数学-湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试

225.已知直线l:x-y+1=0，从点A(-2,3)射出的光线经直线l反射后经过点B(2,4)，则光线从A到B的路程为()切，则动圆圆心M的轨迹方程是()22222222A.-2B.-1C.1D.2近线的垂线，垂足为P．若PF1=6OP，则C的离心率为()确的是()A.抛物线的准线方程为x=-1C.若A,F,C三点共线，则y1y2=-1D.若AC=6，则AC的中点到y轴距离的最小值为211.曲线Γ:y2-2y=x3+mx-3，下列结论正确的是()D.若曲线Γ在第一象限内存在位于直线x=1左侧的点，则m>1.17.如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，ÐABC=90o，AB//CD，△PCD是边长为（1）求证：平面PAB丄平面PBC；（2）求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.点，抛物线C的顶点在原点，焦点与E的右焦点重合.（2）过焦点F2的直线l交椭圆E于点M,N，交抛物线C于点A,B，P为过点F1且垂直于x轴的直线上异于F1的一点.（ii）设PA,PB,PF2的斜率分别为K1,K2,K3，求的值.2n有一个属于S，则称S为开心集.（2）当n=3时，若4∈S，求开心集S；22024)为开心集，且S中存在元素m，使得S中所有22__________【答案】A【解析】【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，再待定系数计算即可.【答案】C【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必【答案】C【解析】【分析】利用下标和性质先求出a5+5【答案】B【解析】【分析】根据题意，列出不等式组求解即可.ïïïï5.已知直线l:x-y+1=0，从点A(-2,3)射出的光线经直线l反射后经过点B(2,4)，则光线从A到B的路程为()【答案】C【解析】切，则动圆圆心M的轨迹方程是()【答案】D【解析】曲线的定义，可得动圆的圆心M的轨迹，进一步求出其方程.【详解】设动圆的圆心M(x,y)，半径为r由椭圆的定义，M的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴为122-42=4822动圆的圆心M的轨迹方程为【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】所以VABC为等腰直角三角形，近线的垂线，垂足为P．若PF1=6OP，则C的离心率为()【答案】B【解析】【分析】设过点F2(c,0)作y=x的垂线，其方程为联立方程，求得x=即=6OP，列出相应方程，求出离心率.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考力，属于中档题.【答案】AD【解析】【分析】根据选项取值验算可得正确答案.确的是()A.抛物线的准线方程为x=-1C.若A,F,C三点共线，则y1y2=-1D.若AC=6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】将点B的坐标代入抛物线方程即可求得p=2，从而求出准线方程判断A；利用向量坐标运算得数关系求解即可判断C；结合焦半径公式，利用AF+CF≥AC及焦半径公式即可判断D.2-1,y2)，2r对C，因为A,F,C三点共线，所以线r联立1得y2-4ty-4=0，对D，设AC的中点为M(x0,y0)，AF+≥AC,AF即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.11.曲线Γ:y2-2y=x3+mx-3，下列结论正确的是()【答案】BCD【解析】【详解】对选项A：设曲线上有一点P(x0,y0)，则y-2y0=x+mx0-3①,而点P(x0,y0)关于原点(-y0)2-2(-y0)=(-x0)3+m(-x0)-3②;联立①②,得y=-3，此时y0无解，故A错误；对选项B：设曲线上有一点P(x0,y0)，则y-2y0=x+mx0-3③,而点P(x0,y0)关于y=1对称的点0,2-y0)，若曲线关于y=1对称，则P¢也应在曲线上，则有(2-y0)2-2(2-y0)=x+mx0-3④;联立③④,得y-2y0=(2-y0)2-2(2-y0)，即y-2y0=y-2y0，该式恒成立，则P和P¢是在曲线上且关于y=1对称的点，即y=1是该曲线的对称轴，故B正确；对选项D：由原方程得(y-1)2=x3+mx-2，由题意知，当0<x<1时有点(x,y)在曲线上，因为(y-1)2=x3+mx-2≥0，所以x3+mx-2≥0在(0,1)上有解，即m≥-x2在(0,1)上有解，又因为函数-x2在上单调递减，所以m>-12=1，所以D正确.,F【答案】42【解析】【分析】由题意可得△AF1F2为等腰直角三角形，又a=4，计算可求c=2AF1AF=AF2AF故答案为：42.**.【答案】2024【解析】【分析】根据an,Sn的关系，分n是否等于1讨论即可.:a2=2，当n≥2时，由2Sn=anan+1又Qan≠0,:an+1-an-1=2，:{a2n}为一个以2为首项，2为公差的等差数列，:a2024=2024.-7,0，F27,0【答案】【解析】【分析】根据题意可得PF1=3P12F212F2222PF12222PF12F21243-21.32【解析】（2）根据题意，分直线l的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解.解：设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，所以圆C的方程为(x+2)2+(y-3)2=25.【解析】【分析】（1）根据{an}是等比数列，设{an}的公比为q，根据条件列出方程组．求出q和a1可得数列{an}的通项（2）求出bn的通项公式，代入Cn=利用错位相减法即nn.2n，2nn)-(n+1)3n+1【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键，17.如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，ÐABC=90o，AB//CD，△PCD是边长为（1）求证：平面PAB丄平面PBC；（2）求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.【解析】（2）推导出AB丄AE，然后以点A为坐标原点，AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线DG与平面PBC所成角的正弦值.证明：因为PA丄平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以，PA丄BC，因为PA∩AB=A，PA、ABÌ平面PAB，所以BC丄平面PAB，因为BCÌ平面PBC，所以，平面PAB丄平面PBC.解：如图，连接PG、CG、AC，且△PCD是边长为2的正三角形，所以以点A为坐标原点，AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设平面PBC的法向量为，又设直线DG与平面PBC所成角为θ, 故直线DG与平面PBC所成角的正弦值为.点，抛物线C的顶点在原点，焦点与E的右焦点重合.（2）过焦点F2的直线l交椭圆E于点M,N，交抛物线C于点A,B，P为过点F1且垂直于x轴的直线上异于F1的一点.（2i）x-y-1=0或x+y-1=0ii）2【解析】（2i）设出直线方程，分别联立椭圆与抛物线，由根与系数的关系及弦长公式，由题意建立方程，解出（ii）分别由斜率公式表示出斜率，计算化简即可得:概圆E的方程为:F2(1,0)，:抛物线C的方程为y2=4x.联立化简得y2-4ty-4=0，显然Δ>0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=4t,y1.y2=-4，)y2所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.:K+K=y1-m+y2-m=(y1-m)(x2+1)+(y2-m)(x1+1)(y1-m)(ty2+2)+(y2-m)(ty1+2)2ty1y2+(2-mt)(y1+y2)-4m