2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程课时作业含解析北师大版选修1-1

PAGE抛物线及其标准方程[A组基础巩固]1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标()A．(2,0) B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)解析：抛物线的开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝8，得eq\f(p,2)＝2，故焦点坐标为(－2,0)．答案：B2．抛物线x2＝4y上一点P的纵坐标为4，则点P到抛物线焦点的距离为()A．2 B．3C．4 D．5解析：∵x2＝4y，设P(xP,4)，故|PF|＝4＋1＝5.答案：D3．抛物线y＝－4x2的焦点到准线的距离为()A．1 B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：将抛物线方程y＝－4x2化为标准方程，为x2＝－eq\f(y,4)＝－2×eq\f(1,8)y，则p＝eq\f(1,8)，所以焦点到准线的距离为eq\f(1,8).答案：B4．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为()A．4 B．2C．6 D．8解析：∵a2＝6，b2＝2，∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.椭圆的右焦点为(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，p＝4.答案：A5．当a为随意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点PA．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yB．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝－eq\f(4,3)yD．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝－eq\f(4,3)y解析：直线方程可化为a(x＋2)－x－y＋1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0,－x－y＋1＝0))，得P(－2,3)，经检验知A正确．答案：A6．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．解析：因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，假如x1＋x2＝6，则|AB|的值为________．解析：∵y2＝4x，∴p＝2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：88．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.答案：±49．依据下列条件求抛物线的标准方程：(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；(2)准线方程为y＝eq\f(2,3)；(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5；(4)过点P(－2，－4)．解析：(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且－eq\f(p,2)＝－2，则p＝4，所以，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.(2)因为抛物线的准线在y轴正半轴上，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，则p＝eq\f(4,3)，所以，所求抛物线的标准方程为x2＝－eq\f(8,3)y.(3)由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝－10x.(4)如图所示，因为点P在第三象限，所以满意条件的抛物线的标准方程为y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝－2p2y(p2＞0)．分别将点P的坐标代入上述方程，解得p1＝4，p2＝eq\f(1,2).因此，满意条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝－8x和x2＝－y.10．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，点A(eq\f(7,2)，4)，求|PA|＋d的最小值．解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(eq\f(1,2)，0)．又点A(eq\f(7,2)，4)在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d，所以d＝|PF|，则|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5.∴|PA|＋d的最小值是5.[B组实力提升]1．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.答案：A2．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4<y0＋2，∴y0>2.答案：C3．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________．解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq\f(p,2)，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋eq\f(p,2)＝8，所以p＝4，故焦点F到抛物线准线的距离等于4.答案：44．设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝__________.解析：过点A，B，P分别作抛物线的准线y＝－3的垂线，垂足分别为C，D，Q，依据抛物线的定义，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|PQ|＝8.答案：85．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一条小船宽4m，高2m，载货后船露出水面的部分高eq\f(3,4)m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？解析：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝eq\f(8,5).∴x2＝－eq\f(16,5)y.当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)．由22＝－eq\f(16,5)yA，得yA＝－eq\f(5,4).又知船面露出水面部分为eq\f(3,4)m，∴h＝|yA|＋eq\f(3,4)＝2(m)．故水面上涨到距抛物线顶2m时，小船起先不能通航．6．已知点A(12,6)，点M到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.(1)求点M的轨迹方程G；(2)在G上是否存在一点P，使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值？若存在，求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1的距离”，所以点M的轨迹是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，此时，p＝2，故所求抛物线方程G为x2＝4y.(2)如图，易推断知点A在抛物线外侧，设P(x，y)，则P到x轴的距离即y值，设P到准线y＝－1的距离为d，则y＝d－1.故|PA|＋y＝|PA|＋d－1，由抛物线定义知|PF|＝d.于是|PA|＋d－1＝|PA|＋|PF|－1.由图可知，当A、P、F三点共线且P在AF之间时，|PA|＋|PF|取得