专 题 17.16用勾股定理解决动点问题（专项练习）

专题17.16用勾股定理解决动点问题（专项练习）

一、单选题

1.如图，放AACB中，ZACB=90°,A8=25cm,AC=7cm,动点P从点B出发沿射线8c以

2cm/s的速度运动，设运动时间为fs,当△APB为等腰三角形时，/的值为（）

A.答或弓B.或24或12C.篝或24或12D.箫或g或24

2.正方形ABCQ的边长为8,M在QC上，且£>"=2,N是AC上的一动点，ON+MN的

最小值为（）

A.6B.8C.10D.9

3.如图，在等腰中，斜边48的长为2,。为AB的中点，E为AC边上的动点,

广交BC于点尸，尸为E尸的中点，连接布，P8,则附+P8的最小值是（）

A.3B,272C.y/6D.石

4.如图，在心△4OC中，AD=3,NAOC=90。，NC=30。，AC的中垂线Gh分别交AC、

OC于点G、H,/为HG上一动点，则△4。/的周长的最小值为（)

G

D-------------ff

A.6B.6+36C.3+3抬D.3+百

5.如图，点P,。分别是/ABC边BA,8C上的点，且瓦）=4,NABC=60。.连结P。,

以PD为边,在PO的右侧作等边△力PE,连结8E,则ABOE的面积为（）

A.4GB.2C.4D.6y/3

二、填空题

6.如图，在等边AABC中，AB=10,BD=4,BE=2,点尸从点E出发沿E4方向运动,

连接P£>,以为边，在尸。的右侧按如图所示的方式作等边ADP尸，当点尸从点E运动到

点A时，点F运动的路径长是—.

7.如图1,点M,N为边长为8cm的正方形A8CO边A8,8上的动点，连接MN,点E

为边BC的中点.将正方形A3CO沿线段MN折叠，使点。的对应点户落在线段的上，点A

的对应点为F,如图2所示.则线段CN的取值范围是.

图1图2

8.如图，射线垂足为。，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别与射线0M上

的点E、点。重合,48=4.当点4从点E出发沿E0方向滑动，同时点B沿ON方向滑动.当

点4从点E滑动到点。时，直角顶点C运动的路线长为.

。⑶

9.如图，在R/AABC中，NACB=90。，AB=4,BC=2,点E、F分别是A3、BC上的动点,

沿EF所在直线折叠△ABC,使点8落在AC上的点笈处，当△AE8是直角三角形时，AB'

的长为.

10.如图，点M为线段A8上的一个动点，在AB同侧分别以AM和8M为边作等边A4WC

和等边若AB=12,则线段8的最小值为.

11.如图，等腰ABAC中，ZBAC=120°,BC=6,P为射线8A上的动点，M为BC上一

动点，则PM+CP的最小值为

12.如图，点A坐标为(-4,一4),点8(0,相)在)，轴的负半轴上沿负方向运动时，作

RtAABC,其中/54C=90。.直线AC与x轴正半轴交于点C5,0),当B点的运动过程

13.如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90°,NA=30。，点A(-3,0),B(1,0).根

据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在放△ABC中，AB=2BC.请在这一结

论的基础上继续思考：若点。是48边上的动点，则CD+gA。的最小值为.

14.如图，在R/AABC中，ZC=90°,AC=6,NB=30。，点尸在边AC上，并且C尸=2,

点E为边BC上的动点，将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点尸处，则点尸到边AB距离

的最小值是.

15.已知：R/AA8C中，NBAC=90。，AB=AC=1,。是BC边上的一个动点(其中0。</84。

<45°),以为直角边作RhADE,其中ND4E=90。，S.AD=AE,OE交AC于点己

过点4作于点G,交BC于H,在D点的运动过程中，有下列结论：①AAB。丝A

ACE：②BfP+OCZuMZA@BD2+HC2=DH2；④当80=0-1时，AC平分NH4E；⑤当

/班。=22.5。时，S"»G=2S~CF，其中正确的有.(将所有正确结论的番号填在答

题卡对应题号的横线上)

16.如图，在等边AABC中，A£),CE是“IBC的两条中线，AB=4,P是A。上一个动点,

则AEBP的周长最小值是.

三、解答题

17.如图，在AABC中，N4C8=90。，A8=10,8C=6,点P从点A出发，以每秒2个单

位长度的速度沿折线A-8-C运动.设点P的运动时间为/秒(r>0).

(1)求AC的长.

(2)求斜边A8上的高.

⑶①当点P在BC上时，PC的长为.(用含f的代数式表示)

②若点P在/B4C的角平分线上，则t的值为.

