2024高考数学考点专项突破双曲线与抛物线的性质与应用含解析

双曲线与抛物线的性质与应用单选题1、（2024年高考浙江卷）双曲线的焦点坐标是（）A．(−，0)，(，0)B．(−2，0)，(2，0)C．(0，−)，(0，)D．(0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】设的焦点坐标为，因为，，所以焦点坐标为，故选B．2、（2025届浙江省嘉兴市高三5月模拟）双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线为，，，渐近线方程为：，其渐近线方程为：，故选：B.3、（2024·浙江高三）若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：所以双曲线的渐近线方程为：yx．故选：A．4、（2025届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线的一条渐近线为，则离心率为（）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线为，.

故选:A.5、（2025届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题,离心率,解得,因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即故选：C6、（2024年高考全国Ⅱ理数）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A7、（2024·浙江温州中学3月高考模拟）在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为故选：B8、（2025届山东省德州市高三上期末）双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，所以，的周长为，当且仅当、、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.因此，该双曲线的离心率为.故选：D.9、（2025届浙江省温州市高三4月二模）已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满意，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：.10、（2025届浙江省台州市温岭中学3月模拟）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，的离心率.故选：C.11、（2025届浙江省嘉兴市3月模拟）设双曲线E：，命题p：双曲线E离心率，命题q：双曲线E的渐近线相互垂直，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，离心率为，由，可得，即有，可得，即得渐近线方程为，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得，可得，即有是的充要条件，故选：．12、（2025届山东省泰安市高三上期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，又由圆，可得圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，则，可得，故选C.13、（2024年高考全国Ⅲ卷理数）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】，，依据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A．14、（2025届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，，A为垂足.若直线AF的斜率为，则的面积为（）A． B． C．8 D．【答案】B【解析】由题意，抛物线的焦点为，设抛物线的准线与轴交点为，则，又直线AF的斜率为，所以，因此，；由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，所以的面积为.故选：B.15、（2025届山东省潍坊市高三上期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点，连接,由条件可知，是的中点，又，,依据双曲线的定义可知，，直线的方程是：，即，原点到直线的距离，中，，整理为：，即，解得：，或（舍）故选：C16、（2024年高考北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线【答案】B【解析】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，依据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B．17、（2024·浙江学军中学高三3月月考）抛物线（）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若，，则（）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】C【解析】设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，，则，，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为，如图，由抛物线定义知，，，因为∥，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，，过M作的垂线，垂足为G，则，所以，解得，故.故选：C.18、（2024年高考全国Ⅱ卷理数）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】，双曲线的渐近线方程是，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，联立，解得，故，，面积为：，双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：.故选：B．多选题19、（2025届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（）A．离心率为 B．双曲线过点C．渐近线方程为 D．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；故选：ABC.20、（2025届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（）A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切C．当时， D．的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线肯定相切，进而与直线肯定相离：对于选项B，明显中点的横坐标与不肯定相等，因此命题错误.对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，，所，.故选:ACD.21、（2025届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的随意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由抛物线的定义，，A正确；∵，是的平分线，∴，∴，B正确；若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特别位置才有可能，因此C错误；连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，明显，∴，D正确．22、（2025届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，，则，，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，，（抛物线定义），C选项正确；，，D选项错误.故选：ABC.23、（2024年新高考全国Ⅰ卷）已知曲线.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD．填空题24、（2024年高考江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.25、（2024·山东省淄博试验中学高三上期末）双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.【答案】【解析】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴双曲线的离心率为e．故答案为：．26、（2024年高考全国I卷理数）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.【答案】2【解析】联立，解得，所以.依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：．27、（2024年新高考全国Ⅰ卷）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．【答案】【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：28、（2025届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.【答案】2【解析】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.29、（2025届山东省潍坊市高三上期末）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标为，则的最小值是__________．【答案】【解析】设抛物线的焦点是，依据抛物线的定义可知，，当三点共线时，等号成立，的最小值是，，的最小值是.故答案为：30、（2024年高考北京）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】；【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.解答题31、（2025届浙江省嘉兴市5月模拟）设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．（1）求抛物线的方程；（2）过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．【解析】（1）当时，，所以，故所求抛物线方程为.（2）点为抛物线上的动点，则，设过点的切线为，则，得，是方程（*）式的两个根，所以，，设，因直线，与抛物线交于点A，则得，所以，即，同理，设直线，则，，又，，所以令，，当且仅当，即时，取得最小值.32、（2025届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，，的方程为.由得.设，，则，∴，，∴抛物线C的方程为.（2）假设满意条件的点P存在，设，由（1）知，①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），由得，，，.∵直线PM，PN关于x轴对称，∴，，.∴∴时，此时.②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.33、（2025届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点，，抛物线的焦点为线段中点.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，，过点作抛物线的切线，为切