2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.1任意角的正弦函数余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学案含解析北师大版必修4

PAGE4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4．1随意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性考纲定位重难突破1.了解单位圆的概念．2.理解随意角的正弦函数、余弦函数的定义．3.理解三角函数的周期性.2.正、余弦函数值在各象限的符号的记忆．重点：1.随意角的正弦、余弦函数的定义及应用．难点：1.正弦、余弦函数的定义及应用．2.周期函数的应用.授课提示：对应学生用书第6页[自主梳理]1．单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．2．随意角的正弦函数、余弦函数3．正弦函数、余弦函数值的符号(1)图示：随意角的正弦值的符号，如图①所示；随意角的余弦值的符号，如图②所示．(2)表格：α的终边sinαcosαx轴正半轴01第一象限＋＋y轴正半轴10其次象限＋－x轴负半轴0－1第三象限－－y轴负半轴－10第四象限－＋4．终边相同的角的正、余弦函数公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z；cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.5．周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，假如存在非零实数T，对定义域内的随意一个x值都有f(x＋T)＝f(x)，我们就把f(x)叫作周期函数，T称为这个函数的周期．(2)规定：对于周期函数来说，假如全部的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的函数的周期，如未特殊指明，一般都是指它的最小正周期．(3)正弦函数和余弦函数的周期性正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π.[双基自测]1．已知角α终边经过P(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，则sinα＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3) D．±eq\f(1,2)解析：P(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))为单位圆一点，所以sinα＝eq\f(1,2).答案：A2．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：由题意得cosα＜0，且tanα＜0，所以角α的终边在其次象限．答案：B3．α的终边与单位圆的交点为P(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，则sinα＝________，cosα＝________.解析：由正、余弦函数的定义知r＝1，sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(\f(3,5),1)＝eq\f(3,5).答案：－eq\f(4,5)eq\f(3,5)授课提示：对应学生用书第7页探究一正弦、余弦函数的定义[典例1]已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)，且sinα＝eq\f(\r(2),4)m，求sinα与cosα的值．[解析]由已知，有eq\f(\r(2),4)m＝eq\f(m,\r(3＋m2))，解得m＝0或m＝±eq\r(5).(1)当m＝0时，cosα＝－1，sinα＝0；(2)当m＝eq\r(5)时，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，sinα＝eq\f(\r(10),4)；(3)当m＝－eq\r(5)时，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，sinα＝－eq\f(\r(10),4).一般依据三角函数的定义求解此类问题，当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要依据问题的实际状况对参数进行分类探讨．1．已知角θ的终边与函数y＝－2|x|的图像重合，求sinθ和cosθ的值．解析：若角θ是第三象限的角，在角θ的终边上取一点(－1，－2)，则r＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5).由三角函数的定义，知sinθ＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝－eq\f(\r(5),5).若角θ是第四象限的角，在角θ的终边上取一点(1，－2)，则r＝eq\r(12＋－22)＝eq\r(5).由三角函数的定义，知sinθ＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).探究二有关三角函数值的符号问题[典例2](1)α是其次象限角，推断sinαcosα的正负；(2)若sinαcosα＜0，推断α是第几象限角．[解析](1)∵α是其次象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinαcosα＜0.(2)由sinαcosα＜0知有两种可能：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＞0，,cosα＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＜0，,cosα＞0.))故α在其次象限或第四象限．1．三角函数值的符号在以后学习中常常用到，必需记熟，可依据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切(正切后面学到)，四余弦(是正的)．2．对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中全部三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们的公共象限即为所求．2．已知角α满意sinα＜0，且tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)试推断sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)的符号．解析：(1)由sinα＜0，知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上；又tanα＞0，所以角α的终边在第三象限，故角α的集合为{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，当k＝2m，m∈Z时，角eq\f(α,2)的终边在其次象限，此时sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，taneq\f(α,2)＜0，所以sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)的符号为正；当k＝2m＋1，m∈Z时，角eq\f(α,2)的终边在第四象限，此时sineq\f(α,2)＜0，coseq\f(α,2)＞0，taneq\f(α,2)＜0，所以sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)的符号为正．因此，sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)的符号为正．探究三利用正弦、余弦函数值的周期性求值[典例3]求下列三角函数值．(1)cos(－1050°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4))).[解析](1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角与30°的角终边相同．∴cos(－1050)°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(2)∵－eq\f(31π,4)＝－4×2π＋eq\f(π,4)，∴角－eq\f(31π,4)与角eq\f(π,4)的终边相同．∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).利用公式sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα(k∈Z)，可以把随意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的正弦、余弦函数值问题．从该公式可以看出，在求三角函数值的时候，2π，360°的整数倍可以干脆去掉，从而便利化简或计算．3．求下列各式的值：(1)coseq\f(25π,3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin810°＋cos765°＋sin1125°＋cos360°.解析：(1)原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,3)＋sineq\f(π,4)＝eq\f(1＋\r(2),2).(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)＋sin(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin90°＋cos45°＋sin45°＋cos0°＝2＋eq\r(2).因不会挖掘隐含条件致误[典例]已知sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(4,5)，试确定θ是第几象限角．[解析]因为sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)>0，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(4,5)<0，所以eq\f(θ,2)是其次象限角．又因为sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)<eq\f(\r(2),2)＝sineq\f(3,4)π.所以2kπ＋eq\f(3,4)π<eq\f(θ,2)<2kπ＋π(k∈Z)，所以4kπ＋eq\f(3,2)π<θ<4kπ＋2π(k∈Z)，所以θ是第四象限角．[错因与防范](1)在解答过程中，往往只由sineq