(4)在整个运动过程中，直接写出APBC是等腰三角形时/的值.

18.在△ABC中，NACB=90。，AC=4,BC=3.

(1)如图1,O为线段BC上一点，点C关于AD的对称点。恰好落在A8边上，求8的长；

(2)如图2,E为线段AB上一点，沿CE翻折ACBE得到ACEB，，若EB，//AC,求证：AE=

ACi

(3)如图3,。为线段BC上一点，点C关于的对称为点C，，是否存在异于图1的情况的

C、B、。为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出长；若不存在，请说明

理由.

19.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，A(-12,0),C(0,4g),

NC4O=/8CO=30。，点E从A出发沿AC向点C运动，点F从O出发沿0C向C运动，

两点同时出发，速度均为1个单位/秒，并且一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运

动时间为f秒.

⑴求点8坐标.

⑵连接EF,将线段E尸绕点E逆时针旋转60。得到线段E。，连接CD,求CD的长.

⑶在(2)的条件下，作点。关于EF的对称点G,连接CG、BG,当f为何值时，CBG为

直角三角形.

20.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A、8分别y轴、x轴上，连接AB,OA=OB,

=50-

(D如图1,求点A、B的坐标:

(2)如图2,用从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线。8运动，连结4M.设AABM

的面积为S,点M的运动时间为，秒，求S与，的之间关系式，并直接写出f的取值范围;

(3)如图3,在(2)的条件下，当点运动到线段的延长线上时，过点8作于点

H,将线段AM关于x轴对称ME,(A的对称点是E)交直线BH于点N,当S=50时，求

MN的长.

图3

21.如图，已知在放AABC中，ZACB=90°,AC=18,BC=36.点P从8点出发沿射线BC

方向以每秒4个单位的速度向右运动.设点尸的运动时间为r.连结AP.

(1)当f=3秒时，BP=；AP=；

(2)当AABP为等腰三角形时，求f的值;

(3)当AP恰好平分/B4C时，求f的值.

备用图

22.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点尸从点A开始沿

边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点8沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动.如

果点P、。同时出发，设运动时间为f秒.

(1)经过3秒时，ABPQ的面积为多少？

(2)当f为何值时，BP=^BQ?

(3)当/为何值时，点8在尸。的垂直平分线上？

23.小明也想利用轴对称设计一幅图参加班级的冬奥会主题画展，他在设计的过程中发现了

一个有趣的现象：

(1)【发现】如图1,在AABC中，点。在边AB上运动(点。不与A,8重合)时，连接CD,

作AA8C关于CD的轴对称图形QC,边AC交AB于点E,A9交AC于点F.他发现

CE与CF的有固定的数量关系，请你判断CE与CF的数量关系为.

(2)【拓展】继续深入研究发现：如图2,在AMC中，当点。在边A8的延长线上运动(点

。不与B重合)时，连接C£>,作AABC关于CO的轴对称图形△ASC,边A，C的延长线交

AB于点£交AC的延长线于点F,他发现CE与CF仍然有固定的数量关系.请你判

断(1)中的结论还成立吗？并说明理由.

(3)【应用】在AABC中，若NA=30。，ZB=45°,AC=2,请直接写出CF最小时4。的长

度为,

24.如图，已知在RSA8C中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是AC上的一点，CD=

3,点P从B点出发沿射线8C方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为

t,连接AP.

(1)当r=3秒时，求AP的长度；

(2)当△AB尸为等腰三角形时，求f的值；

(3)过点。作于点区连接PO,在点P的运动过程中，当尸。平分/APC时，直接

写出，的值；

25.如图，己知AABC为等腰直角三角形，且面积为4.点。是8c的中点，点F是直线A3

上一动点，连结。尸.

(1)求线段8c的长；

(2)当点E在射线BC上，且CE=2BC时，连结正，若AF=3AB,试判断A£)E/是否为等

腰三角形，并说明理由；

(3)直线AB上是否存在点F(尸不与A8重合)，使AACF的其中两边之比为1：历?若存在,

求出所的长；若不存在，请说明理由.

26.已知：如图，AA8C中，ZC=90°,BOAC,点。是A8的中点，点P是直线8c上

的一个动点，连接。P，过点。作QQLOP交直线AC于点Q.

(1)如图①，当点尸、Q分别在线段BC、AC上时(点。与点A、C不重合)，过点8作AC

的平行线交。。的延长线于点G,连接PG、PQ.

①求证：PG=PQi

②若BC=12,AC—9,设CQ—y,求y关于x的函数表达式；

(2)当点P在线段C8的延长线上时，依据题意补全图②，请写出线段BP、PQ、AQ之间的

数量关系，并说明理由.

