2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精练第17讲 直线的斜率问题含解析

2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第17讲直线

的斜率问题

一.解答题(共18小题)

1.已知椭I员+3)F=3,过点0(1,0)且不过点七(2,1)的直线与椭圆。交于A,B两点,

直线AE与直线x=3交『点M.

(I)求椭圆。的离心率；

(II)若反垂直于x轴，求直线8W的斜率：

(III)试判断直线与直线OE1的位置关系，并说明理由.

22

2.设椭圆C:=+1=l(4>〃>0)的焦距为2&,且经过点(0,1).

a~b~

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点0(1,0)且不过点42,1)的直线与椭圆C交于A,3两点，直线4?与直线x=3交

于点M,试判断直线3例与直线/班的位置关系，并说明理由.

22

3.如图，A,4分别是椭圆。:=+与=1(。>〃〉0)的左右顶点，尸为其右焦点，2是|A/H

a-b~

与|尸8|的等差中项，、回是|A用与|五8|的等比中项.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点夕是椭圆C上异于A,B的动点，直线/过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ

垂直于AP,并交直线/于点Q.证明：Q,P,3三点共线.

4.已知椭圆4+白1的焦点在x轴上,A是E的左顶点，斜率为止。)的直线交E于

A，M两点，点N在E上,M4_LN4.

(I)当1=4,|AM|=4Vl时，求AAA//V的面积;

(II)当2|/W|=|4V|时,求U的取值范围.

已知椭圆吟+£

5.=l(a>b>0)的右焦点为尸(1,0),左顶点为A(-2,0).

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆£交于(不同于点A的)M,N两点.试

判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

6.己知椭圆C:x+过点尸(T-1),C为椭圆的半焦距，且。=灰心

(I)求椭圆。的标准方程；

(H)过点P作两条相互垂直的直线《，4与椭圆。分别交于另两点M,N,若线段MV的

中点在x轴上，求此时直线MV的方程.

7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知双曲线反£-5=1(«>0,〃>0)的右焦点F

alr

到双曲线E的一条渐近线y=®的距离为6.

(I)求双曲线石的方程；

(2)如图，过圆O:f+y2=i上一点M作圆o的切线/与双曲线后的左、右两支分另！交于

P，Q两点，以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A,求直线/的方程.

22

8.已知双曲线0-与=1(。>0,〃>0)的右顶点为A,右焦点为尸，点O为坐标原点，直线

ab

2

/:工=幺与X轴交于点8,且与一条渐近线交于点C,又OA=208.040。=2,过点尸的

c

直线〃?与双曲线右支交于点M,N,点尸为点〃关于x轴的对称点.

(1)求双曲线的方程；

(2)判断4,P,N三点是否共线，并说明理由；

(3)求三角形8WN面积的最小值.

9.设椭圆C:]+y2=i的右焦点为尸，过户的直线/与。交于A,8两点，点M的坐标为

(2,0)•

(1)当/与x轴垂直时，求直线A用的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：/OMA=NOMB.

厂

10.在直角坐标系xOy中，曲线C:y=—与直线/:y=&+a(a>0)交于M,N两点.

4

(I)当％=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.

(II)y轴上是否存在点P,使得当4变动时，总有NOAW=N(»W?(说明理由)

11.在直角坐标系xOy中，曲线C:f=4y与直线)，="+〃(〃>0)交于M,N两点.

(I)当左=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2))，轴上是否存在点P,使得当％变动时，总有NOPM=NQ/W?说明理由.

22

12.已知椭圆与=1(〃">0)的左、右焦点分别为七、工，且工也是抛物线

ab~

上:y2=4x的焦点，尸为椭圆C与抛物线石在第一-象限的交点，且|P^|=g.

(I)求椭圆C的方程；

(2)若直线)，=以1-1)与椭圆C交于/?,S两点，问是否在x轴上存在一点丁，使得当女变

动时，总有NO75=NO77??说明理由.

13.一个圆经过点尸(2,0),且和直线x+2=0相切.

(1)求动圆圆心的轨迹。的方程；

(2)己知点以-1,0),设不垂直于x轴的直线/与轨迹。交于不同的两点八、Q,若x轴是

NP3Q的角平分线，证明直线/过定点.

14.设抛物线炉=2px(〃>0)的焦点为尸，直线/与抛物线交于M,N两点.

