2020-2021学年上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷-解析版

/2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共6小题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（）A． B． C． D．2．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（）A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：813．已知，下列说法中，错误的是（）A． B． C． D．4．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（）A． B． C． D．5．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（）A． B． C． D．6．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m二、填空题7．如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，那么从目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为．8．如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么用向量表示＝9．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝cm．10．如果，那么用表示．11．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为．13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝（结果保留根号）14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为．15．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝．16．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝．17．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是．18．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为．三、解答题（本大题共7题，满分78题）【请将解题过程写在答题纸的相应位置】19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．21．（10分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝．（1）用向量、分别表示下列向量：＝，＝，＝；（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果）22．（10分）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G．（1）求证：∠CDF＝∠DAE；（2）如果DE＝CE，求证：AE＝3EG．24．（12分）如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）求sin∠BAC的值．（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC比AB大3，sinB＝，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q．（1）求AG的长；（2）当∠APQ＝90°时，直线PG与边BC相交于点M．求的值；（3）当点Q在边AC上时，设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（）A． B． C． D．【分析】锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，据此进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tanA＝＝．故选：C．2．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（）A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：81【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为4：9，∴两个相似三角形的面积比为16：81，故选：D．3．已知，下列说法中，错误的是（）A． B． C． D．【分析】根据比例的性质（合分比定理）来解答．【解答】A、如果，那么（a+b）：b＝（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；B、如果a：b＝c：d那么（a﹣b）：b＝（c﹣d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；C、由得，5a＝3b，所以a≠b；又由得，ab+b＝ab+a即a＝b．故该选项错误；D、由得，5a＝3b；又由得，5a＝3b．故该选项正确；故选：C．4．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（）A． B． C． D．【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB．【解答】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，即＝，＝，故选项A、B正确；＝，即＝，故选项C正确；而＝，故D选项答案错误．故选：D．5．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．【解答】解：A、＝，故本选项错误；B、＝，故本选项正确；C、+＝，故本选项错误；D、+＝，故本选项错误．故选：B．6．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m【分析】已知了坡面长为260米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度．【解答】解：如图，Rt△ABC中，tanA＝，AB＝260米．设BC＝x，则AC＝2.4x，根据勾股定理，得：x2+（2.4x）2＝2602，解得x＝100（负值舍去）．故选：B．二、填空题7．如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，那么从目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°．【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°．【解答】解：如图，∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°，故答案为：37°8．如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么用向量表示＝﹣2【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．【解答】解：∵的长度为2，向量是单位向量，∴a＝2e，∵与单位向量的方向相反，∴＝﹣2．故答案为：﹣2．9．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝（）cm．【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝2cm代入计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，而AB＝2cm，∴AC＝×2＝（﹣1）cm．故答案为（﹣1）．10．如果，那么用表示＝．【分析】利用加减消元的思想，消去即可解决问题．【解答】解：∵，∴3+3＝6，4﹣2＝6，∴3+3＝4﹣2，∴＝，故答案为＝．11．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是2：3．【分析】首先根据题意画出图形，由题意易得△EAD∽△EBC，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得答案．【解答】解：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，∴△EAD∽△EBC，∵EN⊥BC，∴EN⊥AD，∴EM：EN＝AD：BC＝4：6＝2：3，即这个交点到两底边的距离之比是：2：3．故答案为：2：3．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为msinαcosα．【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC的长度，然后利用三角形的面积公式求得AB边上的高的长度．【解答】解：根据题意，知AC＝mcosα，BC＝msinα，∴AC•BC＝mh，即h＝msinαcosα，故答案是：msinαcosα．13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝（结果保留根号）【分析】先根据AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即可．【解答】解：∵AB＝5，∠B＝60°，∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝×5＝，∵BC＝8，∴S△ABC＝×8×＝10；故答案为：10．