27.如图1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,。为AC边上一动点，且不与点A、点C

重合，连接BO并延长，在BO延长线上取一点E,使AE=AB,连接CE.

(1)若/AED=20。，则NZ)EC=度；

(2)若/AEO=a,试探索与NAEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；

(3)如图2,延长EC到点”，连接BH2+C〃2=2AE2,连接A3与BE交于凡试探究8E与

FH的关系.

E

28.如图1,点A在y轴上，点8,点C在x轴上，点。在第一象限，且△45C与△A3C

均为等边三角形，点B坐标为（-3,0）,点E为线段8c上一动点，点尸为直线0c上一

动点，且NEAF=60°,连接EF.

⑴填空：写出点A、点。的坐标，点A；点。；

（2）试判断防的形状，并给予证明；

⑶直接写出E尸长度的最小值以及此时点尸的坐标；

（4）将条件改为“点E为C8延长线上一点”,其他条件不变，AAM的形状是否发生变化？

在图2中画全图形（不必证明），直接写出当点E坐标为（-5,0）时，EF的长度以及此

时点尸的坐标.

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的定义，分以=P8,PA=AB,三种情况求解.

【详解】

*.*Z,ACB=90°,AB=25cmfAC=7ctn,

•••BC=NAB，-AC2=4252-72=24，

当以=PB时，设%=PB=x,则PC=24-x,

A

BpC

：.x2=(24-X)2+72,

解得k篝,

.625,625

••t=-----i-2=——;

4896

当AB=PB时，则AB=PB=25,

A

BCP

••・哼

当A3二%时，则8C=PC=24,

A

.J

BCP

2

故当AAP8为等腰三角形时•，f的值为詈或胃或24,

故选o.

【点拨】本题考查了分类思想，等腰三角形的判定和性质,勾股定理，熟练掌握等腰三角形

的判定，灵活运用勾股定理计算是解题的关键.

2.C

【解析】

【分析】

要使QN+MN最小,首先应分析点N的位置，根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直

平分，知点D的对称点是点B,连接MB交AC于点N,此时£W+MN最小值及时BM的长.

【详解】

根据题意，连接8N,BM,

ND+NM=NB+NM>MB

三点共线时，ON+MN取得最小值，

则8M就是ON+MN的最小值，

在MA8CM中，BC=8,CM=6,

根据勾股定理得：3M=^/^百■=10，

即DN+MN的最小值是10,

故选C

【点拨】本题主要考查了正方形性质的应用，结合勾股定理判断最小路径是解题的关键.

3.D

【解析】

【详解】

连接PC,PD,CD,作线段CQ的垂直平分线/,作A关于CO垂直平分线的对称点Al根

据题意可得：点?在的垂直平分线上运动，得出必+P3的最小值为48,结合图形利

用垂直及平行的关系得出A4UA8,且A4'=C£)=gA8=l,在RW8中，利用勾股定

理求解即可得.

【解答】

解：如图所示：连接FC,PD,CD,作线段CO的垂直平分线/,作A关于C。垂直平分线

的对称点4,

,/在Rt^CEF中，P为EF的中点，

/.CP=-EF,

2

在RMEDF中,

DP=-2EF,

：.CP=DP,

...点P在C。的垂直平分线上运动，

，B4+P8的最小值为43,

:♦ABC为等腰直角三角形，。为A8中点，

CDLAB,

：.I//AB,

:AA'll,

AA'LAB，且A4'=CO」AB=1,

2

...在中，

^'B=A/22+12=45>

故选：D.

【点拨】题目主要考查最短路径问题，包括直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，轴对称

的性质，垂直及平行的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是

解题关键.

4.C

【解析】

【分析】

连接C/,根据线段垂直平分线的性质可得出，AI=CI,由此即可推出AAO/的周长

L=AD+C1+DI,根据C/+。/最小时，即为/点与〃点重合时，即为CD的长.最后根据

含30。角的直角三角形的性质结合勾股定理，求出CO的值即可.

【详解】

如图，连接C/,

:G”是线段4c的中垂线，

,Al=Cl.

•/L=AD+AI+DI,

：.L=AD+CI+DI.

•♦•C/+。/最小时，即为/点与H点重合时，即为CD的长，

：.Lmin=AD+CD.

VAD=3,ZADC=90°,ZC=30°,

CD=gAD=3后，

L.=AD+C£>=3+38.

故选c.

【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，含30。角的直角一角形的性质以及勾股定理.正

确的作出辅助线是解题关键.