(1)若/过点尸，且|MN|=3p,求/的斜率；

(2)若P(g,p),且/的斜率为-1,当P任/时，求/在y轴上的截距的取值范围(用〃表

示)，并证明NM/W的平分线始终与)，轴平行.

15.如图，若M是抛物线J?=x上的一定点(M不是顶点)，动弦ME、MF分别交x轴于A、

4两点，且=证明：直线所的斜率为定值.

16.已知倾斜角为九的直线经过抛物线「：/=2px(p>0)的焦点F,与抛物线「相交于A、

4

B两点、,且[44|=8.

(I)求抛物线「的方程：

(H)过点P(12,8)的两条直线《、&分别交抛物线「于点C，。和E，F,线段8和所

的中点分别为M、N.如果直线《与4的倾斜角互余，求证：直线仞V经过一定点.

17.已知椭圆V+2y2=l,过原点的两条直线乙和分别于椭圆交于A、3和C、D,记

得到的平行四边形ACBD的面积为S.

（1）设4七，%），C（x2,%）,用A、C的坐标表示点C到直线（的距离，并证明

S=2\x]y2-x2yi|；

（2）设4与4的斜率之积为-g,求面积S的值.

18.设椭圆的左、右焦点分别为£,居，下顶点为A.己

a~h~

知椭圆C的短轴长为26，且椭圆C过点（1」）.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线/与椭圆C交于异于点A的两点尸，。，且直线AP与AQ的斜率之和

等于2,证明：直线/经过定点.

第17讲直线的斜率问题

参考答案与试题解析

一.解答题(共18小题)

1.已知椭圆C：/+3)，2=3,过点0(1,0)且不过点42,1)的直线与椭圆。交于A,3两点，

直线AE与直线x=3交于点例.

(I)求椭圆C的离心率；

(II)若A6垂直于x轴，求直线6M的斜率；

(III)试判断直线8W与直线。回的位置关系，并说明理由.

【解答】解：(I)椭圆。的标准方程为£+v=i.

3

所以a=6,〃=1,c=>/2.

所以椭圆。的离心率e=£=".

a3

(II)因为AB过点。(1,0)旦垂直于人轴，所以可设A(Ly),

直线AE的方程为y-l=(l-必)@-2).

令文=3,得M(3,2-y).

所以直线BM的斜率kHM=2m=1.

3—1

(III)直线与直线OE平行.证明如下：

当直线的斜率不存在时，由(H)可知心”=1・

又因为直线OE的斜率勺花=尸^=1,所以BM//DE.

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k[x-\){k*1).

设4%,y),BQ2,y.j,则直线AE的方程为y-l=息二!•(x-2).

再-2

令x=3,得点用(3,乂+.—3).

%-2

由/+3>2=3,得(]+33)/一6心+3公一3=0.

(y=k(x-\)

一+5二3

72

6*2弘2X-21

所以内+x,=V77，内心=丝导.直线3M的斜率为：kRM=—V---------，因为

'1+3K-1+3K3-Xj

-3-+3,12-

仪$-l)+N-3-A(.q-1)储-2)-(3-修)(为-2)_(1)[一1丙+2($+与)-3]_I-'1+3/1+3犷一

KR\Q--1_------------------------------------------------------------------------------------------------_------------------------------------------------------―--------------------------------------------------------

玉一

(3-X2XAI-2)(3-4)(2)(3-&XN-2)

：.BM!IDE.

综上，直线与直线OE平行.

22

2.设椭圆C：W+4=13">0)的焦距为2及,且经过点(0,1).

a'b"

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)过点拉(1,0)且不过点E(2,l)的直线与椭圆C交于力，8两点，直线AE与直线x=3交

于点试判断直线3M与直线班的位置关系，并说明理由.

22

【解答】解：(1)椭圆。:二+与=13>/?>0)的焦距为2拒，且经过点(0J),

a~b-

根据题意得：C=夜，却°2=〃2一从=2①，

把(0,1)代入椭圆方程得:"=1,

把Z/=l代入①得：/=3,

则椭圆C的标准方程为9+V=1；

(2)直线5M与直线OE平行.

