湖北省荆州市荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（全卷满分150分考试用时120分钟）一､单项选择题1.设集合则（）A.B.C.D.2.下列说法不正确的是（）A.命题，则命题的否定：B.若集合中只有一个元素，则C.若，则D.已知集合，且，满足条件的集合的个数为83.下列比较大小的式子中，正确的有（）个①；②；③A.0B.1C.2D.34.幂函数在区间上单调递增，且，则的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断5.在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（）A.B.C.D.6.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（）A.B.C.D.7.已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（）A.B.C.D.8.已知函数，则下列说法错误的是（）A.B.关于的方程有13个不同的解C.在上单调递增D.当时，恒成立二､多项选择题9.下列说法正确的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.函数且的图象恒过定点C.函数的最小值为6D.“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A.是奇函数B.是偶函数C.的值域是D.的值域是11.已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（）A.为奇函数B.C.D.三､填空题12.已知，计算：__________.13.已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为__________.14.已知函数定义域为，且满足，当时，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题15.已知函数的定义域为（1）求实数的取值集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.16.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若方程有两个正实数根，求的最小值.17.荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为.（1）已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.（i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围；（ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（2）一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由.18.已知函数.（1）若，求在区间上的值域；（2）若方程有实根，求实数m的取值范围；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.19.若存在常数使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数.已知函数.（1）证明：函数在区间上单调递增.（2）当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由.参考答案题号1234567891011答案CBCABDDCADACDBCD三､填空题12.13.14.四､解答题15.（1）由题意得不等式的解集为：当时，恒成立，满足题意；当时，则由解集为可得，解得：，综上可得：；（2）由是的必要不充分条件可得：是的真子集，当时，满足题意，此时有，解得：；当时，则，解得，综上可得的取值范围是.16.（1）不等式即为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为.（2）方程有两个正实数根，即有两个正实数根故，解得，所以令，则，故当且仅当即时取得等号，故的最小值为6.17.（1）（i）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，所以，又矩形窗户面积，解得，故的取值范围为.（ii）设地板面积为，解不等式组，所以，即，解得，故窗户面积最小为，令，可得，解得或.故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米.（2）设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.因为，所以，即，所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了.18.（1）当时，，令，因为，所以，所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增，当时，有最小值，当时，有最大值，所以.所以时，在区间上的值域为.（2）由（1）知当令，则，即有实数根，此时实数根大于零，所以可得，解得：.所以方程有实根，实数的取值范围为.（3）由题意得，若对任意的，总存在，使得，可得，由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，所以当时，有最小值，由（2）知当令，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为函数在时均单调递增，所以函数在时单调递增，所以，所以.19.（1）任取，不妨设，则，由，则，故，即，故函数在区间上单调递增.（2）当时，与存在隔离直线函数；令，即