5.A

【解析】

【分析】

要求ABDE的面积，想到过点E作“_L3C,垂足为F,因为题目已知NABC=60。，想到

把NA8C放在直角三角形中，所以过点。作DGL8A,垂足为G,利用勾股定理求出QG的

长，最后证明AGP。=ATOE即可解答.

【详解】

解：过点E作所_L8C,垂足为尸，过点。作垂足为G,

/BDG=300,

BG=-BD=2

2f

/.GD=y/BD2-BG2=2x5，

・;APDE是等边三角形,

.・.NP£)E=60。，PD=DE,

Z.PDB+/EDF=180°-NPDE=120°,

•・・NABC=60。，

/.ZPDB+ZBPD=180°-ZABC=120°,

:.ZBPD=ZEDF,

•・•ZPGD=ZDFE=90°,

:.\GPD=\FDE(AAS),

:.GD=EF=2出,

.•.MDE的面积=gBO.£F,

=—x4x25/3,

2

=46»

故选：A.

【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线.

6.8

【解析】

【分析】

连接OE,作，8c于H,如图，根据等边三角形的性质得N8=60。，过。点作,

则B?=；BO=2,则点E，与点E重合，所以/%>£=30。，DE=4^BE=2也,接着证明

2PE痣由汨得到FH=DE=2币,于是可判断点尸运动的路径为一条线段，此线段到

BC的距离为26,当点尸在E点时，作等边三角形。后耳，则。耳，BC,当点P在A点时，

作等边三角形玛，作EQLBC于Q,则4DF2Q=\ADE,所以DQ=4E=8,所以

FtF2=DQ=S,于是得到当点产从点E运动到点A时，点/运动的路径长为8.

【详解】

解：连接作修，8C于，，如图所示：

•••△4BC为等边三角形，

ZB=60°,

过。点作OEJ.AB,则=

，点9与点E重合，

.・.ZBDE=30。,DE=MBE=2上,

•「△DP厂为等边三角形，

ZPDF=60°,DP=DF,

・•./EDP+/HDF=9Q。,

•・・NHDF+/DFH=90。,

:.ZEDP=ZDFH.

在△£）尸石和△尸。〃中，

/PED=NDHF

•/EDP=4DFH,

DP=FD

:.ADPE三AFDH,

..•点尸从点E运动到点A时，点尸运动的路径为一条线段，此线段到的距离为26

当点尸在E点时，作等边三角形。%，/比尸1=30。+60。=90。，则。耳，BC,

当点尸在A点时•，作等边三角形作KQLBCr。，则4DF2Q=\ADE,

：.£>Q=AE=10-2=8,

:.FtF2=DQ=S,

，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8.

故答案是：8.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，也考查了等边三角形的性质.在解决问题时，

关键要掌握点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律.

7.0MGVM3

【解析】

【分析】

当点P与点6重合时，CN取得最小值0；当点产与点E重合时，CN取得最大值，根据

正方形边长为8,点E为边BC的中点，设C/V=x,则。V=8-x,CEU根据NC=90。，利

用勾股定理即可得出CN的长，取两种情况的中间值即可得到线段CN的取值范围.

【详解】

当点P与点8重合时，CN取得最小值0；

当点P与点E重合时，CN取得最大值

如图，

BEC

正方形边长为8,点E为边3c的中点

设CN=x,贝lj£W=8-x,CE=4

•;EN=DN

:.EN=8-x

在DCEN中，ZC=90°

:.EN2=CE2+CN2

即(8-X)2=4?+/

解得x=3

此时，CN=3

所以，线段CN的取值范围是04CN43.

故答案为：04CNM3.

【点拨】本题考查了折叠问题，涉及正方形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解

题的关键.

8.8-4正##-4忘+8

【解析】

【分析】

点C的运动路径是：CTC/TC,然后结合勾股定理分析求解.

【详解】

解：如图：

•:△ABC为等腰直角三角形，且A8=4,

/.0c=2五，

当点4滑动到点4,点8滑动到点8/时,

点C的运动路径是线段CG,

由题意可得，此时四边形A/08/C/是正方形，且48尸4,

OCI=AIBI=4,

CC/=4-2>/2,

当点A滑动到点0,点8滑动到点员时，

点C/的运动路径是线段C/C,

.♦.直角顶点C运动的路线长为2(4-2&)=8-4血，

故答案为：8-4夜.

【点拨】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找点C的运动轨迹，

属于中考填空题中的压轴题.

9.逑或4(6-1)

3

【解析】

【分析】

利用直角三角形的性质得到乙4=30。，山折叠的性质推出8E=B£然后分两种情况讨论，利

用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可.

