|,解得λ=3或λ=-22.当λ=3时,所求直线的方程为x-y-1=0;当λ=-22时,所求直线的方程为4x-9y+6=0.故所求直线的方程是x-y-1=0或4x-9y+6=0.探究三直线过定点问题【例3】

求证:无论k取任何实数,直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0必过定点,并求出此定点.证法一:由k的任意性,取k=0,得x+y=0,①取k=1,得x-1=0.②由①②,得直线x+y=0与直线x-1=0的交点坐标为(1,-1).将点(1,-1)的坐标代入原直线方程,可知(k+1)×1-(k-1)×(-1)-2k=0恒成立,所以直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0必过定点,定点为(1,-1).此为直线方程的点斜式,该直线一定过点(1,-1);当k=1时,直线方程为x=1,也必过定点(1,-1).综上,该直线必过定点,定点的坐标为(1,-1).证法三:直线方程可整理为x+y+k(x-y-2)=0,则直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0过直线l1:x+y=0与直线l2:x-y-2=0的交点.所以直线恒过定点(1,-1).直线过定点问题是直线方程中常见的问题,主要根据参数的任意性列方程组求解,常见方法有:(1)特值法:对直线系中的参数赋值,可得直线系中的不同直线,联立其中两个直线方程便可求出其交点坐标,该坐标即为所求定点的坐标.(用于客观题)(2)恒等式法:该类问题可转化为关于参数的恒等式问题,根据恒等式的性质,由参数的系数和常数项均为零,就可以求得该定点坐标.(3)直线系方程法.【变式训练3】

求证:不论m取何值,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.证明:原方程可整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.解得x=2,y=-3.所以不论m取何值,所给的直线都经过定点(2,-3).探究四对称问题【例4】

△ABC的一个内角的平分线所在直线的方程是y=2x,若A,B两点的坐标分别为(-4,2),(3,1),则点C的坐标为

.

解析:分别把A,B两点的坐标代入y=2x知,点A,B都不在直线y=2x上,所以直线y=2x是∠ACB的平分线所在的直线.设点A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为A'(a,b),即A'(4,-2).∵直线y=2x是∠ACB的平分线所在的直线,∴点A'在直线BC上,答案:(2,4)有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称:①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P'(x',y')满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称:①若点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为A'(m,n),则有②直线关于直线的对称可转化为直线上一点关于直线的对称问题来解决.【变式训练4】

设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是(

).A.3x-y+5=0 B.2x-y+3=0C.2x-y+5=0 D.x+2y-5=0解析:点A关于直线x=0的对称点是A'(-3,-1),关于直线y=x的对称点是A″(-1,3),由角平分线的性质可知,点A',A″均在直线BC上,所以直线BC的方程为2x-y+5=0.答案:C

易错辨析因对“不能围成三角形”的讨论不全面而致误【典例】

当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形?以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?又如何防范?提示:上述解法的错误在于忽略了三条直线中任两条平行或重合时也不能围成三角形这种情况.给出三条直线方程,方程中含有参数,若三条直线能构成三角形,求参数的取值范围时,可以先找不能构成三角形的条件,然后利用补集思想求其反面,即得所求参数的取值范围.随堂练习1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(

).A.(-9,-10) B.(-9,10)C.(9,10) D.(9,-10)答案:B2.若直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(

).A.-24 B.24 C.6 D.±6解析:∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,∴可设交点坐标为(a,0),答案:A3.（多选题）已知m∈R,则直线(2m+1)x+(2-m)y+5m=0必经过定点(

).A.(2,1)

B.(-2,1)C.(2,-1) D.(-1,-2)答案:BC4.过直线l1