考点15 等腰三角形（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

考点15等腰三角形

在命题趋势

等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型

的“发源地”，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。而数学中考中，

等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形

可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也

是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。

在知识导图

性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

』线段垂直平分线的性质与判定定理

判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

也重申考向

一、等腰三角形的性质和判定

二、角平分线的性质定理与判定定理

三、线段垂直平分线的性质定理与判定定理

考向一：等腰三角形的性质和判定

一.等腰三角形的性质和判定

定义有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三边叫做底

轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴

性质等边对等角

三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。

判定①定义法；②等角对等边

等边三角形的性质和判定

定义三边长都相等的三角形是等边三角形

轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴

性质等边三角形三个角都相等，分别都等于60°

三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。

定义法

判定有两个角相等的等腰三角形是等边三角形

有两个角等于60°的三角形是等边三角形

方位技巧

>特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直

接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。

>等边三角形面积的求解方法：S正三角形=手边长2

a

共例引裾

1.等腰三角形的周长为15CM,其中一边长为3CT».则该等腰三角形的腰长为（）

A.3cmB.6cmC.3cm或6cvnD.3cni或9cvw

【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论.

【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3。〃，90n.而3+3<9,不满足三边关系定理,

因而应舍去.

当底边是3c7〃时，另两边长是6cvn,6cm.则该等腰三角形的底边为3c，〃.

故选：B.

2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则它的底角的大小是（）

A.25°B.20°C.25°或65°D.20°或70°

【分析】分两种情况讨论：①若/AV90。；②若/A>90°；先求出顶角N8AC,即可

求出底角的度数.

【解答】解：分两种情况讨论：

①若乙4<90°,如图I所示：

,：BDLAC,

.,.NA+/A8O=90°,

VZABD=50°,

AZA=90°-50°=40°,

,CAB^AC,

：.ZABC=ZC=1.(180°-40°)=70°；

2

②若NA>90°,如图2所示：

同①可得：NDAB=90°-50°=40°,

.'./8AC=180°-40°=140°,

'：AB=AC,

.../ABC=/C=2(180°-140°)=20°；

2

综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°,

故选：D.

3.如图，等腰AABC中，AB=AC=IO,BC=5,A8的垂直平分线QE交AB于点。，交

AC于点E,则△BEC的周长为（）

A.12B.8C.15D.13

【分析】根据线段垂电平分线上的点到线段两端点的距离相等可得4£=8E，然后求出^

8EC周长=AC+8C,再根据等腰三角形两腰相等可得AC=AB,代入数据计算即可得解.

【解答】解：是AB的垂直平分线，

：.AE^BE,

：.△8EC周长=8E+CE+8C=AE+CE+BC=AC+8C,

•.•腰长AB=10,

.•.AC=AB=10,

.,.△BEC周长=10+5=15.

故选：C.

4.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，BD=AD=AC,NBAC=108°,则ND4c的度

数为()

【分析】由BD—AD=AC得Nl=/2,N3=N4,由N4=/l+N2得，/3=/4=2/

1=2/2,由N8AC=108°得N2+/3=180°-NBAC=180°-108°=72°,即可求

出N2=24°,最后便可求出NZMC的度数.

【解答】解："：BD=AD^AC,

；.Nl=/2,/3=N4,

VZ4=Z1+Z2,

；.N3=N4=2/l=2/2,

：NBAC=108°,

...N2+N3=180°-NBAC=180°-108°=72°,

/.Z2+2Z2=72°,

；.N2=24°,

，N1=24°,

：.ZDAC=ZBAC-Zl=108°-24°=84°,

故选：D.

5.如图，在△ABC中，AB=AC,A£>平分/BAC,DE1AB,DFLAC,E,F分别为垂足,

则下列四个结论：(1)/£>EF=NOFE；(2)4E=AF；(3)4。平分/EOF；(4)AO垂

直平分EF,其中正确的有(1)(2)(3)(4).(填序号)

【分析】由在△A8C中，AB=AC,AC平分N8AC,DELAB,DFLAC,根据角平分线

的性质，可得DE=DF,即可证得NOEF=N£>FE：又由等角的余角相等，可得NAOE

=ZADF,然后由角平分线的性质，证得AE=A尸，又由等腰三角形的三线合一的性质,

证得A。垂直平分EF.