【详解】

解：根据折叠的性质知：BE=B'E,BF=B'F,即是线段88的垂直平分线，

在ABC中，/ACB=90°,AB=4,BC=2,

：.NA=30。,

当/AB'E=90。时，△AE8是直角三角形，如图：

,/ZA=30°,

：.EB,=-AE,

2

：.EB=-AE,

2

VAB=4,

284

；・AE=-AB=—，BE=B'E=一，

333

牌一(》2=阵

当NAE£=90。时，△/!可是直角三角形，如图:

：.EB'=-AB',

2

由勾股定理得AE=#)8七=6BE,

"：AB=4,

：.y/jBE+BE=4,

解得:BE=2(若-1),即8E=2(6-1),

：.AB'=2B'E=4(y/3-U，

综上，当AAEB，是直角三角形时，的长为生旦或4(6-1).

3

故答案为：延或4(6_1).

3

【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出图形，分类讨论是解

题的关键.

10.6

【解析】

【分析】

过C作CEJ_AB于E,过。作DF_LMB于F,过£＞作于G,利用平行线间距离

相等可得。G=E尸，根据勾股定理可以求得CD=JE尸+CG?，根据CG的取值范围可以求得

C。的最小值，即可解题.

【详解】

解：如图过C作CE_LAB过。作于F，过。作£>GACE于G,

..GE//DF,

-.■DG±CE,FErCE,

根据平行线间距离相等,

:.DG=EF,

•••AAMCABMO为等边三角形，

-.■CE±AM,DFIBM,

根据等腰三角形三线合一的性质，

/.AE=ME,MF=BF,

:.DG=EF=ME+MF=-(AM+BM)=-AB=6,CD..DG,

22

.-.CD=^EF2+CG2.故CG=O时，CO有最小值，

当M为AB中点时，有CD=DG=6,

二8长度的最小值是6.

故答案为：6.

【点拨】本题考查的是等边三角形的性质及勾股定理在直角三角形中的灵活运用，解题的关

键是根据勾股定理计算C/)的值.

H.373

【解析】

【分析】

作点C关于54的对称点Z),连接3。，点M/是8c上一点，连接。M/,交AB于点P,连

接CP,作力8c于可知力M最短，根据勾股定理求出长度即可.

【详解】

解：作点C关于加的对称点。，连接8D,点％是8c上一点，连接。例/,交A8于点P,

连接CP，作于M,

由对称可知，DP=CP,

：.PM+CP=PM+DP=DMt

当。M_L8C时，PM+CP最短，最小值为0M长,

;等腰AB4C中，ZBAC=120°,BC=6,

：.ZABC=ZACB=30°,

山对称得，ZABD=30°,BC=BD=6,

：.ZCBD=60°,/MOB=30。，

BM=-BD=3,

2

DM=>]BD2-MB2='

故答案为：3G.

【点拨】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键是恰

当作辅助线，利用垂线段最短和勾股定理求解.

12.-8

【解析】

【分析】

根据勾股定理和坐标的性质，分别计算得AC?、AB1,BC：结合NBAC=90。，根据勾股

定理的性质计算，即可得到答案.

【详解】

根据题意,得:AC2=[n-(^)]2+[0-(^)]2=(n+4)2+16=n2+8«+32

AB2=[0—(一4)了+[/n-(-4)]2=16+(/n+4)2=MJ2+8/H+32

BC2=n2+nr

,?NBAC=90。

:.BC2=AC2+AB2

n2+trr=n2+8〃+32+〃F+8〃z+32

8(/77+/?)+64=0

/./w+/?=-8

故答案为：-8.

【点拨】本题考查了勾股定理、直角坐标系的知识;解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质,

从而完成求解.

13.3

【解析】

【分析】

作射线AG,使得/BAG=30。，过0作DEL4G于E,过C作CFLAG于F,DE=-AD,

2

故CD+-AD=CD+DE>CF,求出CF即可.

2

【详解】

解：•.•点A(-3,0),B(1,0),ZCAO=30°,

：.AO=3,80=1,AC=2OC,

'：AC2=AO2+OC2,即(2O02=32+OC2,

解得：OC=0,

：.AC=2OC=2y/3,

作射线AG,使得/BAG=30。，

过。作DELAG于E,过C作CF1.AG于F,

：.DE=-AD,

2

CD+-AD=CD+DE>CF,

2

VZCAG=ZCAB+ZBAG=60°,l|JZACF=30°,且AC=26，

：.AF=^AC=y[3,

CF川Ad-AF。=3,

的最小值为3.

故答案为：3.

【点拨】本题考查了坐标与图形，含30。直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边一半，作

出射线AG,使得/8AG=30。是本题的关键.

