2024-2025学年新教材高中数学第14章统计14.4用样本估计总体14.4.2用样本估计总体的离散程度参数课时素养评价含解析苏教版必修第二册

PAGE课时素养评价四十用样本估计总体的离散程度参数(20分钟35分)1.下列说法正确的是 ()A.在两组数据中,平均数较大的一组极差较大B.平均数反映数据的集中趋势,方差反映数据波动的大小C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大说明射击水平稳定【解析】选B.平均数表示一组数据的集中趋势,平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小,所以A错误;方差公式s2=QUOTE(xi-QUOTE)2,所以C错误;方差大说明射击水平不稳定,所以D错误.2.现有10个数,其平均数为3,且这10个数的平方和是100,那么这组数据的标准差是 ()A.1 B.2 C.3 【解析】选A.由s2=QUOTE=QUOTE-QUOTE,得s2=QUOTE×100-32=1,即标准差s=1.【补偿训练】一组数据按从小到大的依次排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,已知该组数据的中位数是众数的QUOTE倍,则该组数据的标准差为________.

【解析】由题意,可得该组数据的众数为2,所以QUOTE=QUOTE×2=3,解得x=4,故该组数据的平均数为QUOTE=4.所以该组数据的方差为QUOTE×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,即标准差为3.答案:33.甲、乙两名同学6次考试的成果统计如图所示,甲、乙两组数据的平均数分别为QUOTE,QUOTE,标准差分别为s甲,s乙,则 ()A.QUOTE<QUOTE,s甲<s乙 B.QUOTE<QUOTE,s甲>s乙C.QUOTE>QUOTE,s甲<s乙 D.QUOTE>QUOTE,s甲>s乙【解析】选C.由题图知,甲同学除其次次考试成果略低于乙同学外,其他考试成果都远高于乙同学,可知QUOTE>QUOTE.题图中数据显示甲同学的成果比乙同学稳定,所以s甲<s乙.4.在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是 ()A.众数 B.平均数C.中位数 D.标准差【解析】选D.对样本中每个数据都加上一个非零常数时不变更样本的方差和标准差,众数、中位数、平均数都发生变更.5.对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如表所示的数据.观测序号i12345678观测数据ai4041434344464748上述统计数据的平均数是______,方差是______.