【解答】解：(1)；A£)平分NA4C,DE1AB,DFA.AC,

：.DE=DF,

:.NDEF=NDFE：正确；

(2)平分/8AC,DELAB,DFLAC,

：.ZADE^ZADF,ED=FD,

：.AE=AF,正确；

(3)'：AE=AF,A。平分/8AC,

•••AD垂直平分EF,故(4)正确；

由(2)知ED=FD,

.•.AO平分/EOF；

故(3)正确.

故答案为：(1)(2)(3)(4).

6.等腰△4BC中，AB=AC,点E为底边BC上一点，以点E为圆心，E4长为半径画弧,

交AB于点£>,测得/CAE=80°,NEAO=54°,则/。EB=31°.

【分析】根据角的和差关系结合等腰三角形的性质可求/C,根据三角形内角和定理可求

NAEC,根据等腰三角形的性质可求NAED,再根据平角的定义即可求解.

【解答】解：；NCAE=80°,ZEAD=54°,

，NCAB=134°,

"：AB=AC,

：.ZC=(180°-134°)4-2=23°,

：.ZAEC=\S0°-ZCAE-ZC=77°,

由作图可知EA^ED,

AZEDA=54°,

：.ZA£D=180°-54°X2=72°,

.,.ZDEB=I8O°-77°-72°=31°.

故答案为：31.

7.如图所示，在坐标平面中，4(0,4),C为x轴负半轴上一点，CO=3,AC=5,若点P

为y轴上一动点，以尸C为腰作等腰三角形△PCQ,已知NCPQ=2NACO=2a(a为定

值)，连接O。，则。。的最小值为—卷

y

【分析】延长AC至点M,连接尸M,使PM=AP,证出N"M=N4PQ,进而证明△CPA/

g△。孙(SAS),得到NB4Q=NM=NC4O,求出0c=ON,当0Q_L4V时，。。有

最小值，利用SZWW=SAAOC,求出OQ的最小值.

【解答】解：延长AC至点用，连接〃M,使PM=AP,

ZACO=a,

：.ZM=ZCAO=90°-a,

AZAPQ=\SO°-2a,

・•・ZAPM=2a=ZCPQ,

：.ZCPM=ZAPQf

文,：CP=PQ,PM=F4,

：.^CPM^^QPA(SAS),

.\ZPAQ=ZM=ZCAO,

：.OC=ON,

:.当OQLAN时，。。有最小值，

SAAON=SAAOC,

•0A=-^-ANOQ，

・•・3X4=50。，

解得0Q4，

；.。。的最小值是22,

5

故答案为：12.

5

8.如图，己知点P是射线MV上一动点，NAMN=35：当乙4为110°或72.5°或35°

时，ZVIMP是等腰三角形.

【分析】若△AMP为等腰三角形则有4M=AP、尸和MP=A尸三种情况，分别利

用等腰三角形的两底角相等可求得的值.

【解答】解：若为等腰三角形则有4M=A尸、尸和MP=A尸三种情况，

①当AM=AP时，则有NM=NAPM=35°,

AZA-110°；

②当AW=M尸时，则/A=NAPM=72.5°；

③当MP=4尸时，则NA=NAMN=35。，

综上可知NA为110°或72.5°或35°,

故答案为：110°或72.5°或35°.

9.在如图所示的3X3方格中，以AB为边,第三个顶点也在格点上的等腰三角形有4个.

【分析】根据等腰三角形的定义，分别以4、B为圆心，AB长为半径画弧，即可得出第

三个顶点的位置.

解：如图所示，

分别以4、B为圆心，A8长为半径画弧，则圆弧经过的格点。、C2、C3、C4,即为第三

个顶点的位置；

故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个.

故答案为：4

10.如图所示，ZAOB=60Q,C是8。延长线上的一点，OC=l2cm,动点尸从点C出发

沿CB以3cmis的速度移动，动点Q从点。出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、

。同时出发，用f（s）表示移动的时间，当。.或12s时,△尸。。是等腰三角形.

【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P

在C。的延长线上时.分别列式计算即可求.