14.25/3-2

【解析】

【分析】

延长FP交A8于M,当尸PLA8时，点P到A8的距离最小.运用勾股定理求解.

【详解】

解:如图，延长"，交48于M,当/_LA8时，点P到A8的距离最小.

；4C=6,CF=2,

：.AF=AC-CF=4,

'：ZB=30°,NACB=90°

NA=60°

,/ZAMF=90°,

，NAFM=30。，

：.AM=^AF=2,

FM=JAF?-fTW2=2G，

'：FP=FC=2,

：.PM=MF-PF=2y/3-2,

...点尸到边AB距离的最小值是2Q-2.

故答案为：2档-2.

【点拨】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解

题的关键是确定出点P的位置.

15.①②③©

【解析】

【分析】

证明/8AZ)=/CAE,结合AB=ACAD=AE,可判断①，证明

?DCE90?,C£2CD2DE1,再结合全等三角形与等腰直角三角形的性质可判断②，如图,

连接则由2=比2+(7”2=(7/2+8》,证明4”是。石的垂直平分线，结合垂直平分线

的性质可判断③，利用勾股定理求解C/7=0-1=CE,再证明VACH/VACE,可判断④，

如图，过尸作证明EG'2GF,可得。G’2GF,从而可判断⑤.

【详解】

解：在等腰直角三角形A8c和等腰宜角三角形AOE中，

'：AB=AC,ZBAC=ZDAE=90°,AD=AE.

：.ZBAD=ZCAE.

丝△ACE.故①符合题意；

在等腰直角三角形4BC和等腰直角三角形AOE中，

?ABC?ACB?ADE?AED45?,

△ABD^/\ACE,

\2ACE45靶。CE=45?45?90?,8。CE,DE2=2AD2,

\CE2+CD-=DE2,

\B£>2+C£>2=24£)2,故②符合题意,

如图，连接£”，则EH?=CE2+C”2=C7/2+B£)2,

•••等腰:百角三:加形ADE,AHADE,

\DG=EG,DH=EH,

\DH^CH-+BD2,故③符合题意；

QAB=AC=l；?BAC90?,8。夜-I,

\BC=0,C£>=a(a-1)=1,CE=BO=&-1,而EH=DH=1-CH,

\"+(应-=(1-CH?,

解得：CH=®-1=CE,

QAC^AC,?ACB?ACE45?,

\NACH^/ACE,

\?HAC?EAC,即AC平分故④符合题意，

如图，过/作月VLAE于M

A

N

Q?BAD22.5?,而也AC4E,

\?CAE22.5靶AF£)=45?22.5?67.5??DAF,

\?GAF45?22.5?22.5??CAE,而AGADE,

\FG=FN,

\EG?2GF,而。G=EG,

\DG'l2GF,

\SVADG?2SVAOF,故⑤不符合题意；

综上：符合题意的有：①②③④.

故答案为：①②③④

【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，利用SAS证明三角形全等，勾股定理的应用，

线段的垂直平分线的定义与性质，角平分线的性质的应用，二次根式的乘法运算，掌握以上

知识是解本题的关键.

16.2+2石

【解析】

【分析】

如图连接PC,只要证明=即可推出P5+PE=PC+PE,由PE+PC..CE,推出P、

C、E共线时，P8+PE的值最小，最小值为CE的长度，进而可求AEBP的周长最小值.

【详解】

解：如图连接PC，

-AB=AC,BD=CD,

AD±BCf

1.PB=PC,

；,PB+PE=PC+PE,

•••PE+PC.CE,

•・P、C、E共线时，总+PE的值最小，最小值为CE的长度，

,*,AABC是等边三角形，AB=4,

AB=BC=4,

BE=AE=2,

：.CE±.AB,

CE=飞BC?-BE。=26，

/.P8+PE的最小值为2道，

,/C4alp=BE+BP+PE,

的周长最小值为2+26；

故答案为2+26.

【点拨】本题主要考查等边三角形的性质、轴对称-最短问题及勾股定理，熟练掌握等边三

角形的性质、轴对称一最短问题及勾股定理是解题的关键.

17.(1)AC=8

24

(2)斜边AB上的高为不

20

⑶①16-2f；②了.

(4)，的值为1.4或2或2.5或11

【解析】

【分析】

(1)根据勾股定理直接求出AC的值；

(2)由勾股定理可求得AC的值，再设斜边A3上的高为儿由面积法可求得答案；

(3)分两种情况计算即可：①当点P在C8上时，②当点P'在/BAC的角平分线上时；

(4)由图可知，当△8CP是等腰三角形时，点尸必在线段AC或线段A8上，当点P在线

段4c上时，分三种情况：BC=BP：PC=BC；PC=PB,分别求得点尸运动的路程，再除以速

度即可得出答案.

