2024-2025学年高一数学阶段测试557

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024-2025学年高一数学阶段测试557考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：100分钟；命题人：WNNwang04学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、在ABC中，为的对边，且，则（

）A.成等差数列B.成等差数列C.成等比数列D.成等比数列2、【题文】已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）

A.

B.

C.

3、【题文】P=,.则a、b满足（

）

A

B

C

4、一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为(

)．

A.长方形B.直角三角形C.圆D.椭圆5、若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立，则a的最小值为（

）A.0B.﹣2C.-D.﹣36、过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A.2x+y﹣3=0

B.2x﹣y﹣3=0C.4x﹣y﹣3=0

D.4x+y﹣3=07、已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A.f（0）＜f（）B.f（﹣2）＞f（2）C.f（﹣1）＜f（3）D.f（﹣4）=f（4）8、甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（

）A.0.6k﹣1×0.4B.0.24k﹣1×0.76C.0.4k﹣1×0.6D.0.6k﹣1×0.24评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、函数，若

，则a=

．10、给出下列结论

（1）；

（2）=；

（3）函数y=2x-1，x∈[1，4]的反函数的定义域为[1，7]；

（4）函数y=的值域为（0，+∞）．

其中正确的命题序号为

．11、【题文】已知A是有限集合，，，若的子集个数分别为，且，则

_____．12、一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是．13、半径为2的扇形，它的周长等于其所在圆的周长，则此扇形的面积为．14、函数的单调递增区间是______．15、已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x-2，h（x）=log2x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是______．16、在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=______（用b，c表示）．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)17、已知不等式的解集为，（1）求的值；（2）（文科做）解关于的不等式：（2）（理科做）解关于的不等式：．

18、已知函数=.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.

19、（本题满分14分）的内角的对边分别为，且．（I）求角的大小；（II）若最大边的边长为，且，求最小边长．

20、【题文】本题满分10分）如图，在长方体-中，分别是,的中点，分别是,中点，

（Ⅰ）求三棱锥的体积；

（Ⅱ）求证：

21、【题文】已知

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.22、已知cosα=﹣，求sinα，tanα23、三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c．

（I）求C角的大小

（Ⅱ）若a=，求△ABC的面积．24、己知在锐角△ABC

中，角A

，B

，C

所对的边分别为a

，b

，c

，且tanC=aba2+b2−c2

(评卷人得分四、证明题(共3题，共24分)25、初中我们学过了正弦

余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°，根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b，BC=a

（1）用b，c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．26、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．27、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分五、计算题(共4题，共28分)28、△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，∠C=120°，且2b=a+c，求2cot-cot的值．29、已知：x=，求-÷的值．30、如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．31、已知分式，当x=1时，分式的值记为f（1），当x=2时，分式的值记为f（2），依此计算：=

．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于,然后根据然后根据余弦公式展开化简得到，因此可知成等比数列，选D.考点：解三角形【解析】【答案】D2、B【分析】【解析】由N={x|x2+x=0}，

得N={﹣1，0}．

∵M={﹣1，0，1}，

∴N⊊M，

故选B．【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】P集合表示圆，Q集合为直线，，则直线与圆有公共点，即圆心到直线距离小于半径，得【解析】【答案】D4、C【分析】【解答】对于A，俯视图是长方形是可能的，比如此几何体为一个长方体时，满足题意；对于D，如果此几何体是一个椭圆柱，满足正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图可能是椭圆．；对于C，由于主视图中的长与左视图中的长不一致，故俯视图不可能是圆形；对于B，如果此几何体是一个三棱柱，满足正视图中的长与左视图中的长不一致，故俯视图可能是直角三角形，,故选C

【分析】本题给出了主视图与左视图，由所给的数据知凭据三视图的作法规则，来判断俯视图的形状，由于主视图中的长与左视图中的长不一致，抓住此特征即是判断俯视图形状的关键，由此标准对①②③④项依次判断即可．本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视。5、C【分析】【解答】设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=-

若-≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，

应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1

若-≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，

应有f（0）=1＞0恒成立，

故a≥0

若0≤-≤，即﹣1≤a≤0，

则应有f（-）=恒成立，

故﹣1≤a≤0

综上，有﹣≤a．

故选C

【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，]恒成立，只要f（x）在区间（0，]上的最小值大于等于0即可得到答案．6、A【分析】【解答】因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．

