2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例讲义教案新人教A版必修1

PAGE3.2.2函数模型的应用实例学习目标核心素养1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)通过本节内容的学习，使学生相识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析的素养.1．常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))2.建立函数模型解决问题的基本过程思索：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数学问和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x改变的一组数据，由此推断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是匀称的，故为一次函数模型．故选A.]2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特别动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只 B．400只C．600只 D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，一般车存车费是每辆一次0.5元，若一般车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)D[由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．7[设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.解y≥0，得6－eq\r(11)≤x≤6＋eq\r(11)，所以有营运利润的时间为2eq\r(11).又6<2eq\r(11)<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]利用已知函数模型解决实际问题【例1】前期由于新冠肺炎，各企业的经济效益都受到了肯定的影响，但随着我国有效的防控，各行各业也都复原了运营，经济效益也都有了肯定的提高．如某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月须要维护费150元，未租出的车每辆每月须要维护费50元．(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？[解](1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为eq\f(3600－3000,50)＝12，所以此时租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x元，租赁公司的月收益为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))(x－150)－eq\f(x－3000,50)×50，整理得y＝－eq\f(x2,50)＋162x－21000＝－eq\f(1,50)(x－4050)2＋307050，所以当x＝4050，即每辆车的租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，须要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.eq\o([跟进训练])1．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25，,－t＋10025≤t≤30.))(t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[解]设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25，,t2－140t＋400025≤t≤30.))(t∈N*)①当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900(元)．②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125(元)．结合①②得ymax＝1125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．自建确定性函数模型解决实际问题【例2】牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必需留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值．思路点拨：eq\x(畜养率)→eq\x(空闲率)→eq\x(y与x之间的函数关系)eq\o(→,\s\up8(单调性))eq\x(求最值)[解](1)依据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq\f(x,m)，故空闲率为1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)．(2)对原二次函数配方，得y＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))eq\s\up8(2)＋eq\f(km,4)，即当x＝eq\f(m,2)时，y取得最大值eq\f(km,4).1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？[解]依据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq\f(x,m)，故空闲率为1－eq\f(x,m)，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝eq\f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m))))(0<x<m)．2．(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．[解]由题意知为给羊群留有肯定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m.因为当x＝eq\f(m,2)时，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2.又因为k>0，所以0<k<2.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清晰要解决什么问题，完成什么任务.,设什么就是弄清晰这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.,列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满意的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题[探究问题]1．实际问题中两个变量之间肯定有确定的函数关系吗？提示：不肯定．2．对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发觉其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其改变趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常状况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出2015～2024年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量改变的函数模型，并求出函数解析式；(3)2024年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量削减30%，试依据所建立的函数模型，确定2024年的年产量为多少？思路点拨：eq\x(描点)eq\o(→,\s\up8(依散点图))eq\x(选模)eq\o(→,\s\up8(待定系数法))eq\x(求模)eq\o(→,\s\up8(误差))eq\x(验模)→eq\x(用模)[解](1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的改变．(3)依据所建的函数模型，预料2024年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量削减30%，即10×70%＝7万件，即2024年的年产量为7万件．函数拟合与预料的一般步骤是：1依据原始数据、表格，绘出散点图.2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4利用函数关系式，依据条件对所给问题进行预料和限制，为决策和管理供应依据.eq\o([跟进训练])2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)依据表中供应的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？[解](1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．依据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160，47.25)，代入y＝a·bx得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发觉，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．1．核心要点：解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．2．数学思想：函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是依据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的探讨，从而间接求出所须要的结论．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． ()(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． ()(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型． ()[答案](1)√(2)√(3)√2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t改变的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．分段函数 B．二次函数C．指数函数 D．对数函数A[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝0.9576eq\f(x,100)B．y＝(0.9576)100x