【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，

设t时后△POQ是等腰三角形，

有OP^OC-CP=OQ,

即12-3t=2t,

解得，/=_1区：

5

（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s,

当△尸0。是等腰三角形时，：/POQ=6（T,

...△POQ是等边三角形，

：.OP^OQ,

即3/-12=2b

解得，片⑵

故答案为卫或12.

5

------►

Cp

11.如图，ZVIBC中，AB=BC,NC=60°,A£>是8c上的高，DE//AC,图中与8。（8。

除外）相等的线段共有（）条.

C.3D.4

【分析】由已知条件可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质可得BD=CQ,

再根据平行线的性质可得/BE£>=NEOB=6（F,可得△BE。是等边三角形，即可得出

BD=ED=BE,再根据8O=CQ,ED//AC,可得EQ是△A8C的中位线，即可得出

=AE,即可得出答案.

【解答】解：△ABC中，AB=BC,NC=60°,

...△ABC为等边三角形，

•.•4。是8c上的高，

:.BD=CD,

VDE//AC,

:.NBED=NEDB=60°,ZB=60°,

.♦.△BED是等边三角形，

:.BD=ED=BE,

,:BD=CD,ED//AC,

二EO是△ABC的中位线，

：.BE=AE,

：.BD=AE.

,图中与B£>（8。除外）相等的线段有C£>、DE、BE、AE共4条.

故选：D.

12.已知：如图，ZVIBC和△QEC都是等边三角形，。是8c延长线上一点，AO与BE相

交于点尸，AC.BE相交于点M,AD,CE相交于点N,则下列五个结论：①4O=BE；

@ZBMC=ZANC；③NAPM=60°；@AN=BM；⑤△<:”可是等边三角形.其中，正

确的有（）

E

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据先证明△8CE-△AC。，得出AD=BE,根据已知给出的条件即可得出答案;

【解答】解：’.♦△ABC和△OEC都是等边三角形，

；.4C=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

ZACB+ZACE^ZECD+ZACE,即NBCE=ZACD,

:.丛BCE9XACD(SAS),

.'.AD^BE,故选项①正确；

VZACB=ZACE=60°,由△BCE丝△ACQ得：ZCBE=ZCAD,

:"BMC=NANC,故选项②正确；

由△BC£'g/i4CO得：NCBE=NCAD,

是△AC£)的外角，

NACB=/CAO+/A£)C=ZCBE+ZADC=60a,

又NAPM是△尸8。的外角，

AZAPM^ZCBE+ZADC=Wa,故选项③正确；

在△ACN和△8CM中，

rZCAN=ZCBM

<AC=BC，

ZACN=ZBCM=60°

，/\ACN^/\BCM,

:.AN=BM,故选项④正确；

:.CM=CN,

.♦.△CMN为等腰三角形，•.•/MCN=60°,

.♦.△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；

故选：D.

13.如图，已知AB=AC,AC平分NBAC,NDEB=NEBC=60°,若BE=5,DE=2,则

BC=7.

A

【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出ABEM为等边三角形，得出

=BE=5,从而得出8N的长，进而求出答案.

【解答】解：延长EZ)交8c于M,延长AO交BC于M如图，

"：AB=AC,平分NB4C,

J.AN1BC,BN=CN,

；NEBC=NDEB=6Q°,

为等边三角形，

:.BM=EM=BE=5,NEMB=60°,

'：DE=2,

'：AN±BC,

：.ZDNM=90°,

；.NNDM=30°,

：.NM=^DM=^-,

22

：.BN=BM-MN=5-g=工，

22

：.BC=2BN=1.

14.如图，点。是等边△ABC内一点，ZAOB=llOQ,ZBOC=a.以0C为一边作等边

三角形0C£>,连接AC、AD.

(1)当a=150°时，试判断△A。。的形状，并说明理由；

(2)探究：当a为多少度时，△A0。是等腰三角形？

D

/llOd<\\

【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC丝△AOC,然后利用全等三角形的性质

可以求出NA。。的度数，由此即可判定△A。。的形状；

（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.

