重庆市万州某中学2023届高三年级上册1月质量检测数学试卷

万州二中2023年高2023届1月质量检测

数学试题

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

一、单选题

1.已知向量a=(L2),%=(0,1),则。一6=()

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,1)D.(-1,-1)

2.异面直线指的是()

A.两条不相交的直线B.两条不平行的直线

C.不同在某个平面内的两条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线

3.某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名

驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65),[65,70),

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如图所示的频率分布直方图.下列结论错误的

A.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5

B.这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5

C.这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为77.5

D.在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的概率为0.65

4.如图，在四棱锥P-A8CD中，AB=AD=\,其余的六条棱长均为2,则该四棱锥的体

积为()

B

A而口而「而「屈

6633

22

5.设双曲线C5■-方=1（“>0力>0）的左、右焦点分别为环，工，以工为圆心的圆恰好

与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段。心的中点，则双曲线C的离心率是（）

A.空B.&C.逑D.迪

333

6.过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧

面积是（）

A.12近兀B.16TTC.8乃D.10乃

7.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为

M,GH的中点为M下列结论正确的是（）

A.MV〃平面ABEB.MV〃平面A£）E

C.MN//平面BDHD.MV//平面CDE

38

8.已知正数x,y满足正而+际万=i'则孙的最小值是（）

二、多选题

9.函数/（x）的定义域为R,它的导函数y=_f（x）的部分图象如图所示，则下面结论正确的

A.在（1,2）上函数/（x）为增函数B.在（3,5）上函数为增函数

C.在（1,3）上函数“X）有极大值D.x=3是函数在区间［1,5］上的极小值点

10.（多选）如果函数f（x）在口,可上单调递增，对于任意的4电1aH%），下列

结论中正确的是()

/(A))-/(X)

a.2，uB.(5一&)[/(3)-/⑸]>。

%一七

D,♦(%)二〃/<0

c./(a)</(^)</(-^)<f(b)

不一々

11.己知正数x,九z满足2"=4>'=6：,则()

A.x=2yB.x<2y

C.x<3zD.y<3z

12.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件,

则下列结论正确的有（）

A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；8种

B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；C%+C；C9；种

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C'^-C1种

三、填空题

13.在锐角J1BC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若C=45J8=4石，sinB=半,

则°=

14.若随机变量X~N（0,l）,已知P（—l<X<l）=a,则P（X>1）=.

15.若不等式炉+2彳_1±/_3"对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.

16.在空间直角坐标系。-孙z上，有一个等边三角形ABC,其中点A在z轴上.已知该等边

三角形的边长为2,重心为G,点8,C在平面xOy上，若OG在z轴上的投影是z,则

|OG『=（用字母z表示）.

四、解答题

17.已知点4（5,-2）,8（-1,4）,。（3,3）,“是线段48的中点.

（1）求点M和前的坐标；

（2）若D是x轴上一点，且满足访//。看，求点。的坐标.

18.己知函数〃力=/+以+3.

（1）若“X）有一个零点为x=3,求a；

（2）若当xsR时，/（x）2a恒成立，求a的取值范围.

19.新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.该公司每年产

生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为

C（x）=^x2+10x（万元）.每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能

全部售完.

（I）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？

（II）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润.

20.已知正四棱柱A8CD-A/B/G。/的底面边长为2,侧棱长为4,E,尸分别为々G，AD

的中点.

（I）求证：BE平面CiFDi；

（II）求直线BE到平面CiFD1的距离.

21.已知椭圆C:£+g"=l(a>6>0)两个焦点分别为耳，心，离心率为正，且过点(2,四).

ab-2

(1)求椭圆C的标准方程；

TT

(2)P是椭圆C上的点，且鸟=三，求三角形耳尸鸟的面积.

22.已知函数/(司=W.

(1)若曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为T,求。的值；

万州二中2023年高2023届1月质量检测

数学试题参考答案

1.C

【详解】由题设，=2)-(0,1)=(1,1).

故选：C.

2.D

【详解】由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.

故选：D.

3.C

【详解】解：对于A：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值殁^=77.5,

故A正确.

对于B：[60,65),[65,70),[70,75)所对应的矩形的面积分别为0.05,0.1,0.2,其和为

0.35<0.5,而[75,80)对应的矩形面积为0.3,因此中位数的估计值为

535

75+0-~2-X5=77.5,故B正确.

0.3

对于C：平均数的估计值为

62.5x0.05+67.5xO.l+72.5x0.2+77.5x0.3+82.5x0.25+87.5x0.1=77,故C错误.

