2024-2025学年广东省广州一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州一中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+3y+a=0(a为实常数)的倾斜角的大小是A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知向量p在基底(a,b,c)下的坐标为(8,6,−4)，其中a=i+j，bA.(4,14,2) B.(10,12,14) C.(14,10,12) D.(4,2,3)3.如图在四面体OABC中，M，N分别在棱OA，BC上且满足OM=2MA，BN=2NC，点G是线段MN的中点，用向量OA，OB，OC表示向量OG应为A.OG=13OA+16OB+4.已知直线l1：2x+(λ+1)y−2=0，l2：λx+y−1=0，若l1//l2A.−2 B.−13 C.−2或1 5.已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,1)，且ka+b与bA.13 B.12 C.2 6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(注：素数又叫质数)的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(

)A.112 B.114 C.1157.对于任意实数k，直线(k+2)x−(1+k)y−2=0与点(−2,−2)的距离为d，则d的取值范围是(

)A.[0,42] B.(0,42]8.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是12，则甲最终获胜的概率是(

)A.116 B.716 C.38二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.现有A，B两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a，b，再将两箱子混合后取出一个小球c，事件M：“小球a为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法错误的有(

)A.M发生的概率为13 B.M与N互斥

C.M与N相互独立 D.P发生的概率为10.设A，B为两个互斥的事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列各式正确的是(

)A.P(AB)=0 B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A−∪B)=P(11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AC=BC=1,AA1=3,E为B1A.异面直线AB与B1C所成角的余弦值是24

B.三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积是20π

C.当点P是线段A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.以点X(3,1)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是______．13.已知两点A(1,1,0)，C(0,0,1)，B(0,1,1)是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离______．14.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角D−AB−F的大小是60°，M，N分别是AC，BF上的动点，且BN=2AM，则MN的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知三角形的三个顶点A(−5,0)，B(3,−3)，C(0,2)．

(1)求BC边的中垂线所在直线的方程；

(2)求△ABC的面积．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点，解答以下问题：

(1)证明：直线MN//平面OCD；

(2)求点N到平面OCD的距离．17.(本小题15分)

甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分．

(I)求乙、丙各自闯关成功的概率；

(II)求团体总分为4分的概率；

(III)18.(本小题17分)

在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=2BC=6，点D，E分别在边AC和AB上，且DE//BC，CD=2，如图甲.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，点M在棱A1D上，如图乙．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；19.(本小题17分)

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a,b〉.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模|a×b|=|a|⋅|b|sin〈a,b〉.如图，在正四棱锥S−ABCD中，AB=2，且|BC×SD|=27．

(1)求正四棱锥S−ABCD的体积V；

(2)若P为侧棱SD参考答案1.D

2.A

3.A

4.A

5.C

6.C

7.A

8.D

9.ABD

10.ACD

11.AC

12.(x−3)13.614.1215.解：(1)∵B(3,−3)，C(0,2)

∴kBC=2−(−3)0−3=−53，BC中点坐标(32,−12)．

∴BC边的中垂线所在直线的方程：y+12=35(x−32)，即3x−5y−7=0．

故BC边的中垂线所在直线的方程为：3x−5y−7=0．

(2)∵B(3,−3)，kBC=−53，

∴BC边所在直线方程为：y+3=−53(x−3)16.解：(1)证明：取OB的中点E，连接ME，NE

∵ME/​/AB，AB/​/CD，

∴ME//CD，

∵NE/​/OC，ME∩EN=E，OC∩CD=C，

∴平面MNE/​/平面OCD，

∴MN/​/平面OCD．

(2)∵N为BC的中点，

∴点N到平面OCD的距离是点B到平面OCD的距离的一半，

而点B到平面OCD的距离，即为A点到平面OCD距离．

作AP⊥CD于P，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，

∴CD⊥平面OAP，AQ⊥CD，

∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，

∵底面ABCD是边长为2的菱形，OA⊥底面ABCD，OA=2，

M为OA的中点，N为BC的中点，∠ABC=60°，

∴PD=12AD=1，AP=4−1=3，

线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，

∵OP=OD2−DP2=OA2+AD17.解：(I)三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，

甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15

设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2

∵乙丙独立闯关，

根据独立事件同时发生的概率公式得：13P1=16P1⋅P2=15.

解得P1=12,P2=25．

即乙闯关成功的概率为12，丙闯关成功的概率为25．

(II)团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关．

设“团体总分为4分”为事件A，

则P(A)=(1−13)×12×25+13×(1−12)×18.解：(1)证明：∵在图甲中，AC⊥BC，DE/​/BC，∴DE⊥AC，

∴在图乙中，DE⊥A1D，DE⊥CD，

又A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1CD，∴DE⊥平面A1CD，

∵A1C⊂平面A1CD，∴DE⊥A1C，

又A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面BCDE，

∴A1C⊥平面BCDE．

(2)由(1)可如图建立空间直角坐标系，则：

C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0),A1(0,0,23),M(1,0,3)，

∴CM=(1,0,3),A1B=(0,3,−23),A1E=(2,2,−23)，

设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥A1Bn⊥A1E，则n⋅A1B=3y−23z=0,n⋅A119.解：(1)设AC和BD相交于点O，取AD的中点为K，连接KO，SK，则SK⊥AD，

因为AD//BC，所以BC,SD的夹角即为AD,SD的夹角，

所以|BC×SD|=BC⋅SD⋅sin∠SDK=2⋅SK=27，

所以SK=7，

所以SO=SK2−OK2=6，

故正四棱锥S−ABCD的体积V=13⋅4⋅6=463．

(2)以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(−2,0,0)