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文档简介

PAGE课时作业梯级练二十七平面对量的概念及其线性运算一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则a与b共线同向,故D项正确.2.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形态是 ()A.矩形 B.平行四边形C.梯形 D.以上都不对【解析】选C.因为=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,所以∥.又与不平行,所以四边形ABCD是梯形.3.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满意+3=0,则=()A.eq\f(1,3)-eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)+eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)-eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)+eq\f(2,3)【解析】选D.因为直线AB上一点C满意+3=0,则位置关系可用如图表示:所以B为线段AC上靠近C的三等分点,则由平面对量的线性运算可得=+AB→=+eq\f(2,3)=+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)+eq\f(2,3).4.已知在△ABC中,D是AB边上的一点,=λ,||=2,||=1.若=b,=a,则用a,b表示为 ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解析】选A.由题意知,CD是∠ACB的平分线,故=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb.5.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合.若=x+(1-x),则实数x的取值范围是 ()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(0,1)【解析】选A.设=λ(λ>1),则=+=+λ=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),所以x+(1-x)=(1-λ)+λ.所以λ=1-x>1,得x<0.6.矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C.1D.eq\f(5,16)【解析】选A.=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,4)=eq\f(1,2)+eq\f(1,4)(+)=eq\f(1,4)-eq\f(3,4),所以λ=eq\f(1,4),μ=-eq\f(3,4),所以λ2+μ2=eq\f(5,8).7.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为()A.1B.-eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.-2【解析】选B.由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.因为a,b不共线,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ=k,,2λk-k=1,))整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-eq\f(1,2),又k<0,所以λ<0,所以λ=-eq\f(1,2).二、填空题(每小题5分,共15分)8.在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则eq\f(x,y)的值为________.【解析】设e1,e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c与xa+yb共线,得c=λ(xa+yb),所以e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x-2y)e2,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ(x-y)=1,,λ(x-2y)=-2,))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=\f(3,λ),,y=\f(5,2λ),))则eq\f(x,y)的值为eq\f(6,5).答案:eq\f(6,5)9.在平行四边形ABCD中,=e1,=e2,=eq\f(1,4),=eq\f(1,2),则=________.(用e1,e2表示)【解析】如图所示,=-=+2=+eq\f(2,3)=-eq\f(1,4)+eq\f(2,3)(-)=-eq\f(1,4)e2+eq\f(2,3)(e2-e1)=-eq\f(2,3)e1+eq\f(5,12)e2.答案:-eq\f(2,3)e1+eq\f(5,12)e210.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为.

【解析】由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又因为e1与e2不共线,所以QUOTE解得k=-QUOTE.答案:-QUOTE1.(5分)(2024·宜宾模拟)已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满意=QUOTE(+),=+QUOTE,则△APD的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2QUOTE【解析】选A.取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,=QUOTE(+).又=QUOTE(+),所以点D是AE的中点,AD=QUOTE.取=QUOTE,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知=+QUOTE=+.因为△APD是直角三角形,AF=QUOTE,所以△APD的面积为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.在△ABC中,+=2,+=0,若=x+y,则()A.y=3xB.x=3yC.y=-3xD.x=-3y【解析】选D.因为+=2,所以点D是BC的中点,又因为+=0,所以点E是AD的中点,所以有:=+=-+eq\f(1,2)=-+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(+)=-eq\f(3,4)+eq\f(1,4),因此x=-eq\f(3,4),y=eq\f(1,4)⇒x=-3y.3.设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)【解析】选D.因为D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,所以+2+3=eq\f(1,2)(+)+2×eq\f(1,2)(+)+3×eq\f(1,2)×(+)=eq\f(1,2)+++eq\f(3,2)+eq\f(3,2)+eq\f(1,2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)+=eq\f(1,2)+=eq\f(3,2).4.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.(1)试用a,b表示,,.(2)证明:B,E,F三点共线.【解析】(1)在△ABC中,因为=a,=b,所以=-=b-a,=+=+eq\f(1,4)=a+eq\f(1,4)(b-a)=eq\f(3,4)a+eq\f(1,4)b,=+=-+eq\f(1,3)=-a+eq\f(1,3)b.(2)因为=-a+eq\f(1,3)b,=+=-+eq\f(2,3)=-a+eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a+\f(1,4)b))=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,6)b=eq\f(1,2)(-a+eq\f(1,3)b),所以=eq\f(1,2),与共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.5.(10分)在△ABC中,点P满意=2,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若=m,=n(m>0,n>0),求m+2n的最小值.【解析】因为=2,所以-=2(-),所以=QUOTE+QUOTE

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