对于D：估计车速超过的概率为(0.06+0.05+0.02)x5=。.65,故D正确.

故选：C.

4.C

【详解】连接4C,8。，交点为E,如图所示:

AB=AD,CB=CD,且AC是公共边,

ABC^ADC,:.ZCAB=ZCAD,

易得AE哈AED,^AEB=ZAED=90°,BE=DE,

即3O_LAC,又PB=PD,:.BDLPE,

ACPE=E,AC,PEu平面%C,

平面PAC,又5£>u平面ABC。，

•••平面PAC1平面ABCD.

过点尸作PO1平面ABC。，垂足为O,连接08,

PA=PC,：.OA=OC,

OAOBu平面A3CD,/.PO1OA,POVOB,

由PA=PB,P。是公共边，.工POA^POB,

即有OA=O8=OC,

，A,8,C三点在以AC为直径的圆周上，

.•.ZABC=90。，AC=JC+22=6OA当,

：.PO=yJpA'-OA2=布=浮，

$ABCD=2SABC=2xlx2x—=2,

,,1ns1「而而

^P-ABCD=§XSABCDXPO=-X2X.

故选：c

5.A

【详解】由题意知：渐近线方程为由焦点鸟（。,）2

y=±?x,0,c=a2+〃，

a

以行为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，

则圆的半径，•等于圆心到切线的距离,

又该圆过线段。鸟的中点，故］=厂=6,

所以离心率为£=

a

故答案为：”.

3

6.B

【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD,

面积为16,故边长A8=AC=4,

即底面半径R=2,侧棱长为AC=4,

则圆柱的侧面积是S=2TCR-AC=16TT,

故选：B.

B

D

【解析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取M的中点。,连接ON,BO,

可以证明MM80,利用B0与平面ABE的关系可以判定MN与平面48E的关系，进而对选

择支A作出判定；根据MN与平面8CF的关系，利用面面平行的性质可以判定与平面

AOE的关系，进而对选择支B作出判定;利用线面平行的判定定理可以证明与平面BCE

的平行关系，进而判定C；利用在平面CDE尸的两侧，可以判定与平面CQE的关

系，进而对D作出判定.

【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取尸”的中点0,

连接0N,B0,

易知ON与8M平行且相等，，四边形。NMB为平行四边形，.•.MMB0,

：B。与平面ABE（即平面ABFE）相交，故与平面A8E相交，故A错误；

•:平面AO回平面BCEMNC平面BCF=M,：.MN与平面AOE相交，故B错误；

：B0u平面8。，尸,即80卜平面平面平面故C正确；

显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.

故选：C.

8.D

［详解］「=——+------,

x•y=xy(7x--+---2--y-)-y-----(--3-x--+---2--y-)xJ%+2y3x+2y

.八rcm।n—m3m-n

令x+2y="z,3x+2y=n,贝(jx=---,y=---,

3x8y3n6m7_13n6m75

xy=---------1-----------=------1---------->2A----------=一,

x+2y3x+2y2nin2V2mn22

当且仅当挤黑且屋石十西与X,即x=By当时，等号成立，

所以^之!，故孙有最小值?

故选：D.

9.AC

【解析】根据图象判断出/(x)的单调区间、极值(点).

【详解】由图象可知“X)在区间。,2)和(4,5)上/(x)>0,f(x)递增;在区间(2,4)上

/(x)<0,/(x)递减.

所以A选项正确，B选项错误.

在区间(1,3)上,〃力有极大值为/(2),C选项正确.

在区间［1,5］上，x=4是的极小值点，D选项错误.

故选：AC

10.AB

【详解】由函数单调性的定义，可知若函数f(x)在给定的区间上单调递增，则芭-与与

/&)-/(%)同号，由此可知，选项A,B正确，D错误；对于选项C,因为毛，巧的大

小关系无法判断，所以/(由)，/(9)的大小关系也无法判断，故C错误，

故选：AB.

11.ACD

【详解】因为正数x,九z满足2，=4、'=6二，

由2,=43所以x=2y,即A正确，B错；

由2、=6;两边同时取以2为底的对数，可得x=z-log26Vz/。8那二？％,即C正确;

由4,=6;两边同时取以4为底的对数，可得y=z-log46Vz•log_l43=3z,即D正确;

故选：ACD.

12.ACD

【详解】对于A,B,抽1件不合格品有C；种，再抽2件合格品有C短种，由分步计数乘法

原理知，

抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；8种，A正确，B不正确；

对于C,至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有种，2件是不合格品

的抽法有C<%种，

由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；C£+C；C9；种，C

正确；

对于D,至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有

种，

抽出3件全是合格品有Cl种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有（C：0c-《8）种，

D正确.