故选A．

【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．7、B【分析】【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，

∴f（x+1）=f（﹣x+1），

即函数f（x）关于x=1对称，

∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，

∴f（0）＞f（），f（﹣2）=f（4）＞f（2），f（﹣1）=f（3），f（﹣4）=f（6）＞f（4），

故选：B．

【分析】根据条件判断函数f（x）关于x=1对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论．8、B【分析】【解答】解：∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，

∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，

∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，

甲投篮的次数为ξ，甲先投，则ξ=k表示甲第k次投中篮球，而甲与乙前k﹣1次没有投中，或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球．

根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k﹣1×0.6k﹣1×0.4=0.24k﹣1×0.4；

k次甲不中的情况应是0.4k﹣1×0.6k×0.6，

故总的情况是0.24k﹣1×0.4+0.24k﹣1×0.6×0.6=0.24k﹣1×0.76．

故选B．

【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为ξ，甲先投，则ξ=k表示甲第k次甲投中篮球，而乙前k﹣1次没有投中，甲k﹣1也没有投中或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球，根据公式写出结果．二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

①当a≤0时，f（a）=2a=，解得a=-1；

②当a＞0时，f（a）=，解得．

故答案为-1或．

【解析】【答案】利用分段函数在不同的区间上的解析式不同即可计算出结果．

10、略

【分析】

（1）中，，故（1）错误；

（2）中，==；故（2）正确；

（3）中，函数y=2x-1，x∈[1，4]的值域为[1，7]，故其反函数的定义域为[1，7]，故（3）正确；

（4）中，函数y=的值域为（0，1）∪（1，+∞），故（4）错误．

故答案为：（2），（3）

【解析】【答案】根据指数的运算性质及方根的定义，可判断（1）的真假；根据对数的运算性质可判断（2）的真假；根据互为反函数间定义域与值域的关系可判断（3）的真假；根据指数函数的性质可以判断（4）的真假．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：不妨设集合A中的元素个数为，则集合B中的元素个数有,所以，，因此，故所求的值为2.

考点：1.集合的元素个数；2.整数幂的运算.【解析】【答案】212、14【分析】【解答】设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），

由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=，即，

又因为f（0）=2，故，得，

所以f（16）==14．

故答案为：14．

【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（16）的值即可．13、4（π﹣1）【分析】【解答】解：设圆心角为θ，弧长为l，

由题意得4+l=4π，解得l=4π﹣4，

∴圆心角θ==2π﹣2，

∴扇形的面积S=r2α=22×（2π﹣2）=4（π﹣1）

故答案为：4（π﹣1）．

【分析】设圆心角为θ，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角，利用扇形的面积公式即可得解．14、略

【分析】解：令t=x2-2x+1＞0，求得x≠1，故函数的定义域为{x|x≠1}，且f（x）=g（t）=，

本题即求函数t的减区间．

利用二次函数的性质可得t的减区间为（-∞，1），

故答案为：（-∞，1）．

令t=x2-2x+1＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得结论．

本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题【解析】（-∞，1）15、略

【分析】解：由于f（-1）==＜0，f（0）=1＞0，

故f（x）=2x+x的零点a∈（-1，0）．

∵g（2）=0∴g（x）的零点b=2；

∵h（）==，h（1）=1＞0

∴h（x）的零点c∈（），

由于函数f（x）=2x+x，g（x）=x-2，h（x）=log2x+x均是定义域上的单调增函数，

∴a＜c＜b．

故答案为：a＜c＜b．

根据函数解析式判断出f（x）=2x+x，g（x）=x-2，h（x）=log2x+x都是单调递增函数，运用函数零点定理判断a，b，c的范围即可得a，b，c的大小．

本题考查了函数的单调性，在求解函数零点的范围问题中的应用，结合函数零点定理判断即可．【解析】a＜c＜b16、略

【分析】解：如图所示，在△ABC中，

又，∴．

∵

∴=+（-）=+．

故答案为：+

根据三角形法则，写出的表示式，根据点D的位置，得到与之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果．