【解答】解：（1）•••△OCD是等边三角形，

：.OC^CD,

而△ABC是等边三角形，

：.BC^AC,

•.•乙4cB=NOCO=60°,

:.NBCO=NACD,

在△80C与△4OC中，

r0C=CD

「ZBC0=ZACD-

BC=AC

：.^BOC^/\ADC,

：.ZBOC^ZADC,

而NBOC=a=150°,ZODC=60",

AZADO^\500-60°=90°,

...△ADO是直角三角形；

（2）:设/CBO=/CAO=a,NABO=b,ZBAO^c,NCAO=d,

则a+b=60°,0+c=180°-110°=70°,c+d=60",

：.b-d=10",

（60°-a）-</=10°,

：.a+d=50°,

即ND4O=50°,

①要使AO=AO,需NAOD=NADO,

.•.190°-a=a-60°,

/.a=125°：

②要使0A=0。，需NOAD=NADO,

AHO0+800+60°+a=360°

.,.a=110°；

③要使。〃=4力，需/OAD=/AO。，

1100+50°+60°+a=360°,

...a=140°.

所以当a为110°、125°、140。时，三角形A。。是等腰三角形.

15.如图，在等腰△ABC中，AB^AC,过点A作BC的平行线交NA8C的角平分线于点

连接CD.

(1)求证：△ACO为等腰三角形；

(2)若/区4。=140°,求NACD的度数.

【分析】(1)利用平行线的性质得出N1=N3,进而利用等腰三角形的性质得出AC=AQ

即可；

(2)由(1)知N1=N2=N3,根据已知条件得到/1=N2=N3=2(180°-ZBAD)

2

=20°,根据等腰三角形的性质得到NAC8=N48C=40°,根据平行线的选择得到N

AZ)C+NACO=180°,于是得到结论.

【解答】(1)证明：0平分N48C,

/.Z1=Z2.

'：AD//BC,

.•.N2=N3.

；.Nl=/3.

：.AB=AD.

'：AB=AC,

：.AC=AD,

为等腰三角形；

(2)解：由(【)知，Z1=Z2=Z3,

；/&4。=140°,NR4O+Nl+N3=180°,

.\Z1=Z2=Z3=A(180°-ZBAD)=20°,

2

，N48C=40°,

NACB=/A8C=40°,

由(1)知，AD=AC,

：.ZACD=ZADC=ZBDC+Z3=ZBDC+20a,

'JAD//BC,

：.ZADC+ZBCD=]S0°,

.\40°+(ZBDC+200)+(NBDC+20°)=180",

：.ZBDC=50°,

，NAQC=70°,

：AC=AO,

16.如图，在△ABC中，AB=AC,。为CA延长线上一点，DE1,BC于点、E,交AB于点凡

若A尸=8尸.

求证：（1）△AOF是等腰三角形.

（2）DF=2EF.

【分析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得//）=/£＞出，根据等腰三角形的

判定即可证得结论；

（2）过A作AH1DE于H,由等腰三角形的性质可得DH=FH,根据全等三角形的判

定证得且△BFE,得到DH=FH=EF,即可求出DF=2EF.

【解答】证明：（I）：AB=AC,

：.ZB=ZC,

\'DELBC,

：.NB+NBFE=NC+ND=90°,

：.ND=/BFE,

,：Z13FE=ZDFA,

：.ZD^ZDFA,

：.AD=AF,

...△AOF是等腰三角形；

(2)过4作AH1.DETH,

■:DE1BC,

：.ZAHF=ZB£F=90°,

由(1)知，AD=AF,

：.DH=FH,

在△AF”和△8FE中，

'/AHF=NBEF

<ZAFH=ZBFE)

AF=BF

:.△AFHWXBFE(44S),

:.FH=EF,

：.DH=FH=EF,

:.DF=2EF.

考向二：角平分线的性质与判定

角平分线的性质定理与判定定理

性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

☆其中：

1.平行线的引入方法常见的有：

①直接给出的平行；②平行四边形及特殊平行四边形；③梯形的上下底边;

④辅助线作出的平行；⑤其他条件证明得到的平行；

2.当等腰△是结论时，常接着用等腰△的性质；

2.角平分线+，一等腰△；

（即“三线合一”的你应用，此类问题常和圆的性质结合考察）

3.见角平分线，作双垂f得全等或线段相等，亦可以用;?，

（作“JL”，即作“高”；有“高”想“面积”，进而拓展想“等积法”;