(1)

•.•在AABC中,ZACB=90°,AB=\O,BC=6,

AC=y]AB2-BC2=V102-62=8;

⑵

设边A5上的高为人

则%=：ACBC=*.m

—x6x8=—xlO-/?,

22

5

答：斜边AB上的।同为彳；

⑶

①当点尸在8c上时，点P运动的长度为

则PC=BC-BP=6-(2r-10)=6-2/+10=16-2f；

②当点P在/B4C的角平分线上时，过点P作尸。J_4B,如图:

平分N8AC,PC±AC,PD1AB,

：.PD=PC,

有①知，PC=16-2f,BP=2t-10,

."0=16-23

在RtXACP和R以ADP中,

[AP=AP

\PD=PC"

:.RtAACP邺mADP(HL),

・"D=AC=8,

又VAB=10,

:・BD=2,

在RSBDP中,由勾股定理得：

22+(16-202=(2r-10)2,

20

解得：

70

故答案为：①16-2/；②了.

(4)

由图可知，当ABC尸是等腰三角形时，点尸必在线段或线段上,

①当点尸在线段AC上时，此时ABCP是等腰直角三角形，

则CP=BC=6,

：.AP=AC-CP=S-6=2f

：.10+8+6-2t=24-2t=2

z=ll；

②当点尸在线段AB上时，若BC=BP,

c

则点尸运动的长度为AP=2，，

'：AP=AB-BP=IO-6=4,

・・・2r=4,

若PC=BC,如图2,过点。作于点儿则8P=28”,

在△ABC中，ZACB=90°fAB=10,BC=6,AC=8,

：・AB*CH=ACBC,

.'.10C/7=8x6,

24

•.>C/H7—,

在放ASCH中，由勾股定理得：

BH=^BC2-CH1=^62-(y)2=y=3.6,

BP=2BH=72,

・•・点尸运动的长度为：AP=AB-3P=10-7.2=2.8,

・・・2f=2.8,

若PC=P8,如图3所示，过点P作PQ_L8C于点Q,

B

则4Q=CQ=gx5C=3,NPQ3=90。，

ZACB=ZPQB=90°f

J.PQ//AC,

・・.PQ为AABC的中位线，

PQ=yxAC=yx8=4,

在放ABP。中，由勾股定理得：BP=^BQ2+p©=律赢2=5,

点尸运动的长度为4P=2f,

AP=AB-BP=W-5=5,

：.2t=5,

.,.r=2.5.

综上，，的值为1.4或2或2.5或11.

【点拨】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相

关性质及定理是解题的关键.

4

18.(D-

(2)见解析

⑶4-⑺

【解析】

【分析】

(I)首先勾股定理得48=5,再由对称性得4C=AC=4,得BC=1,在RABC。中，利用勾

股定理列方程即可；

(2)由翻折得ZB'CE=ZBCE,再根据/AEC=NB+NBCE,

ZAC£=Zfi'CA+ZB'C£,可得/AEC=/ACE,从而证明结论；

(3)当NC8/X90。时，过点A作4ELAC,交8。延长线于点E,设8C为x,则CE=4-x,

在心AACE中，由勾股定理得，(4x)2+32=42,解方程从而解决问题.

(1)

解：在RdABC中，由勾股定理得AB=5,

,/点C关于AD的对称点。恰好落在AB边上，

，AC=AC=4,

在心△8C。中，由勾股定理得，

(3-CD)2=12+5,

4

解得：CD=-；

(2)

证明：・・•沿CE翻折aCBE得到ACE9，

；・NB=NB,NB，CE=NBCE,

,:EB〃AC,

：.ZB'=ZB'CA=ZB,

：.ZAEC=ZB+ZBCEfNACE=NBCA+NBEE,

NAEC=NACE,

：.AE=AC^

(3)

存在，BC=4-5，

'/ZAD0450,

・・・NBDC不可能为90°,

当时，过点A作AE,AG交BC延长线于点E,

：ZC=ZCBD=900=ZEf

••四边形AC8E为矩形，设8CF为羽则CE=4-x,

・•AACD翻折后得到AAC。，

\AC=AC=49

：AE=BC=3f

在灯A4CE中，由勾股定理得，

(4-x)2+32=42,

解得：x=4土不，

"：x<4,

•■x—4—5/7,

即BC长为4-"

【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，勾股定理，平行线的性质，等腰三

角形的判定等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想.