证明如下：

过点7)(1,0)且垂直于x轴，

可设A(l,y),

,.・E(2/)，.•.直线AE的方程为：y-l=(l-y,)(x-2),

令x=3,得M(3,2—y),

直线BM的斜率k.=2?；，=1•

当直线AB的斜率不存在时，kHM=I.

又•直线DE的斜率勺圮=片=1,.•.8W//OE；

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x-\)(k工1),

设A(玉，y)，B(x2，y21,

则直线AE的方程为丁一1=入二l(x-2),

芯-2

令x=3,则点M(3，+X—%,

X-2

----*

二直线BM的斜率k=—------,

HM3-Xy

"+3旷=3,得("342)f_6/x+3公一3=0,

联立

…(D

由韦达定理‘得备,6k2仪=£3记k2-3

_4(％-1)+%-3—k(x2—1)(^',—2)—(3—x,)(x1—2)

(3一/)(3一2)

(k-1)[一+2(』+芍)-3]

(3-巧)-2)

-3k2+312公

--1------7:-3)

(IX--1-+---3-攵-231+3攵

(3-x2)(x)-2)

=0,

kBM=1=^DE»即8M//OE；

综上所述，直线8W与直线。石平行.

3.如图，A,4分别是椭圆C:二+[=1(。>〃>0)的左右顶点，”为其右焦点，2是|AF|

a~b~

与I尸8|的等差中项，、行是|A用与|阳|的等比中项.

(1)求椭恻C的方程：

(2)已知点尸是椭圆C上异于A,8的动点，直线/过点A且垂直于工轴，若过户作直线bQ

垂直于AP,并交直线/于点Q.证明：Q,P,4三点共线.

【解答】(I)解：尸(1,0),\AF\=a+c,\BF\=a-c.由2是|4用与|的等差中项，8

是|A尸|与|尸例的等比中项.

(a-c)+(a+c)=4

解得〃=2,c=1>

(a-c)(〃+c)=(G)2

-,b2=a2-c2=3.

二椭圆。的方程为工十二=1.

43

(2)证明：直线/的方程为：x=-2,直线AP的方程为：)，=&(.r+2)(2H0),

y=k(x+2)

联立化为(3+45)/+16攵?x+16公-12=0,

工+，

43

\6k2

4+3一

3+4-

6-8公12k

—诉―(…:询

•/QF±AP»:=-—•

直线QF的方程为：），=-'*-1）,

k

把x=-2代入上述方程可得为=q,

3

。（一2,7）.

K

12k33八

.k-SIZl-Ak-III-A

PQ―6-8/；一元'23三一羸，

3+4?+

••kpQ=kffQ»

：.B,P,Q三点共线.

v-22

4.已知椭圆£—+乙=1的焦点在大轴上，A是E的左顶点，斜率为仪k>0）的直线交£于

t3

A,M两点，点N在E上，MAA.NA.

（I）当，=4,|AM|=MN|时，求A/W/V的面积：

（II）当21AMi=|4V|时，求J的取值范围.

【解答】解：（I）方法一、1=4时，椭圆石的方程为=十工=1,4（一2,0）,

43

直线AM的方程为y=《+2）,代入椭圆方程,整理可得（3+4r*+16k?x+16A:2-12=O,

解得x=—2或x=—^4,则|A/W|=Jl+"2.|2—，+公

3+4K3+4七3+4A

由AN_LA〃，可得|AN|=

—1_4

3+4.(一)23R|+——

k|A|

由|AM|=|4V|,k>0,可得Jl+口J;Ji+公一

3+4K2/।4

3k+-

整理可得（左-1）（4产+4+4）=0,由4/+及+4=0无实根，可得攵=1,

I1---io|44

即有MMN的面积为L(后t7•.

223+449

方法二、由IAMRANI，可得M,N关于x轴对称，

由M4_LN4.可得直线AM的斜率为1,直线AM的方程为y=x+2,

代入椭圆方程式_+匕=1，可得7丁+16x+4=0,

43

791?919

解得大=一2或一士，例(一二，—),N(--,--),

77777

1749144

则A4MV的面积为5X亍x(-,+2)=语;

(H)直线AM的方程为y=A(x+K),代入椭圆方程，

可得(3+优2)x2+2t4tk2x+rk~-3f=0,

解得/=-〃或工=-巫士更，

3+而

(补充求M,N的纵坐标的方法：

设4=/,m=；,则直线AM的方程为x=,*—a,与椭圆的方程联立，可得

-6a

因此M的纵坐标为6"。，N的纵坐标为二口二一6叱）

3m'+a~323+m”

