数学思维与小学数学教学

。以国际上的相关研究为背景，对小学数学教 ,即使是十分初等的数学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特例如，在几何题材的教学中，无论是教师或学生都清楚地知道，我们的研究对象并非教师手中的那个木制三角尺，也不是在黑板上或纸上所画的那个具体的三角形，而正整数加减法显然具有多种不同的现实原型，如加法所对应的既可能是两个量可能是同一个量的增加性变化，同样地，减法所对应的既可能是两个量的比较同一个量的减少性变化；然而，在相应的数学表达式中所说的现实意义、包括不同的量（两个加数与它们的和，或被减数、减数与它们的差），因此，从纯数学的角度去分析，我们完全可以提出这样的问题，即如何依据其中的任意两个量去求取第三个的量化模式”综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩证关系。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说的要性，或是应当唯一地坚持立足于现实生活由于后一问题的全面分析已经超出了本文的范围定程度上的分离对于学生很好地把握相应的数量关系是十分重要的。这正是国际上的一般地说，学校中的数学学习就是对学生经由日常生活所形成重组、扩展和组织化的过程，这就意味着由孤立的数学事实过渡到了系统的然还未接受正式教导，但所具备的数学知识却比预料的多……他们所需要的帮助是从（学校教学）活动中组织和巩固他们的非正规知识，同时需扩展他们这种知识，使其与我们种不同的集合进行计数，也可以用同样的数去对各种不同的量进行度量。……尽管运算(等）所涉及的方面十分丰富，但又始终是同一个运算──这即是借助于算法所表明的事实。作为计算者人们容易忘记其所涉及的数以及但是，为了真正理解这种存在于多样性之中的简单性，在计算的同时我们又必须能够由算现实原型抽象出相应的数学概念或问题，而且也包括了对于数量关系的纯数学研究，整体结构的广阔途径……情境和模型，问题与求解这些活动作为必不可少的局部手段是重由以下关于算术思维基本形式的分析可以看出，是算术和代数中有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成对象──对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的由两个加数（被减数与减数）我们就可求得相些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为定的数学对象，我们可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而分数的掌握而言我们不应停留于整数的除法这样一种运算，而应将其直接看成一种数，我们可以此为对象去实施加减乘除等运算可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的……当数学实体从一个水平转为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到了一种结构为止，这种；（；（用思维去把握原先的视觉性程序，后者则是指将相应的过程压缩成更小的单元，从而就可从整体上对所说的过程作出描述或进行反思──我们在此不仅不需要实际地去实施相关的运作，还可从更高的抽象水平对整个过程的性质作出分析；另外，相对于前两个阶段而言变成了一个静止的对象。容易看出，上述的分析对于我们改进教学也具有重要的指导意义同一概念心理表征的不同侧面，我们应善于依据不同 ；（ ,这集中地体现于相应的符号表达式：它既可以代表所说的运作过程，也可以代表经由凝过程或概念。特殊地，数学中常常会用几种不同的符号去表征同一个对象，从而，在这样于数学的特殊重要性。以下再以有理数的学习为例对此作出进一具体地说，与加减法一样，有理数的概念也存在多种不同的解释，如部分与整体的关系，商，算子或函数，度量，等等；但是，正如人们所已普遍认识到了的，就有理言，关键恰又在于不应停留于某种特定的解释，更不能将各种解释看成互不相立的；而应对有理数的各种解释（或者说，相应的心理建构）很好地加以整合将所有这些解释都看成同一概念的不同侧面，并能根据情况与需要在这些解释之间灵活地作出必要的转换造成一定的学习困难、甚至是严重的概念错误。例如，如果局限于上述的其次，我们应注意不同表述形式之间的相互补这也正是新一轮数学课程改革的一个重要特征，即突出强调学生的动手实作交流是学生学习数学的重要方式……教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学括感性经验）构成了数学认识活动的重要基础，合作交流显然应被看成学习活动社会性质的直接体现和必然要求，因此，从这样的角度去分析，上述的主张就是完全合理的；然而，需要强调的是，除去对于各种学习方式与表述形式的直接肯定以外，我们应更加重视在不同学习方式或表述形式之间所存在的重要联系与必要互补。这正如美国学者莱许(图像，书面语言、符号语言、现实情景等──同样也发挥了十分重要的作用。再次，我们应清楚地看到解题方法的多样性及学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应当尊重学生的想法，化的同时，我们还应明确肯定思维优化的必要性，这就是说，我们不应停留于对于法在数量上的片面追求，而应通过多种方法的比较帮助学生学会鉴别什么是较好的方法，包括如何依据不同的情况灵活地去应用各种不同的方法。显然，后者事实上也就从识的深化不断发展起新的数学直觉。在笔者看来，我们应当从这样的角度去理解《课和现象数量方面的某种敏感性，包括能对数的相对大小作出迅速、直接的判断，以及根据需要作出迅速的估算。当然，作为问题的另牢固地掌握相应的数学基本知识与基本技能的重要性，特别是，在需要的时候能对客物和现象的数量方面作出准确的刻画和计算，并能对运算的合理性作出适当的说明──显跑不远、走不远，更不能腾飞……可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做，用不着天才人物想出许个基本事实，即一种重要算法的形成往往就标志着数学的重要进