19.(1)8(4,0)

(2)CD=4^

⑶满足条件的f的值为递或4石.

3

【解析】

【分析】

(1)由题意易得04=12,0。=46，设3优,0),则有O8="BC=»,然后根据勾股定理

可求解.

(2)如图，在CE上截取CK,使得CK=C/，可得等边△CFK,连接。凡证明

KCDF名AKEF(SAS)可得结论.

(3)分两种情形：①如图，当NCBG=90°时，设BG交，轴于证明ACFZ注AMGF(A4S),

构建方程即可解决问题.②当NCG5=90。时，点尸与点C重:合，E为AC的中点，可得

t=4也,此时G与0重合.

(1)

解：•.•A(-12,0),C(0,4A/3),

0A=12,OC=4g,

设8他0),

•；NC4O=N8CO=30°,

OB=b,BC=2b,

在RfA80c中，由勾股定理可得：/+卜6)2=4/，

解得：b=4,

•••8(4,0).

(2)

解：如图，在CE上截取CK,使得CK=CF,可得等边ACT火，连接。尸,

,;XCFK,AD/方都是等边三角形，

.-.ZCFK=ZDFE=60°,CF=FK,DF=EF,

/DFK为NCFK,NDEE的公共角，

ZCFD=ZKFE,

:.&CDF之庄EF(SAS),

:.CD=KE,

山题意得AE=O尸=f，则CF=CK=4b-f,AC=2OC=8G，

:.KE=AC-CK-AE=8£-(4yfi-t)-t=4yli,

.-.CD=4y/3.

(3)

解：①如图2中，当NCBG=90。时，连接FG,设BG交V轴于M.

由(1)可知：03=4,ZOBC=90°-ZBCO=60°,

Z.OBM=90°-ZOBC=30°,

OB=-J3OM=4,

n473

3

•・FD=FG,ZFCD=NfMG=120°,ZEFD=ZEFG=Of,

.•.Z.CDF+120。+/CFD=180°,Z.CFD+120°+ZMFG=180°,

:.ZMFG=4CDF,

:.\CFD^\MGF（AAS）,

:.CD=FM,

：.CD=FM=t+—=^，

3

873

/.t=----；

3

②当NCG3=90。时，点尸与点。重合，E为AC的中点，可得1=4石，此时G与O重合，

综上所述，满足条件的f的值为述或46.

3

【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了坐标与图形，含30度直角三角形的性质，二次

根式的运算，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

20.（l）A（0,10）,5（10,0）

_/50-10r（0<r<5）

（2）S=[10/-50（z>5）

20>/5

⑶了

【解析】

【分析】

（I）根据。4=03,4*8=50,利用三角形面积公式求解即可；

（2）根据题意可知，08=10,当「=5时一，A/WM不存在，继而分类讨论，根据三角形面

积公式进行计算即可；

（3）设==尸，根据对称性，以及三角形的外角性质，导角可得

ZNBE=ZNEB,根据等角对等边可得BN=NE,设BN=NE=a,在RtdiNM中,

+MW2=M02建立方程求得a,进而即可求得MN的长.

⑴

OA-OB,S^AOB=50,

1,

.-.-AO2=50

2

解得40=80=10（负值舍去）

A（0,10）,B（10,0）

（2）

,••M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线08运动，连结A例.设泌的面

积为S,

OM=2t

-.OB=\0,当f=5时，例不存在，

:.t^5

当0<f<5时，S==S^o-S^AMO=50-1xAOx（9M-50-1Or

当f>5H寸，S=S;\BM=-S.。=JxAOxOM-50=10—50

f50-10f（0<r<5）

"6-[10r-50（f>5）

（3）

如图3,连接BE,

•••点运动到线段OB的延长线上时,

:.t>5

•・,S=10r-50=50

则r=」0

,\OM=2t=20

AM=yjACP+OM2=1M

BHLAM

:.NBHM=90°

在中，BM=OM-08=20-10=10

•：S=-BMxOA=AMxBH

AAMW2

BMxAQ_10xlQ

BH==2x/5

AM10x/5

HM==4>/5

•：AO=OB

.•.△AO3是等腰直角三角形

:.ZABO=45°

设NAM3=a,NMA3=尸

・・•ZABO=ZBAM+ZAMB=45°

.・.a+/7=45。

对称

/./BMN=a,NBEN=0

在△//胸中，4HMN=2a

・•・N/WM=90。—2a=2/

又AHNM=/NBE+/NEB

ZNBE=/NEB=0

・•.BN=NE

设BN=NE=a

:.MN=ME-NE=MA-ci=\*-