+61

-m-2

即有।AMI=Ji+5.।-77|=Ji+公-，

3+Mr3+tk~

IAN|=Jl+4r-6,=Jl+公-6"，

Vk3+』3k+-

k2k

由21AMi=|4V|,可得2J1+&2Ji+公•应二,

3+比3女+」

k

整理得/=6£-3攵，

A-2

由椭圆的焦点在x轴上，则/>3,即有纥二次>3,即有经芈二2<0,

&-2k-2

可得蚯vZv2,即A的取值范围是（啦，2）.

5.已知椭圆£二+5=13>"0)的右焦点为F(1,O),左顶点为4一2,0).

a-b2

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点4的）M,N两点.试

判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

【解答】解:⑴根据题意，椭圆E:二十==1（。>〃>0）的右焦点为尸。，0），

a~b~

左顶点为4一2,0）,则c=l,a=2,

则从二°2一/=3.

所以椭圆E的方程为三十二=1.

43

（2）根据题意,

①当直线与x轴垂直时，直线A用的方程为y=x+2,

联立仁+4），』2得74版+4=0,解得入•='或^=-2（舍去）.

此时直线“N的方程为人=-]♦直线MN与八轴的交点为（-1，。）・

②当直线MN不垂直于大地时，设直线MN的方程为y=kx+m.

联立+4y^~12得+3)，+8妨"+4/，-12=0.

设例(％,x),N(X2,y2),

8km4〃"123疗一12公

则%+占=二行行方旷下定

2

且a=(86)2_火41+3)(4m-12)>0,即病<止+3.

而AM=(内+2,y),AN=(x2+2,y2),

由题意知，AMIAN,

7/M2-\6k/n+4k'

即AM-AN=xx+2(内+x)+yy+40,

}2224^+3

7

解得〃?=—&或〃?=2攵（舍去）.

7

当"?=2人时，满足加2<4y+3.

7

直线MN的方程为y=+9,此时与大轴的交点为（-,,0）.

7

故直线与'轴的交点是定点"坐标为（一于。）.

6.己知椭圆=过点展1），。,为椭圆的半焦距，且，=同.

（I）求椭圆c的标准方程；

（II）过点?作两条相互垂直的直线I,4与椭圆。分别交于另两点M,N,若线段MN的

中点在x轴上，求此时直线的方程.

【解答】解：（1）由。=血，可得/=36，椭圆。:[+4=13＞人＞1）过点尸（一1,一1）,

a-b“

可得3+4=1,解得"=4,b2=-,

a2b23

所以椭圆的方程为：—+4=1……（4分）

44

3

（II）设,X）,Mx2，y2）»

则”=：,

x；+3K=4

两式相减得a+W）（N-玉）+3（）1+%）（Y一%）=°，

因为线段MN的中点在x地上，

所以）[+%=。，从而可得C4+X2）（不一修）=。•…（7分）

若百+匹=0,则N（F,一凶）.

因为过点夕作两条相互垂直的直线小所以PM_L/W,

所以PM・PN=（）,得x；+y；=2.

又因为x；+3y；=4,所以解得百=±1,

所以M（-1,1）,NQT）或“（LT），N（T,1）.

所以直线MN的方程为y=r.…（10分）

若百-W=0,则N（X\,-y\）,

因为PMLPN,所以PM・PN=O,得褚=（5+1）2+1.

又因为#+3y；=4,所以解得％=—g或7,

经检验：、=满足条件.“=-1不满足条件.

2

综上，直线MN的方程为工+），=0或x=一!....（13分）.

2

22

7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知双曲线E:二-二=1（。＞0力＞0）的右焦点尸

a~h~

到双曲线E的一条渐近线y=限的距离为6.

（1）求双曲线E的方程；

（2）如图，过圆O:f+y2=]上一点M作圆O的切线/与双曲线E的左、右两支分另！交于

P，Q两点，以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A,求直线/的方程.

.••双曲线石的方程为f一二=1；

3

（2）由已知直线/的斜率存在，设/：）=齿+〃?，则J""=1,即小2=1+&2,

x/1+k2

联立）—J得（3-抬*-2〃依-3=0.