故选：ACD

13.5忘

【详解】由正弦定理可得，仁h=」c广，

sinBsinC

,•r475x—

…妁叫—4阻

sinB2V5

"I-

故答案为：5近.

14.

【详解】因为随机变量X服从正态分布X~N（0,l）,所以正态曲线关于x=0对称，

又因为P（—l<X<l）=a,所以=

故答案为：-（（-«）.

15.1<«<2##[1.2]

【详解】解：因为不等式丁+2X-12/一3”对任意实数x恒成立，

所以只需(Y+Zx-lLnNY-Sa,

X?+2x—1=(x+1)—22—2,

所以当％=-1时，(42+2元-1)=-2,

\fmin

所以/—3a4-2,解得14a42,

所以实数〃的取值范围是区。42.

故答案为：

4,,4

16.——3Z2##-3Z2+-

33

【详解】如图，设8c的中点为M,连接A",因为等边三角形A8C的重心为G,所以

GM=-AM,

3

设OG在z轴上的投影是ON,则ON=goA

又。G在z轴上的投影是z,所以|0A|=3z,该等边三角形的边长为2,

在RV04B中，|O8|=，4-9Z2,同理可得|OC|=J4-9Z?,

因为0G=g(0A+08+0C),

所以

\0G^=^(OA+OB+OC^=-(0^+Olf+0C2+2OAOB+2OAOC+2OCOB^

=-(9z2+4-9z2+4-9z2+0+0+2>/4-9z2->/4-9z2-4-9z2+4-9£^£

912X/4-9Z2-V4-9Z2J

故答案为：--3z2

17.(1)例(2,1),^=(-6,6):(2)(-3,0).

【详解】解：(1)4(5,-2),3(-1,4),知是线段48的中点，，加(2,1)

——>—>

AB=OB-=(-1,4)-(5,-2)=(-6,6)

(2)设。(x,0),贝I]访=(x+l,-4),C心=(-1,-2)，

BD^CM'.♦.(X+1).(_2)-(Y>(T)=0,解得x=—3,

.••点。的坐标是(—3,0).

18.(1)a=-4；(2)[-6,2].

【详解】解：(1)因为f(x)有一零点x=3,

所以32+ax3+3=0,

所以a=Y.

(2)因为当xeH时，f+以+3-aNO恒成立，

需△=/一4(3-。)40,即a。+4〃—12《0,

解得-6WaW2,

所以〃的取值范围是[-6,2].

19.(I)当年产量为200千件时，所获利润最大为3750万元；(II)当年产量为50千件时,

每千件药品的平均利润最大为30万元.

【解析】(I)根据题意可得利润y=-、(x-20())2+3750,根据二次函数性质即可求出最

大值；

(II)利用基本不等式可求出最大值.

【详解】（i）设所获利润为y万元,

则由题可得y=50X-(木d+10x)-250=-±x?+40x-250=-木(x-200)2+3750

(0<x<300),

当x=200时，％=3750,

所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3750万元;

11

（II）可知平均利润为一而X+40X-250_（X।250]“。工,'.空+*30，

xuox）Viox

当且仅当==空，即x=50时等号成立，

10x

所以当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元.

20.（I）证明见解析；（H）生叵.

17

【详解】解：（I）证明：取AjD,的中点G,分别连接AG,GE,

因为GE〃A与且GE=4用，AB//A4且AB=AB1,所以AB〃GE且AB=GE,

所以四边形A8EG为平行四边形，所以AG〃3E,

因为A尸//RG且AF=RG,所以四边形AFDG为平行四边形,

所以4G//。/，所以BE//D,F,

因为BE仁平面CIFDI,D、Fu平面C/FD/.

所以BEII平面GFD.

（II）因为BE〃平面CiFDi,

所以E到平面GF0的距离即为BE到平面GFD的距离，

设E到平面。尸功的距离为h,

因为C/£>/_L平面AiADD/fFRu平面4耳。『，所以，得FQ+4?=而

又VR-CRF=VF-CRE，

所以g・〃gG分FR=gx4x；CQ•GE,解得〃=辞,

所以8E到平面C/F。/的距离为士叵.

17

7

c

21.(1)—+—=1(2)空

843

叵e-=泛=也

(1)解：因为椭圆的离心为2,则a\a22,

所以4=’,即〃=»2,

a22

4942

又］+¥=1'即/+"=1'所以a』,**

22

所以椭圆C的标准方程为二+二=1：

8