高一数学必修一第三章复习课

章末复习课知识体系·网络构建专题一函数的概念[重要提醒]1．由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域．(1)定义域是使函数关系式有意义的自变量的取值集合．若是针对实际问题，还要考虑其实际意义，若是复合函数，则要分清中间变量与自变量．(2)对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量．专题突破·要点聚焦2．函数式与函数值f(a)表示x＝a时f(x)的函数值，是值域内的一个数值，它表示的是常量；f(x)表示自变量为x的函数，它表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6是一个常量．抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略．求函数值时，同时要结合函数的性质．答案：(－∞，0)∪(0，1]B答案：－1

3答案：15．已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)．(1)求f(1)的值；(2)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q为常数)，求f(36)的值．解：(1)令a＝1，b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)法一：令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p.令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q.令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.法二：因为36＝22×32，所以f(36)＝f(22×32)＝f(22)＋f(32)＝f(2×2)＋f(3×3)＝f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3)＝2f(2)＋2f(3)＝2p＋2q.②对称：y＝f(x)关于y轴对称y＝f(－x)；y＝f(x)关于x轴对称y＝－f(x)；y＝f(x)关于原点对称y＝－f(－x)．③要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可．要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后保持y轴上及其右侧的图象不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可．[典型问题]1．利用平移变换作函数图象[典例1]将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．所得的图象对应的函数解析式为(

)A．y＝2(x＋2)2－6 B．y＝2x2－6C．y＝2x2 D．y＝2(x＋2)2[解析]根据函数图象的平移规律得到平移后的图象对应的解析式为y＝2[(x＋1)－1]2－3＋3＝2x2.C2．利用对称变换作函数图象3．利用翻折变换作函数的图象[典例3]作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上及其上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．[解析]由题知，y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数．根据奇、偶函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象如图所示．[答案]

{x|－2<x<－1或0<x<1或2<x<3}．专题三函数的性质[重要提醒]1．树立“定义域优先”的原则．2．函数的单调性是相对于某个区间的性质，奇偶性，周期性是相对于定义域的性质．3．单调函数的运算性质若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质．(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a·f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a·f(x)具有相反的单调性．f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减4.若函数f(x)与g(x)的定义域相同，且关于原点对称，则有f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数偶函数非奇非偶函数奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数2．函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用[典例2]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则(

)A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)D[解析]

∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．又f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0，2]上单调递增，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2，2]上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．3．函数性质的判断[典例3]

(1)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(

)A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数D(2)(2023·福州高一检测)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0.给出下列四个结论：①f(0)＝0；②f(x)为偶函数；③f(x)为R上的减函数；④f(x)为R上的增函数．其中正确的是(

)A．①③ B．①④C．②③ D．②④AC[解析]

(1)根据题意有f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，所以f(x)＋|g(x)|是偶函数．同理，无法判断选项A，B中的函数的奇偶性，选项C中的函数是偶函数．故选D．(2)函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，故①正确．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，故②不正确．任取x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．∵x1>x2，∴x1－x2>0.又∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)为R上的减函数，故③正确，④不正确．故选A．4．由函数的性质求参数[典例4]

(1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．(2)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则a＝________．(3)(2023·南充市适应性考试)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．(4)(2023·黄冈市质量检测)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________．[解析]

(1)法一：显然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|，又x∈R，所以a＝0.法二：设y1＝x2为偶函数，设y2＝|x＋a|，要使f(x)＝y1－y2为偶函数．必须使y2＝|x＋a|为偶函数．∴a＝0.(2)法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