再往后还可延伸“平行线等积模型”、面积比=底边之比等）

其中，“得线段相等”是因为其性质定理；更深一步

的应用方向可以是：

①用于“等量代换”；②再证全等的条件；③将“双垂”

看作“双高线”，进而得两个△面积之间的关系；④当角

平分线多于1条时，可能要结合其判定定理证其他线也是8

角平分线

已见漏平分线「作对称

（即截长补短构全等）

5.圆中：由角平分线得角相等，进而推知1得4；

6.重要思想一倍半角模型:

与角平分线有关的问题，经常会出现“倍半角”关系，可利用“倍半角模型”解题。

勇例引凝

1.三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个

集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

A.三边高线的交点B.三条垂直平分线的交点

C.三边中线的交点D.三个角的平分线的交点

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，

根据角平分线的性质，集贸市场应建在NA、NB、NC的角平分线的交点处.

故选：D.

2.如图，在△ABC中，ZC=90°,AO平分/CAB,若A8=10,CD=3,则△ABO的面

积是（）

【分析】过点D作DEYAB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=

CD,再利用三角形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】解：如图，过点。作于E,

VZC=90°,AC平分/BAC,

：.DE=CD=3,

•'•△A8D的面积=*AB・DE=/x10X3=15-

故选：c.

3.如图，已知△ABC的面积为10,BP平分NABC,且APJ_BP于点P,则△BPC的面积

是（）

【分析】延长AP交8c于£根据已知条件证得8P也△E8P,根据全等三角形的性

质得至（MP=PE,得出SAABP=SAEBP,SAACP=SAECP,推出S&>BC△轴？

【解答】解：延长AP交BC于E,

"P平分NA5C,

，NABP=NEBP,

<AP_LBP,

:./APB=NEPB=90°,

在和△EBP中，

<ZABP=ZEBP

<BP=BP，

ZAPB=ZEPB

:•丛ABP"丛EBP(ASA),

：.AP=PE,

S^ABP=S&EBP,SAACP=SAECP,

.11

,•SAPBC=^SAABC节*10=5，

故选：c.

4.如图，ZBOP=ZAOP=\5°,PC//OB,PQ_LOB于Q,PC=4,则P。的长度为(

【分析】作PE_LOA于E,根据角平分线的性质可得PE=PD,根据平行线的性质可得/

4CP=/4。8=30°,由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得

PE,即可求得「D

【解答】解：作尸ELO4于E,

■:NAOP=NBOP,PDLOB,PELOA,

:.PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），

；NBOP=NAOP=15°,

：.ZAOB=30°,

；PC//OB,

：.ZACP=ZAOB=3Q°,

...在RtZkPCE中，PE=JLPC=JLX4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜

22

边的一半），

:.PD=PE=2,

故选:A.

A

ODB

5.如图：已知在△ABC中，NAC8=90°,BC=6,AC=8,CE为△ABC的角平分线，EF

A.mB.C.D.4

776

【分析】根据E尸〃AC,得至IJEF_LBC,过点E作EDLAC,易得：EF=ED,利用等积

法，求出EF的长度即可.

【解答】解：尸〃4C,

.,.ZEFB=ZACB=90°,

：.EF±BC,

过点E作EDJ_AC,交AC于点D,

为△48C的角平分线，

:.DE=EF,

,:S4ABe=S&AEdS«EB,即：^AC'BC=^AC'ED+^BC'EF=^CAC+BC>EF,

2222

；.6X8=(6+8)・EF,

故选：B.

6.如图，△4BC中，ZABC./FC4的角平分线8P、CP交于点P,延长54、BC,PMA.

BE于M,PNLBF于N,则下列结论：①AP平分NE4C；②/ABC+2NAPC=180°；

@ZBAC=2ZBPC；④S&PAC=S&MAP+S&NCP.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】过点尸作P。，4c于C,根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rl

根据全等三角形的性质得出NAPM=NAP。，判断②；根据三角形的

外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④.

