吉林省吉黑十校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学 含解析

高一数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第四章第2节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.2若，，则（）A.p是全称量词命题，且是真命题 B.p是全称量词命题，且是假命题C.p存在量词命题，且是真命题 D.p是存在量词命题，且是假命题3.已知函数则（）A.1 B.3 C.9 D.114.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5.幂函数是偶函数，则的值是（）A. B. C.1 D.46.不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知函数，且，，则（）A. B.C. D.8.已知，，且，则的最小值是（）A.2 B.4 C.5 D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.是奇函数B.的定义域是C.的值域是D.在上单调递增11.已知是定义在R上的奇函数，，且，则（）A.B.的图象关于直线对称C.偶函数D.的图象关于点中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______.13.若关于x不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______.14.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.16.已知，，且.（1）证明：（2）求的最小值.17已知函数（1）求；（2）判断的单调性并用单调性的定义证明你的判断；（3）若不等式，求t的取值范围.18.某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的（1）求每年捕捞的鱼的数量的百分比.（2）到今年为止，该水库已捕捞了多少年?（3）今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年?19.如图，在等腰梯形中，，.点P沿移动，点Q沿移动.已知P，Q同时从点A出发，P每秒移动1个单位长度，Q每秒移动2个单位长度，P，Q重合时，停止移动.记它们移动的时间为x秒，梯形的面积与的面积之差为.（1）求的解析式；（2）求的最小值.高一数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第四章第2节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据补集的知识求得正确答案.【详解】由题意可得.故选：B2.若，，则（）A.p是全称量词命题，且是真命题 B.p是全称量词命题，且是假命题C.p是存在量词命题，且是真命题 D.p是存在量词命题，且是假命题【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的定义结合一元二次不等式与二次函数、二次方程的关系判定命题真假即可.【详解】因为，所以，，则p是全称量词命题，且是真命题.故选：A3.已知函数则（）A.1 B.3 C.9 D.11【答案】C【解析】【分析】根据自变量范围代入相应函数即可求得结果.【详解】由题意可得，则，故选：C.4.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等式与不等式的性质及作差法可求得结果【详解】对于A：当时，，选项A错误；对于B：因为，令，则，选项B错误；对于C：，因为，，若，则，选项C错误；对于D：由，得，则，选项D正确，故选：D.5.幂函数是偶函数，则的值是（）A. B. C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义求得的值，再分别检验函数的奇偶性即可得解.【详解】因为是幂函数，所以，即，解得或，当时，可化为，易知的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，满足题意；当时，可化为，显然，故不是偶函数，不满足题意；综上：.故选：C6.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可.【详解】不等式等价于不等式，即不等式，即不等式，解得或.故选：B7.已知函数，且，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解.【详解】.因为，，所以.故选：C8.已知，，且，则的最小值是（）A.2 B.4 C.5 D.8【答案】B【解析】【分析】根据条件等式得，通过变形配凑，利用基本不等式结合一元二次不等式计算即可.【详解】因为，所以.因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即，即，解得或.因为，，所以，即的最小值是4.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用分离常数法，结合基本不等式、充分和必要条件等知识来确定正确答案.【详解】因为命题“，”是真命题，所以.因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，由选项可知，，均是的必要不充分条件.故选：ABC.10.已知函数，则（）A.是奇函数B.的定义域是C.的值域是D.在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义可判定A，利用对勾函数与指数函数的定义、性质结合复合函数的性质计算即可判定B，C，D.【详解】因为，所以，所以不是奇函数，则A错误.由题意可得的定义域是，则B正确.因在R上单调递增，而函数在和上单调递增，在上单调递减，所以在和上单调递增，在上单调递减，又当时，，所以；当时，，所以.则的值域是，则C、D正确.故选：BCD11.已知是定义在R上的奇函数，，且，则（）A.B.的图象关于直线对称C.是偶函数D.的图象关于点中心对称【答案】ACD【解析】【分析】由奇函数性质和已知等式得出fx+2=−fx，然后计算判断A，然后根据对称性的概念及性质判断【详解】因为，所以.因为是奇函数，所以f−x=−fx，则fx+2=−fx，所以，则A因为，即，所以的图象不关于直线对称，则B错误.因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即是偶函数，则C正确.因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为的图象关于直线对称，所以的图象关于点2,0中心对称，则D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______.【答案】3【解析】【分析】根据指数运算求得正确答案.【详解】.故答案为：13.若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】根据解集得到系数之间的关系，即可求得结果.【详解】由题意可得，则，，所以不等式，即不等式，因为，所以不等式，即不等式，解得或，故答案为：.14.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的两段都是增函数且分界处左小右大（可相等）得不等式组，解之即得．【详解】由题意可得，解得.故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】由题意可得.当时，，则.【小问2详解】由（1）可知，则，因为，所以，解得，即a的取值范围是.16.已知，，且.（1）证明：（2）求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立.（2）利用“的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值.【小问1详解】因为，，所以，当且仅当时，等号成立.因为，所以所以，所以.小问2详解】因为，所以.因，，所以当且仅当，即时，等号成立，则，故，即的最小值是217.已知函数（1）求；（2）判断的单调性并用单调性的定义证明你的判断；（3）若不等式，求t的取值范围.【答案】（1）（2）在R上单调递增，证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）直接代入解析式求函数值即可；（2）利用单调性的定义结合指数函数的性质计算即可；（3）根据及函数的单调性去函数符号解一元二次不等式即可.【小问1详解】由解析式可知：；【小问2详解】在R上单调递增.设，则.因为，所以，所以，所以，即，则在R上单调递增；【小问3详解】易知等价于，即.由（2）可知在R上单调递增，则，即，即，解得或，即t的取值范围为.18.某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的（1）求每年捕捞的鱼的数量的百分比.（2）到今年为止，该水库已捕捞了多少年?（3）今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年?【答案】（1）（2）3年.（3）9年.【解析】【分析】（1）设每年捕捞的鱼的数量的百分比为x，根据题意建立等量关系计算即可；（2）设到今年为止该水库已捕捞t年，根据题意建立方程，解指数方程即可；（3）设今年之后，最多还能捕捞n年，根据题意建立不等式，由指数函数的性质解不等式即可.【小问1详解】由题意可得，即，解得，则每年捕捞的鱼的数量的百分比为.【小问2详解】设到今年为止该水库已捕捞t年，则，所以，所以，解得，即到今年为止，该水库已捕捞了3年.【小问3详解】设今年之后，最多还能捕捞n年，则n年后，水库里鱼的剩余数量为.题意可得，则，所以，解得，故今年之后，最多还能捕捞9年.19.如图，在等腰梯形中，，.点P沿移动，点Q沿移动.已知P，Q同时从点A出发，P每秒移动1个单位长度，Q每秒移动2个单位长度，P，Q重合时，停止移动.记它们移动的时间为x秒，梯形的面积与的面积之差为.（1）求的解析式；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分四种情况，即点在上，点在上，点在上且点在上，均在上，讨论分析即可；（2）根据分段函数的单调性及基本不等式可求得最小值.【小问1详解】因为，所以，如图1，作，垂足为E，由题意可得，，则，，故梯形的面积，当时，P在线段上，Q在线段上，且，，如图1，作，垂足为F，因为，所以，所以的面积，则，当时，P在线段上，Q在线段上，且，则的面积，故，当时，P在线段上，Q在线段上，且，，如图2，作，垂足为H，因为，所以，所以的面积，故；当时，P，Q均在线段上，且，，如图3，作，垂