【解析】上述统计数据的平均数=QUOTE×(40+41+43+43+44+46+47+48)=44,方差=QUOTE×[(40-44)2+(41-44)2+(43-44)2+(43-44)2+(44-44)2+(46-44)2+(47-44)2+(48-44)2]=7.答案:4476.某学校有中学学生500人,其中男生320人,女生180人.有人为了获得该校全体中学学生的身高信息,采纳分层抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的平均数为173.5cm,方差为17cm2,女生样本的平均数为163.83cm,方差为30.03cm2.(1)依据以上信息,能够计算出总样本的平均数和方差吗?为什么?(2)假如已知男、女样本量按比例安排,你能计算出总样本的平均数和方差各为多少吗?(3)假如已知男、女的样本量都是25,你能计算出总样本的平均数和方差各为多少吗?它们分别作为总体平均数和方差的估计合适吗?为什么?【解析】(1)不能,因为本题没有给出男、女生的样本量,或者男、女生样本量的比例,故无法计算出总样本的平均数和方差.(2)总样本的平均数为QUOTE×173.5+QUOTE×163.83≈170.02(cm).总样本的方差为QUOTE×[17+(173.5-170.02)2]+QUOTE×[30.03+(163.83-170.02)2]≈43.24(cm2).(3)总样本的平均数为QUOTE×173.5+QUOTE×163.83≈168.67(cm).总样本的方差为QUOTE×[17+(173.5-168.67)2]+QUOTE×[30.03+(163.83-168.67)2]≈46.89(cm2).不能作为总体平均数和方差的估计,因为此分层抽样中,每个个体被抽到的可能性不完全相同,因而样本的代表性差.【补偿训练】已知母鸡产蛋的最佳温度在10℃左右,下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度,你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋?【解析】①QUOTE=QUOTE×(-5+7+15+14-4-3)=4(℃),QUOTE=QUOTE×(1+4+10+7+2+0)=4(℃).②极差:甲地温度极差=15-(-5)=20(℃);乙地温度极差=10-0=10(℃).③标准差:s甲=≈8.4(℃);s乙=QUOTE≈3.5(℃).明显两地的平均温度相等,乙地温度的极差、标准差较小,说明白乙地温度波动较小.因此,乙地比甲地更适合母鸡产蛋.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1,4.当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.所以a=1,b=4.则方差s2=QUOTE[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.2.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 ()A.57.2,3.6 B.57.2,56.4C.62.8,63.6 D.62.8,3.6【解析】选D.每一个数据都加上60,所得新数据的平均数增加60,而方差保持不变.3.若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的状况)不超过3,则称该同学为班级的尖子生.依据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据,推断肯定是尖子生的是 ()A.甲同学:平均数为2,众数为1B.乙同学:平均数为2,方差小于1C.丙同学:中位数为2,众数为2D.丁同学:众数为2,方差大于1【解析】选B.甲同学:若平均数为2,众数为1,则有一次名次应为4,故解除A;乙同学:平均数为2,设乙同学3次考试的名次分别为x1,x2,x3,则方差s2=QUOTE[(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2]<1,则(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2<3,所以x1,x2,x3均不大于3,符合题意;丙同学:中位数为2,众数为2,有可能是2,2,4,不符合题意;丁同学:有可能是2,2,6,不符合题意.【补偿训练】在发生某公共卫生事务期间,有专业机构认为该事务在一段时间没有发生规模群体感染的标记为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.依据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,肯定符合该标记的是 ()A.甲地:总体平均数为3,中位数为4B.乙地:总体平均数为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体平均数为2,总体方差为3【解析】选D.依据信息可知,连续10天内,每天的新增疑似病例不能有超过7的数,选项A中,中位数为4,可能存在大于7的数;同理,在选项C中也有可能存在大于7的数;选项B中的总体方差大于0,叙述不明确,假如数目太大,也有可能存在大于7的数;选项D中,依据方差公式,假如有大于7的数存在,那么方差不会为3.4.甲、乙、丙三人投掷飞镖,他们成果(环数)的频数条形统计图如图所示,则甲、乙、丙三人训练成果的标准差s甲,s乙,s丙的大小关系是 ()A.s丙>s乙>s甲 B.s甲>s丙>s乙C.s丙>s甲>s乙 D.s乙>s丙>s甲【解析】选C.由题干甲图可知,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE×[6×(3-6)2+6×(4-6)2+6×(5-6)2+6×(6-6)2+6×(7-6)2+6×(8-6)2+6×(9-6)2]=4,标准差s甲=QUOTE=2;由题干乙图可知,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE×[3×(3-6)2+5×(4-6)2+8×(5-6)2+10×(6-6)2+8×(7-6)2+5×(8-6)2+3×(9-6)2]≈2.6,标准差s乙≈QUOTE;由题干丙图可知,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE×[8×(3-6)2+5×(4-6)2+3×(5-6)2+10×(6-6)2+3×(7-6)2+5×(8-6)2+8×(9-6)2]≈4.5,标准差s丙≈QUOTE.故s丙>s甲>s乙.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.一组数据的平均数是QUOTE,标准差是s,将这组数据中的每个数据都乘以2,所得到的一组新数据的平均值和标准差分别是 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.s D.2s【解析】选BD.设该组数据为x1,x2,…,xn,都乘以2后的新数据为2x1,2x2,…,2xn.由题意知QUOTE=QUOTE,则QUOTE=2QUOTE.又s=QUOTE,所以QUOTE=2s.6.某班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成果,6名男生的成果分别为86分,94分,88分,92分,90分,90分,4名女生的成果分别为90分,93分,93分,88分,则下列说法正确的有 ()A.这种抽样方法是按比例安排的分层抽样B.该班男生成果的平均数小于该班女生成果的平均数C.这6名男生成果的方差大于这4名女生成果的方差D.抽取的10名学生成果的平均数和方差分别为90.4分和6.04分2【解析】选ACD.因为该班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比为3∶2,所以这种抽样方法是按比例安排的分层抽样,A正确;抽取的6名男生成果的平均数QUOTE=QUOTE=90(分),抽取的4名女生成果的平均数QUOTE=QUOTE=91(分),虽然QUOTE<QUOTE,但并不肯定能说明该班男生成果的平均数小于该班女生成果的平均数,B不肯定正确;这6名男生成果的方差QUOTE=QUOTE×[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2+(90-90)2]=QUOTE(分2),这4名女生成果的方差QUOTE=QUOTE×[(90-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2]=QUOTE(分2),因为QUOTE>QUOTE,所以C正确;被抽取的10名学生成果的平均数QUOTE=QUOTE×90+QUOTE×91=90.4(分),被抽取的10名学生成果的方差s2=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+(91-90.4)2=4.096+1.944=6.04(分2),D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数QUOTE=2,方差s2=QUOTE,那么另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为________,方差为________.