【解答】解：①过点P作尸OLAC于Q,

平分NABC,PC平分NFC4,PMLBE,PN1BF,PDLAC,

：.PM=PN,PN=PD,

：.PM=PD,

■:PM工BE,PD1.AC,

平分/EAC,故①正确：

@'：PM1AB,PN1,BC,

：.ZABC+900+ZMPN+90°=360°,

:.NABC+NMPN=180°,

在Rt/^PAM和Rt△%/)中，

fPI=PD

IPA=PA'

Rt/\PAM^Rt/^PAD(HL),

：.ZAPM=ZAPD,

同理：Rt/^PCD出Rt/\PCN(HL),

:.NCPD=4CPN,

：.NMPN=2NAPC,

.•.NA8C+2/APC=180°,②正确；

③：以平分NC4E,8P平分NABC,

ZCAE^ZABC+ZACB^2ZPAM,ZPAM=1ZABC+ZAPB,

2

AZACB=2ZAPB,③正确；

④由②可知Rt△以M<RtZ\B4O(HL),RlAPCD^RtAPC?/(HL),

:・S〉APD=S〉MAP，SKPD=S〉NCP，

S^PAC=S^MAP+S/iNCP,故④正确,

7.如图，A、8两点分别在射线OM,ON上，点C在/yWON的内部，且AC=3C,CD1.

OM,CELON,垂足分别为。，E,且AO=BE.

(1)求证：OC平分NMCW：

(2)若4。=3,80=4,求4。的长.

【分析】(1)根据全等三角形的判定定理推出RtAADC^RtAfiEC,根据全等三角形的

性质得出CL>=CE,再得出答案即可；

(2)根据全等三角形的性质得出A£>=8E=3,根据全等三角形的判定定理推出RtAODC

^RtAOEC,放根据全等三角形的性质得出00=08,再求出答案即可.

【解答】(I)证明：；C£>_LOM,CELON,

：.ZADC=ZCEB=90°,

在RtAADC和RtABEC中，

[AC=BC,

1AD=BE'

ARtA4DC^RtABEC(HL),

：.CD^CE,

"."CD10M,CELON,

OC平分NMON；

(2)解：VRtAADC^RtABEC,AO=3,

：.BE=AD=3,

'：B0=4,

OE=08+8E=4+3=7,

,：CD10M,CELON,

.'.ZCDO=ZCEO=90°,

在RtADOC和RlAEOC中，

<foc=oc>

ICD=CE'

/•RtADOC^RtAEOC(HL),

：.OD=OE=1,

•.,AD=3,

二。4=0。+4。=7+3=10.

8.如图，点A,B,C三点在一直线上，在8c同侧作△BCQ、/\BCE,若BE,CE分别平

分NAB。，/BCD,过点B作/CBO的平分线交CE于点尸.

（1）已知NE=27°,求NO的度数；

（2）若BE〃CD,BD=8,求线段BE的长；

（3）在（2）的条件下，若BF=6,求线段CQ的长.

【分析】（1）由/E+NEBD=ND+NDCE,再由角平分线定义，三角形外角的性质，可

推出NO=2NE；

（2）由平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，可以推出

（3））延长8尸交QC于G,作BHLEC于H,由勾股定理可以求出CF的长，列出关于

FG的方程，求出FG,再由勾股定理求出CG的长，即可求出CD的长.

【解答】解：（1）BE,CE分别平分/ABC,ABCD,

:.NEBD=LNABD,NDCE=LNBCD,

22

■：NABD=ND+NDCB,

：.NEBD=LND+工NDCB,

22

NE+NEBD=ZD+ZDCE,

：.ZE+1,ZD+l.ZDCB^ZD+^ZBCD,

222

.•./O=2NE=54°；

(2)'：BE//DC,

:.ND=NEBD,/DCB=NEBA,NE=NDCE,

:NEBD=/EBA,ZDCE=ZBCE,

:.ND=NDCB,NE=NECB,

：.BE=BC,BD=BC,

:.BE=BD=8；

(3)延长B尸交/)C于G,作8，，EC于，，

；NEBD=L/ABD,NDBFh工NDBC,

22

；.NEBD+NDBF=LCZABD+ZDBC),

2

.•.NEBF=_1NA8C=90°,

2

•・•£F=7BE2+BF2=V82+62=101

■:EF・BH=BE・BF,

10BH=8X6,

；.BH=4.8,

•**CW=VBC2-BH2=V82-4.82=6-4,

F//=VBF2-BH2=V62-4.82=3.6,

:.CF=CH-FH=2.8,

,:BD=BC,BG平分NCBD,

：.BGLDC,

,:C©=Bd-BG2=CF2-FG2,

.\82-(6+FG)2=2.82-FG2,

，尸G=1.68,

；•CG=A/CF2-FG2=V2.82-l.682=2-24,

.•Q=2CG=4.48.

