海南省海口市2010年高考调研测试数学试题

/海南省海口市2010年高考调研测试数学试题（理）注意事项：1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：样本数据，，，的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中为底面面积、为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ，其中为底面面积，为高 其中为球的半径正态分布密度曲线是下列函数的图像：，，其中实数和为参数．特别有：第Ⅰ卷选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效）1．已知全集，，，则（） A． B． C．或 D．或2．（是虚数单位）的值是 （）A． B． C． D．3．在△中，，则△是 （） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．两直角边互不相等的直角三角形4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，若，，构成公差为正数的等差数列，则的面积为 （）A． B． C． D．5．12名同学进行队列训练，站成前排4人后排8人，现教官要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 （）A． B． C． D．第（7）题图6．设变量，满足约束条件，则目标函数第（7）题图的最大值为 （）A． B． C． D．7．在正方体中，，分别为和的中点，则直线及所成角的余弦值为（）A． B． C． D．第（9）题图8．若函数（）的最小正周期为，第（9）题图则该函数的图象 （）A．关于点（,0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（,0）对称D．关于直线x=对称9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）第（10）题图 A．3 B．4第（10）题图 C．6 D．810．如右图是高尔顿板的改造装置，当小球从自由下落时，进入槽口处的概率为 （）A．B．C．D．11．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（）A． B．C． D．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：）为 （）第（12）题图第（12）题图（单位：cm）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的指定位置）13．已知，,则的值为_________．14．关于平面向量，，，有下列四个命题：①若∥，，，使得；②若，则或；③存在不全为零的实数，使得；④若，则．其中正确的命题序号是_________．15．若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则的取值范围是16．用表示，两个数中的最小值，设（），则由函数的图象，轴及直线和直线所围成的封闭图形的面积为_____三、解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17．（本小题满分分）设数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求,,,并求出数列的通项公式;（Ⅱ）设数列的前项和为，试求的取值范围．18．（本小题满分分）某学校高三年级有学生1000名，经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学．（Ⅰ）求甲、乙两同学都被抽到的概率，其中甲为A类同学，乙为B类同学；（Ⅱ）测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米）频率分布直方图如右图：（ⅰ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值为165）作为代表．据此，计算这100名学生身高数据的期望及标准差（精确到0．1）；（ⅱ）若总体服从正态分布,以样本估计总体,据此,估计该年级身高在范围中的学生的人数．（Ⅲ）如果以身高达170cm体育锻炼及身高达标2×2列联表身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100（ⅰ）完成上表；（ⅱ）请问有多大的把握认为体育锻炼及身高达标有关系?参考公式:K=,参考数据:P（Kk）0．400．250．150．100．050．025k0．7081．3232．0722．7063．8415．024]19．（本小题满分分）在四棱锥中，平面平面，△是等边三角形，底面是边长为的菱形，，是的中点，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求直线及平面所成角的余弦值．第（19）题图第（19）题图20．（本小题满分分）在平面直角坐标系中，已知两个定点和．动点在轴上的射影是（随移动而移动），若对于每个动点M总存在相应的点满足，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设过定点的直线（直线及轴不重合）交曲线于，两点，求证：直线及直线交点总在某直线上．21．（本小题满分分）已知函数（）．（Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）四、选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,已知是的直径，，是上两点，于，交于，交于，．（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）求证：．第(22)题图第(22)题图23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系及参数方程已知极坐标系的极点及直角坐标系的原点重合，极轴及直角坐标系的轴的正半轴重合．直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线及曲线相交于，两点，求M,N两点间的距离．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围．参考答案一、选择题1—5DBCAC6—10DBADA11—12BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．14．①④15．（1，3）16．三、解答题17．解：（Ⅰ）由 得 所以，数列是以1为首项，4为公差的等差数列。…………3分 …………7分（求出给3分，猜出通项公式给5分）（Ⅱ） ……9分 又，易知单调递增，故 ，即得取值范围是…………12分18．解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲同学被抽到”及事件“乙同学被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为．2分（Ⅱ）（ⅰ）总体数据的期望约为：=145×0．03+155×0．17+165×0．30+175×0．30+185×0．17+195×0．03=170（cm）4分标准差===11．46分（ⅱ）由于=170,11．4当身高x时，即x（-,+）故身高落在中的概率为0．6826．故身高落在中的人数为683人．9分（Ⅲ）（ⅰ）身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100（ⅱ）Ｋ=1．33故有75℅把握认为体育锻炼及身高达标有关系．12分解；（Ⅰ）∵E是AD中点，连结PE∴AB=2，AE=1∴∴BE⊥AE又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，∴BE⊥平面PAD，4分（Ⅱ）取中点为，连结，，∵，又∵是△的中位线，∴，∴，∴是平行四边形，∴∥，又平面，平面，∴∥平面；8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，，又，是平面内两相交直线，∴平面，又由（Ⅱ）知，∥，∴平面，∴是直线及平面所成的角，易知，在中，，∴，∴．故直线及平面所成角的余弦值为．12分解法二：容易证明，，两两垂直，建立所示空间直角坐标系（如图）．易求，则，，，，，，………2分，因为是的中点，则．2分（Ⅰ）∵，∴，即，∵，∴，即，EA，EP是平面PAD内的两相交直线，平面PAD，……6分（Ⅱ）取PB中点为H，连结FH，AH，则又平面PAB，平面PAB，平面PAB；…………9分（Ⅲ）轴平面PBE，z轴平面PBE，平面PBE的法向量为 设直线及平面PBE所成角为 好故直线EF及平面PBE所成角的余弦值为 …………12分20．解：（Ⅰ）设，则，，，，由，得，即轨迹的方程为．4分（Ⅱ）若直线的斜率为时，直线：，设，．联立，得，即，5分观察得，，即，直线：，直线：，联立：，解之：；所以：；若轴时，不妨得，，则此时，直线：，直线：，联立，解之，，即交点也在直线：上．12分21．解：（Ⅰ）当时，，对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，∴，．4分（Ⅱ）令，．在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方,等价于在区间（1，+∞）上恒成立．∵令，得，，6分①．若>1即1>时在区间（，+∞）上有，在区间（1,）上,此时在区间（，+∞）上是增函数，在（1,）为减函数,并且在区间（1,+∞）上有∈（，+∞），不合题意；②．当0<<1，即时，在区间（1,+∞）上,;故在区间（1,+∞）上是增函数所以在区间（1，+∞）上，有∈（，+∞），也不合题意；③．若，则有，此时在区间（1，+∞）上,有，从而在区间（1，+∞）上是减函数要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是[，]．12分综上可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方．四、选考题22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