【解析】平均数为QUOTE′=3QUOTE-2=3×2-2=4,方差为s′2=9s2=9×QUOTE=3.答案:43【补偿训练】已知k1,k2,…,kn的方差为5,则3(k1-4),3(k2-4),…,3(kn-4)的方差为________.

【解析】设k1,k2,…,kn的平均数为QUOTE,则3(k1-4),3(k2-4),…,3(kn-4)的平均数为3(QUOTE-4),所以s2=QUOTE[3(ki-4)-3(QUOTE-4)]2=QUOTE[3(ki-QUOTE)]2=9×QUOTE(ki-QUOTE)2=9×5=45.答案:458.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表:等待时间/分钟[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值QUOTE=________,病人等待时间方差的估计值s2=________.

【解析】QUOTE=QUOTE×(2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5(分钟),s2=QUOTE×[(2.5-9.5)2×4+(7.5-9.5)2×8+(12.5-9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2+(22.5-9.5)2×1]=28.5(分钟2).答案:9.5分钟28.5分钟2四、解答题(每小题10分,共20分)9.某班40人随机分成两组,第1组15人,第2组25人,两组学生一次数学考试的成果(单位:分)状况如表:组别平均分标准差第1组846第2组804求全班学生这次数学考试的平均成果和方差.【解析】由题意,知第1组这次数学考试的平均分QUOTE=84(分),方差QUOTE=62=36(分2),第2组这次数学考试的平均分QUOTE=80(分),方差QUOTE=42=16(分2),故全班学生这次数学考试的平均成果QUOTE=QUOTE×84+QUOTE×80=81.5(分),方差s2=QUOTE×[36+(84-81.5)2]+QUOTE×[16+(80-81.5)2]=27.25(分2).10.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成果状况如图所示:(1)填写下表:平均数方差中位数命中9环及以上甲71.21乙5.43(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析:①结合平均数和方差分析偏离程度;②结合平均数和中位数分析谁的成果好些;③结合平均数和命中9环以上的次数分析谁的成果好些;④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.【解析】(1)乙的打靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,所以QUOTE=QUOTE×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7;乙的打靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位数为QUOTE=7.5;甲的打靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为7.于是填充后的表格如表所示:平均数方差中位数命中9环及以上甲71.271乙75.47.53(2)①甲、乙的平均数相同,均为7,但QUOTE<QUOTE,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏离平均数的程度大.②甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙的打靶成果比甲好.③甲、乙的平均水平相同,而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次,可知乙的打靶成果比甲好.④从题干折线图上看,乙的成果呈上升趋势,而甲的成果在平均线上波动不大,说明乙的状态在提升,更有潜力.【补偿训练】为了爱护学生的视力,教室内的日光灯在运用一段时间后必需更换.已知某校运用的100只日光灯在必需换掉前的运用天数如表:天数[150,180)[180,210)[210,240)[240,270)[270,300)[300,330)[330,360)[360,390]灯管数1111820251672(1)试估计这种日光灯的平均运用寿命.(2)若定期更换,可选择