考向三：线段垂直平分线的性质与判定

线段垂直平分线的性质定理与判定定理

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。

判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。

I@

角平分线与线段垂直平分线常见辅助线的区别：

角平分线：过点作到边的垂线段；

线段垂直平分线：连接两个端点

1.下列说法正确的是（

A.三角形的角平分线将三角形的面积平分

B.三角形的外角一定大于它的任意一个内角

C.在△ABC中，若NA+NB=NC,则这个三角形是直角三角形

D.若线段AB垂直平分线段CZ）,则线段CZ）必垂直平分线段AB

【分析】利用线段垂直平分线的性质，三角形的中线，三角形的内角和定理，逐一判断

即可解答.

【解答】解：A、三角形的中线将三角形的面积平分，故A不符合题意；

B、三角形的外角一定大于它的任意一个与它不相邻的内角，故8不符合题意；

C、在△A8C中，若则这个三角形是直角三角形，故C符合题意；

D、若线段A8垂直平分线段CZ）,而线段CO不一定垂直平分线段A8,故。不符合题意;

故选：C.

2.如图，在△4BC中，DE是4B的垂直平分线，BC=10,AC=14,则△BCO的周长为（）

B

A.14B.24C.10D.26

【分析】依据OE是△A8C中48边的垂直平分线，即可得到再根据8c=10,

AC=14,即可得到△8CE的周长.

【解答】解：是△ABC中AB边的垂直平分线，

:.AD=BB,

又,.•BC=10,AC=14,

/.ABCD的周长=8C+CO+B。

=BC+CD+AED

=BC+4C

=24,

故选：B.

3.如图，ZBAC=\05°,AB=AC,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则N%。的度

数是（）

【分析】由AB=AC,N8AC=100°,可求得/8+/C的度数，又由MP,NQ分别垂直

平分AB,AC,根据线段垂直平分线的性质，可得AP=8P,AQ=CQ,继而求得N8AP+

NCA。的度数，则可求得答案.

【解答】解：：A8=AC,NBAC=105°,

.,.ZB+ZC=180o-NBAC=75°,

；MP,NQ分别垂直平分A5,AC,

：.AP=BP,AQ=CQ,

:./BAP=NB,/C4Q=/C,

:.NBAP+NCAQ=75°,

J.ZPAQ^ZBAC-（ZBAP+ZCAQ）=30°.

故选：C.

4.如图，锐角三角形ABC中，直线/为8c的垂直平分线，直线“为NABC的角平分线，

/与相相交于P点，若NA=65°,N4CP=22°,则NA8P的度数是（)

A

A.31°B.22°C.43°D.32°

【分析】连接PA,根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC,得至根

据角平分线的定义得到/P8C=NA8P,根据三角形内角和定理列式计算即可.

【解答】解：连接心,

•・,直线L为8C的垂直平分线，

:・PB=PC,

:,NPBC=/PCB,

•・•直线PM为ZABC的角平分线，

:・/PBC=NABP,

i^ZPBC=x,则NPC3=NA8P=JG

：.x+x+x+65Q+22°=180°,

解得，x=3I°,

故选：A.

5.如图，在RtZ\A8C中，D为BC上一点,DE上AB,S.AE=BE,若NCAO=4N8,BD

=6,则AC=()

A

B.3a

【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即

可得到结论.

【解答】解:'：DELAB,AE=BE,

，£)E垂直平分48,

:.AD=BD=6,

，NDAB=ZB,

,：/CAD=4/B,

ZCAB=5ZB,

VZC=90°,

.,.NC48+N8=90°,

：.ZB=ZDAB=15Q,

.•.NAOC=/B+N&W=30°,

.•.AC=X4O=3,

2

故选：A.

6.在平面直角坐标系xOy中，点A(5,5),点B(1,1),点C(7,1),若点P到点4、

B、C的距离相等，则点尸的坐标为(4,2).

【分析】根据线段垂直平分线的性质作出点P，根据坐标与图形性质求出点P的坐标.