本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础，若单独出现在试卷上，则是一个送分题目．【解析】+三、解答题(共8题，共16分)17、略

【分析】【解析】试题分析：（1）由不等式

的解集为知关于x的方程的两根为－1和n，且

由根与系数关系，得

∴，∴

m+2n=7（2）（文科做）由（1）知关于不等式可以化为，即故当－a>3，即a<－3时，不等式的解集为；当－a<3，即a>－3时，不等式的解集为；当－a=3，即a=－3时，不等式的解集为（2）（理科做）【解析】

原不等式化为，①当时，原不等式化为，解得；②当时，原不等式化为，且，解得；③当时，原不等式化为，且，解得或；④当时，原不等式化为，解得且；⑤当时，原不等式化为，且，解得或；综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，或；当时，原不等式的解集为，或．考点：含参数一元二次不等式的解法。【解析】【答案】（1）m+2n=7（2）（文科做）a<－3时，不等式的解集为；a>－3时，不等式的解集为；a=－3时，不等式的解集为（2）（理科做）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，或；当时，原不等式的解集为，或．18、略

【分析】【解析】试题分析：（1）===

2分所以函数的周期

3分单调递增区间是

5分（2）

因为，所以，所以

6分所以，

当，即时，

8分当，即时，

10分考点：和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。【解析】【答案】（1）函数的周期,单调递增区间是.（2）时，,时，.19、略

【分析】（Ⅰ）由（Ⅱ）

【解析】【答案】（1）；（2）120、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（Ⅰ）21、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解:(1),………2分

(2)或…………………1分

当时，即得满足………1分

当时使即或………2分

解得：……………………1分

综上所述，的取值范围是22、解：∵cosα=﹣，

∴α为第II或第III象限的角

①当为第II象限的角时

sinα==，tanα=﹣

②为第III象限的角时

sinα=﹣=﹣，tanα=．【分析】【分析】由已知中cosα=﹣，我们可得α为第II象限或第III象限的角，根据同角三角函数关系，分类讨论后，即可得到答案．23、略

【分析】

（I）根据cos（A-C）+cosB=1，可得cos（A-C）-cos（A+C）=1，展开化简可得2sinAsinC=1，由a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式，即可求得C角的大小

（Ⅱ）确定A，进而可求b，c，利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．

本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．【解析】解：（I）因为A+B+C=180°，所以cos（A+C）=-cosB，

因为cos（A-C）+cosB=1，所以cos（A-C）-cos（A+C）=1，

展开得：cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=1，

所以2sinAsinC=1．

因为a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC，

代入上式可得：4sin2C=1，所以sinC=，

所以C=30°；

（Ⅱ）由（I）sinA=2sinC=1，∴A=

∵a=，C=30°，∴c=，b=

∴S△ABC=bc==．24、略

【分析】

(I

)

利用锐角△ABC

中，sinC=12

，求出角C

的大小．

(II)

先求得B+A=150∘

，根据B

、A

都是锐角求出A

的范围，由正弦定理得到【解析】解：(I

)

由已知及余弦定理，得tanC=aba2+b2−c2=ab2abcosC=sinCcosC

，

∴sinC=12

，故锐角C=π6

．

四、证明题(共3题，共24分)25、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β），

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∵AD⊥BC，

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD，

∴sin（α+β）=，

=+，

=sinαcosβ+cosαsinβ．26、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG，

∵∠AEC=45°，

∴∠AEF=45°，

∴CD⊥FG，

∴CG2=CE2+EG2，

即CG2=CE2+ED2，

∵△OCD≌△OGF（SSS），

∴∠OCD=∠OGF．

∴O，C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．27、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC，

∴，

∴CF∥BE，

从而四边形OBFC为平行四边形，

所以BM=MC．五、计算题(共4题，共28分)28、略

【分析】【分析】作△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F，圆心为O，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，求出AD、BE、CF，根据锐角三角函数求出r，代入求出即可．【解析】【解答】解：作△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F，圆心为O，

连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，

∴AD=AF，BD=BE，CF=CE，

c-AD+n-AD=a，

∴AD=，

同理：BE=，CE=，

在Rt△OCE中，cot60°=，

得r=，

所以．

答：2cot-cot的值是．29、略

【分