2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练二十七平面向量的概念及其线性运算课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练二十七平面对量的概念及其线性运算一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb【解析】选D.因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D项正确．2.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形态是 ()A.矩形 B.平行四边形C.梯形 D.以上都不对【解析】选C.因为=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,所以∥.又与不平行,所以四边形ABCD是梯形.3．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满意＋3＝0，则＝()A．eq\f(1,3)－eq\f(2,3)B．eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)－eq\f(1,3)D．eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)【解析】选D.因为直线AB上一点C满意＋3＝0，则位置关系可用如图表示：所以B为线段AC上靠近C的三等分点，则由平面对量的线性运算可得＝＋AB→＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)．4.已知在△ABC中,D是AB边上的一点,=λ,||=2,||=1.若=b,=a,则用a,b表示为 ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解析】选A.由题意知,CD是∠ACB的平分线,故=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb.5.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合.若=x+(1-x),则实数x的取值范围是 ()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(0,1)【解析】选A.设=λ(λ>1),则=+=+λ=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),所以x+(1-x)=(1-λ)+λ.所以λ=1-x>1,得x<0.6．矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A．eq\f(5,8)B．eq\f(1,4)C．1D．eq\f(5,16)【解析】选A.＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)(＋)＝eq\f(1,4)－eq\f(3,4)，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，所以λ2＋μ2＝eq\f(5,8).7．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．－2【解析】选B.由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.因为a，b不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2)，又k＜0，所以λ＜0，所以λ＝－eq\f(1,2).二、填空题(每小题5分，共15分)8．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则eq\f(x,y)的值为________．【解析】设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ（x－y）＝1，,λ（x－2y）＝－2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,λ)，,y＝\f(5,2λ)，))则eq\f(x,y)的值为eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)9．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝eq\f(1,4)，＝eq\f(1,2)，则＝________．(用e1，e2表示)【解析】如图所示，＝－＝＋2＝＋eq\f(2,3)＝－eq\f(1,4)＋eq\f(2,3)(－)＝－eq\f(1,4)e2＋eq\f(2,3)(e2－e1)＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.答案：－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e210.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为.

【解析】由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又因为e1与e2不共线,所以QUOTE解得k=-QUOTE.答案:-QUOTE1.(5分)(2024·宜宾模拟)已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满意=QUOTE(+),=+QUOTE,则△APD的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2QUOTE【解析】选A.取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,=QUOTE(+).又=QUOTE(+),所以点D是AE的中点,AD=QUOTE.取=QUOTE,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知=+QUOTE=+.因为△APD是直角三角形,AF=QUOTE,所以△APD的面积为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.2．在△ABC中，＋＝2，＋＝0，若＝x＋y，则()A．y＝3xB．x＝3yC．y＝－3xD．x＝－3y【解析】选D.因为＋＝2，所以点D是BC的中点，又因为＋＝0，所以点E是AD的中点，所以有：＝＋＝－＋eq\f(1,2)＝－＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)，因此x＝－eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)⇒x＝－3y.3．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,2)【解析】选D.因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以＋2＋3＝eq\f(1,2)(＋)＋2×eq\f(1,2)(＋)＋3×eq\f(1,2)×(＋)＝eq\f(1,2)＋＋＋eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋＝eq\f(1,2)＋＝eq\f(3,2)．4．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.(1)试用a，b表示，，．(2)证明：B，E，F三点共线．【解析】(1)在△ABC中，因为＝a，＝b，所以＝－＝b－a，＝＋＝＋eq\f(1,4)＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b，＝＋＝－＋eq\f(1,3)＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)因为＝－a＋eq\f(1,3)b，＝＋＝－＋eq\f(2,3)＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)(－a＋eq\f(1,3)b)，所以＝eq\f(1,2)，与共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．5.(10分)在△ABC中,点P满意=2,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若=m,=n(m>0,n>0),求m+2n的最小值.【解析】因为=2,所以-=2(-),所以=QUOTE+QUOTE