【解答】解：:•点P到点A、B、C的距离相等，

...点P是线段A8、BC垂直平分线的交点，

故点P的坐标为(4,2),

故答案为：(4,2).

7.在平面直角坐标系xOy中，A,8为不重合的两个点，若点C到人B两点的距离相等，

则称点C是线段AB的“公正点”.特别地，当60。WNACBW180。时，称点C是线段

AB的“近公正点”.

(1)已知A(1,0),B(3,0),在点C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)

中，线段48的“公正点”为点C(2,0),点E(2,-2.3)；

(2)已知点M(0,3),作NOMN=60°,射线MN交x轴负半轴于点N.

①若点P在)，轴上，点P是线段MN的“公正点”，则点P的坐标是(0,-3)；

②若点Q(a,b)是线段MN的“近公正点”，直接写出h的取值范围是-3Wb<6.

【分析】(1)判断点C(2,0),£)(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)在直线x=2上即

可；

(2)①画出相应的图形，根据坐标转化为线段的长，再根据直角三角形的边角关系得出

答案即可；

②得出点Q的两个“临界值”，即〃的“临界值”即可.

【解答】解：(1)如图，A(1,0),B(3,0),线段A8的“公正点”在线段AB的中垂

线上.

即“公正点”在直线x=2的直线上，

在C(2,0),D(l,2),E(2,-2.3),F(0,4)中只有点C、点E在直线x=2上，

故答案为：点C(2,0),点E(2,-2.3)；

(2)①如图，作MN的中垂线交y轴的负半轴于尸1,

'：OM=3,NOMN=60°,

:.MN=2OM=6,ON=MOM=3愿，

在RtapQM中，MQ=^MN=3,ZOMN=GO0,

2

：.OP\^P\M-OM^6-3=3,

；.点Pi(0,-3),

故答案为：(0,-3)；

②如图，连接PM由对称性可知△MNP是正三角形，

此时，NMP1N=6O°,

△MNPi是关于MN的对称三角形尸2是正三角形，

此时P2点的纵坐标为6,

•.•点。(a,h)是线段MN的“近公正点”，

；.60°WNMQNW180。，

即点。在线段PP2上，

当点。在点P时，b--3,

当点。在点P2时，OE=6,即6=6,

二6的取值范围为-3W6W6,

故答案为：-39W6.

8.如图，RtZ\ABC中，ZACB=9Q°,力是48上一点，BD=BC,过点。作A8的垂线交

AC于点E,求证：8E垂直平分CD

【分析】证明RtZ\B£>EgRtZ\8CE,根据全等三角形的性质得到EO=EC,根据线段垂

直平分线的判定定理证明.

【解答】证明：,DELAB,

；.NACB=/8DE=90°,

在RtABDE和RtABCf中，

[BD=BC

IBE=BE'

.".RtABD£^RtABC£,

：.ED=EC,

\'ED=EC,BD=BC,

.♦.BE垂直平分CD.

t跟踪训练

0''*

1.（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱AOJ_BC,且顶

角NBAC=120°,则/C的大小为30°.

BDC

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到NB=NC=30°.

【解答】解：•.,A8=AC且NBAC=120°,

.•.ZB=ZC=A（1800-ABAC}=AX60°=30°.

22

故答案为：30°.

2.（2022•北京）如图，在△ABC中，A力平分NBAC,DELAB.若AC=2,DE^\,则S

A4CD=I

【分析】过。点作OH_LAC于H，如图，根据角平分线的性质得到。E=OH=1,然后

根据三角形面积公式计算.

【解答】解：过。点作DHLAC于H,如图，

平分/84C,DE1,AB,DHLAC,

:.DE=DH=1,

•*-S/\ACD—X2X1=1.

2

故答案为：1.

3.（2022•鄂尔多斯）如图，ZAOE=]5°,OE平分NAOB,OE〃OB交。4于点。，EC

-LOB,垂足为C若EC=2,则。。的长为（）

C.4D.4+2禽

【分析】过点E作Eb_LOA于点”，根据角平分线的性质可得E”=EC,再根据平行线

的性质可得NAOE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得CE的长度，再证

明OD=DE,即可求出OD的长.

【解答】解：过点E作于点如图所示：