2024-2025学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.4.3第4课时余弦定理正弦定理应用举例课时分层作业含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时分层作业(十四)余弦定理、正弦定理应用举例(建议用时：40分钟)一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)mD[由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3)m.]2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A．eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC．eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/hA[如图所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)nmile/h.]3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发觉敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/时 B．14海里/时C．14eq\r(2)海里/时 D．20海里/时B[如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20海里，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．]4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20m B．30mC．40m D．60mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，则BD＝40，OD＝20eq\r(3).在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)mD[设建筑物的高度为hm，由题图知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)， ①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h). ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq\r(6)m．]二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．eq\r(2)[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．]7．如图，在高速马路建设中须要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.eq\r(3)[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(1×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq\r(3)(km)．]8．一次机器人足球竞赛中，甲队1号机器人由点A起先做匀速直线运动，到达点B时，发觉足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽视机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球．7[设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－eq\f(23,3)(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球．]三、解答题9．在某次军事演习中，红方为了精确分析战场形势，在两个相距为eq\f(\r(3)a,2)的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理有eq\f(DB,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，∴BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a，在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(3＋\r(3),4)a×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2.∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为eq\f(\r(6),4)a.10．岛A视察站发觉在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，视察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10eq\r(3)海里的速度前往拦截．(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．[解](1)依据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°.在△ABC中，由eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)得AB＝eq\f(BCsin∠ACB,sin∠BAC)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).所以海监船接到通知时，距离岛A5eq\(2)设海监船航行时间为t小时，则BD＝10eq\r(3)t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，所以2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以CD＝10，所以BC＝CD，所以∠CBD＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．(或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时)11．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是()A．240(eq\r(3)－1)mB．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)mC[由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m)．]12．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A动身以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A．eq\f(150,7)分钟 B．eq\f(15,7)分钟C．21.5分钟 D．2.15小时A[如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,14)))eq\s\up12(2)＋eq\f(675,7).当t＝eq\f(5,14)小时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分钟．]13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的时间为________小时.1[设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小时)．]14．(一题两空)甲船在A处视察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________nmile.北偏东30°eq\r(3)a[如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝eq\r(3)tv，又B＝120°，则由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(nmile)．]15．某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出须要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．[解]方案一：①须要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,