[y=kx+m

设P"i，X），。（巧，＞2）＞

3-公工()

2

*4尸"，+4(m+3)(3—,解得Q,&2v3.

"广+3八

xx,=-------<0

,-3-k2

linkin2+3

…=丁

乂A（1,O），尸（百，y\）,Q（X2，y2）,

以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A,

/.AP-AQ=0,即(X)-l)(x,-1)+yty2=(X)-l)(x2-1)+(如+in)(kx2+ni)

2

=(1+&2)不占+(mk-1)(内+x2)+m+1=0.

(1+6)(>+3)2ink(mk-\)

3-k2+-3^P-+1+1=0,

则nr-mk-2k2=0,得m=24或m=-k.

①当机=-％时，点M与右顶点A重合，不合题意舍去；

②当〃1=24时，代入，"2=1+4，，解得2=±2^.,满足条件.

出加、.工口寸V32\/3t5/32>/3

直线/的方程为y=——x+----或,=----x--------.

•3333

8.已知双曲线二-与=1(〃>0力>0)的右顶点为A,右焦点为尸，点O为坐标原点，直线

a'b-

/:工=幺与工轴交于点8,且与一条渐近线交于点C,又OA=2O8,O4・OC=2,过点尸的

c

直线〃?与双曲线右支交于点M,N,点P为点M关于x轴的对称点.

(1)求双曲线的方程；

(2)判断8,P,N三点是否共线，并说明理由；

(3)求三角形8MN面积的最小值.

【解答】解：(1)OA=2OB.OA-OC=2,

a=2x—

,cf/.々2=4,c=4

a2.

ax.——=2

c

：.b2=c2-a2=\2

.•.双曲线的方程为£-.=i；

412

(2)由(1)可知8(1,0),F(4,0),

?)

由题意直线w的斜率不为0,所以设直线〃，的方程为x=)+4,代入?-会=1整理得

(3/一9+24()，+36=0,

设M(X，yj,N(s，为)，则尸(内，-M).

由韦达定理知y+刈=孑含，

所以HP=(r,-1,-^),HM=(r2-l,y2).

因为

36?4/

(x,-1)3^-(x,-l)(-y,)=A,y+9y,-y-％=%+3(1+为)=2tT+3(-^~7)=0

2夕—131—1

向量3P,BN共线，所以8,P,N三点共线.

(3)因为直线〃?与双曲线右支交于点M,N,所以4¥2=(优+4)“乃+4)>()，得/<：.

6闻3+3产

­q=gI8FIIy-乃1=gx3XJ(y+%)2-4y%

1—3/2

令〃二1一3/，则〃w（。，1］，S.N=6®^L=6闻*—=6闻4（：—，

又!€［1,一）,所以1=1,即7=0时、三角形BVW面积的最小值18.

UU

9.设椭圆。:与+丁=|的右焦点为尸，过户的直线/与。交于A,8两点，点M的坐标为

(2,0).

（1）当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：NOMA=NOMB.

【解答】解：（1）c=JT7=l,

•.F（l,0）,

/与x轴垂直，

二.直线4M的方程为y=一4^+&,y=^-x-\/2,

证明：（2）当/与x轴重合时，NOMA=NOMB=（F,

当/与x轴垂直时，OM为的垂直平分线，.•.NOM4=NOMB,

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为），=火。-1）,女工0,

A（.「，）［）,8*2，y2）>则x2<42,

直线MA,例》的斜率之和为《乂，之和为&川+七8=」^+/一，

X）-2x2-2

由丫佻一”得觞+勺厂”=S3茨

将y=©x-1)代入y+/=l可得(2k2+I)x2-4k2x+23-2=0,

4K2k2-2

访…”而

/.2村占一3女(N+/)+4&=2，］(4k--4k-12k3+8k'+4k)=0

从而1+编=（）,

故MA,MB的倾斜角互补，

4OMA=4OMB,

综」:NQM4=NOM8.

2

10.在直角坐标系MA，中，曲线C:y=土与直线/:y=&+a（a>0）交于M,N两点.

4

（I）当％=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.

（II）y轴上是否存在点尸，使得当A变动时，总有NORW=NOPN?（说明理由）

y=a

【解答】解：（/）联立，/,不妨取M（26,a）,N（—26间）,

由曲线C:y=工可得：/=-,

42

曲线C在M点处的切线斜率为孚=右，其切线方程为：），-4=右（.1-26）,化为

\/ax-y-a=0.