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为18．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形得到BC∥AD，判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△AFD的面积．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∵EC＝2BE，∴BC＝3BE，即：AD＝3BE，∴S△AFD＝9S△EFB＝18．故答案为：18．15．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝4．【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B＝∠D＝90°，∠A+∠ACB＝90°∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB＝90°∴∠A＝∠ECD∴△ABC∽△CDE∴∴AB＝4．16．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝．【分析】菱形对角线互相垂直，故AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，∴∠AOE＝∠BAO，根据AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．【解答】解：∵菱形对角线互相垂直，∴∠OEA＝∠AOB，∵∠OAE＝∠BAO，∴△OAE∽△ABO，∴∠AOE＝∠ABO，∵AO＝AC＝2，AB＝6，∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．故答案为：．17．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是（﹣1，0）或（3，0）．【分析】已知tan∠ABO＝2就是已知一次函数的一次项系数是或﹣．根据函数经过点P，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而可得到A的坐标．【解答】解：在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝2，可得OA＝2OB，则一次函数y＝kx+b中k＝±．∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），∴当k＝时，求可得b＝；k＝﹣时，求可得b＝．即一次函数的解析式为y＝x+或y＝﹣x+．令y＝0，则x＝﹣1或3，∴点A的坐标是（﹣1，0）或（3，0）．故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．18．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为或．【分析】先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝5，∵DE∥BC，∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，A′C＝，∵△A′EC是直角三角形，∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝3×tan∠ACB＝，AD＝；②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2＝（x）2，解得x1＝4（不合题意舍去），x2＝．故AD长为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共7题，满分78题）【请将解题过程写在答题纸的相应位置】19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，∴，∴DE＝9．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，则CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴，∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴，∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11．21．（10分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝．（1）用向量、分别表示下列向量：＝，＝﹣，＝﹣；（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果）【分析】（1）根据AE＝BA即可求出，根据＝+即可求出，先证明EG＝EC，即可求出（2）首先过点G作GM∥AB，NN∥BC，根据平行四边形法则即可求得答案．【解答】解：（1）∵＝，AE＝BA，∴＝，∵＝+，EB＝﹣，＝，∴＝﹣，∵CD∥EB，∴EG：CG＝EB：CD＝4：3，∴EG：EC＝4：7，∴＝﹣，故答案分别为，﹣，﹣．（2）点G作GM∥AB交BC于M，NN∥BC交AB于N，则向量、是向量分别在、方向上的分向量．22．（10分）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x．在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x，在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x，∵AC+BC＝2x+x＝68∴x＝≈＝20．在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝＝20，在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20，AB＝20+20≈54，AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G．（1）求证：∠CDF＝∠DAE；（2）如果DE＝CE，求证：AE＝3EG．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到AD＝CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到∠CDF＝∠DAE；（2）过E作EH∥BF交DF于H，根据三角形中位线的性质得到EH＝CF，推出DE＝CF＝CD＝AD，求得EH＝AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE与△DCF中，，∴△ADE≌△DCF，∴∠CDF＝∠DAE；（2）过E作EH∥BF交DF于H，∵DE＝CE，∴EH＝CF，∵△ADE≌△DCF，∴DE＝CF＝CD＝AD，∴EH＝AD，∵EH∥AD，∴△GHE∽△GDA，∴，∴AE＝3EG．24．（12分）如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）求sin∠BAC的值．（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．【分析】（1）由两点距离公式可求AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB＝∠NBA，分两种情况讨论：①当点M在点N的上方时，记为M1，因为∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，所以△ABN∽△AM1B，求出AM1＝10，又根据A（0，﹣4），所以M1（0，6）．②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，所以M2（0，﹣6）．【解答】解：（1）∵A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0），∴AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，∴BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，如图1，过点B作BH⊥AC于H，∴∠BCA＝∠CBH＝45°，∴BH＝CH，∴BC＝BH＝6，∴BH＝3＝HC，∴sin∠BAC＝＝＝；（2）∵点P在y轴上，∴∠POC＝∠AOB＝90°，当时，则△AOB∽△COP，∴，∴PO＝2，∴点P（0，2）或（0，﹣2）；当时，则△AOB∽△POC，∴，∴OP＝8，∴点P（0，8）或（0，﹣8），综上所述：当点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC与△AOB相似；（3）如图2：取OA的中点，记为点N，∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵点N是OA的中点，∴ON＝2，又∵OB＝2，∴OB＝ON，又∵∠BON＝90°，∴∠ONB＝45°，∴∠ACB＝∠ONB，∵∠OMB+∠OAB＝∠ACB，∠NBA+∠OAB＝∠ONB，∴∠OMB＝∠NBA；①当点M在点N的上方时，记为M1，∵∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，∴△ABN∽△AM1B∴，又∵AN＝2，AB＝2，∴AM1＝10，又∵A（0，﹣4）∴M1（0，6）．②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，∴M2（0，﹣6），综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，