同理可得曲线。在点N处的切线方程为：Gx+y+a=0.

（〃）存在符合条件的点（0,-。），下面给出证明：

设P（0力）满足NOPM=NOPN.M（N，y,）,N（x2,力），直线，RV的斜率分别为:

y=kx+a

联立XT化为f-4米一4a=0,

＞，=T

否+犬2=4左，x（x,=-4a.

,_yx-by2-b_2kxxx2+（a-/?）（.rt+x2）_k（a-¥b）

Nx2玉毛a

当人=一。时，4+自=0,直线PM,7W的倾斜角互补，

..AOPM=zlOPN.

.•.点P（0-a）符合条件.

11.在直角坐标系xQy中，曲线（7:丁=4〉，与直线〉，=心:+4（〃>0）交于加，N两点.

（I）当左=0时;分别求。在点”和N处的切线方程；

（2）y轴上是否存在点P,使得当女变动时，总有NOPM=NOnV?说明理由.

)'

【解答】解：(I)联立(f，可得MQ&M)，M_2&,a),或M(—2&,a),N(26,a).

rv

yr=—x,故y='在x=2y[la处的导数值为y[a，

'2-4

C在(2&a,〃)处的切线方程为y-a=\[a(x-2\[a),即\[ax-y-a=0.

故v=士在x=-2\/5a处的导数值为-6,

4

C在(-2&&〃)处的切线方程为y-a=-&(x+2及)，HP4ax+y+a=O.

故所求切线方程为«x-y-。=0或\[ax+y+a=0.

(2)存在符合题意的点，证明如下：

设P(0力)为符合题意的点，加(芭，y,),N(X2,乃)，直线PM,0N的斜率分别为勺，k2.

将y=去+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0.

/.+x2=4k,xtx,=-4a.

_yi-by2-b_2AxM2+3-〃)(％+x2)_k[a+h)

X)x)王wa

当〃=-a时，有《+&=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故Z.OPM=4OPN,所以0(0,-a)符合题意.

22

12.已知椭圆。苏+齐=1(〃>〃>0)的左、右焦点分别为E、F,,且鸟也是抛物线

E：V=4X的焦点，尸为椭圆。与抛物线E在第一象限的交点，且|P6|=9.

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线)，=&*-1)与椭圆C交于R,S两点，问是否在x轴上存在一点T,使得当k变

动时，总有NO7S=NO77??说明理由.

【解答】解：(1)死也是抛物线E：y2=4x的焦点，

/.c=l,且抛物线的准线方程为x=-l,

设点P(毛，丹)

,・•|尸鸟|=:,

,5

「•/+1=§，

2

•“晨

2a2G

.0=而=亍'

48।

・'万+/=1'

'；cr-h2=c2=1,

解得/=4»b2=3,

-"■椭圆方程为—+—=1.

43

(2)假设存在7(f,0)满足NO75=NO77?.设R(x］，yj,S(x2,y2)

联唱曹:嘉2得84—+412=0,

8k2二号①，其中△>()恒成立,

由韦达定理有内+占40="

3+4?「3+4公

由NO7S=NO77?(显然万，77?的斜率存在)，故7+展=0即1^+工一=0②，

玉一iA2-t

由R,S两点在直线y=A(x-I)上，故y=k(X1-l),y>=k(x2-1),

代入②整理有2XJX2-(/+1)(X1+x2)+2/=0@»

将①代入③即有：史二斗=0④，要使得④与A的取值无关，当且仅当“/=4”时成立，

3+4K

综上所述存在7(4,0),使得当上变化时，总有NO75=/O77?.

13.一个圆经过点尸(2,0),且和直线x+2=0相切.

(1)求动圆圆心的轨迹。的方程；

(2)已知点B(T,0),设不垂直于x轴的直线/与轨迹。交于不同的两点尸、Q,若x轴是

NP以2的角平分线，证明直线/过定点.

【解答】解：(1)设动圆圆心P(x,y),则由抛物线定义易得：点P是以尸(2,0)为焦点，

以x=-2为准线的抛物线.

动圆圆心的轨迹方程为：/=8x

(2)设两点P($,y),Q[X2,y2),设不垂直于x轴的直线：l\x=ty+m[t0),

则有：y2-8r>7-8/7/=0,所以:y,+y=8r,y,y=-Sm

y~=8x22

因为x轴是NP/迨的用平分线,

所以：+kR(}=0,即：。+、=0,即：2ty\y2+(m+1)(^+y2)=0

x,+19+1

则：-16tm+(1+m)8r=0，

所以：=],l:x=ty+\,

所以直线,过定点（1,0）

14.设抛物线y2=2〃x（p>0）的焦点为/，直线/与抛物线交于M,N两点.

（1）若/过点尸，且|MN|=3p,求/的斜率；

（2）若P（'p）,且/的斜率为-1,当P〃时,求/在），轴上的截距的取值范围（用〃表

示），并证明N4〃W的平分级始终与），铀平行.

【解答】解：（1）当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为X=史，代入抛物线方程可得

2

y2=p~»即y=±〃，

所以|MN|=2p,

但|用N|=3p,故直线/的斜率存在，设其方程为y—9伏工0）.

由卜依一分得人2_（二〃+2小+也：=°,

9=2/",4

设M（X，y）,N（X,y）,则4+七二人〃：一〃,

22K

所以r|+|NC=x+£+/+g=X+占+〃=4〃；2〃+〃=3p,

22k

解得k=±e,所以直线/的斜率为±侦.

（2）设直线/的方程为），=一为+〃?，M（x,,x）,N（X2.y2）.

得V一⑵〃+2p）x+in'=0,

2

则%+.马=2m+2〃,xrv2=w.

由△=（2，〃+2p）2-4〃/〉0,得加又-■^+用工,，所以机工当，

从而在），轴上的截距的取值范围为

_）『〃+先-〃_6『〃内-9+（%-如-9

,+OO).k’M十与，N

仁当u号yPP

r

x'~2"5(X-9®一9

(一X|+lft-P)(x2一争+(~X2+m~P)(X]~争

（司一如丁乡

-2$42+(〃?一枭内+%)-P(,n~〃)

-2/7r+(m--)(2w+2〃)一p(m-p)

-----------2------------------=0

(N_§)(&-f)

ZL

所以直线PM,PN的斜率互补,

从而NMPN的平分线始终与y轴平行.

15.如图，若M是抛物线j2=x上的一定点（M不是顶点），动弦ME、M/分别交x轴于A、

4两点，且MA=MA.证明：直线跖的斜率为定值.

【解答】证明：设M（y；，%），直线ME的斜率为左伏＞0）,

方程为y_%=/_身.

则直线MF的斜率为一k,方程为），-%=-k（x-yl）.

y_%一（7）消去We,

由＜

/=X解得%=上答］所以.*=（1谭。）

kk~

点上的坐标为（（「?））:匕与）....（5分）

k-k

同理可得，点厂的坐标为（。+，。）[上空）.

k~-k

Ifo]+.b2

所以4—k-k，―1

物口（1+^--4^O-2%，

k:k1k1

所以直线所的斜率为定住.…（10分）

16.已知倾斜角为-的直线经过抛物线r：y2=2Pxs>0）的焦点F,与抛物线「相交于A、

4

B两点、,且|4例=8.

（I）求抛物线「的方程：

（II）过点P（12,8）的两条直线4、，2分别交抛物线「于点C、。和石、F,线段CD和比

的中点分别为M、N.如果直线4与的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点.

【解答】解：（I）由题意可设直线的方程为y=x-5,令A（$,y）,B（x2,%）.

联立]2得V-3〃工+2=0,/.内+4=3〃，

[y2=2px

根据抛物线的定义得，又|4例=司+々+〃=4〃，又|4冽=8,.•.4〃=8,.•.“=2.

则此抛物线的方程为/=4.v.

（II）设直线4、4的倾斜角分别为。、储直线右的斜率为3则A=tana.

sin(---ex).

由于直线4、/,的倾斜角互余，贝han〃=ian(X—a)=—?——=—=—

2cos(X-a)加。tana

则直线，，的斜率为L.

*k

于是直线8的方程为y-8=-12）,即y=-12）+8,

丁?“"®得6,2_4y+32-4M=0,.•.)，+为=，

联立，

y=4xk

...416

则m