2024-2025学年安徽省合肥168中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省合肥168中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<2},B={x|lnx<13A.{x|x<2} B.{x|x<3e}2.设a，b均为单位向量，则“|a−5b|=|5a+A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知数列{an}满足an+1(1−anA.2 B.−2 C.−1 D.14.已知实数a，b，c满足a<b<0<c，则下列不等式中成立的是(

)A.a+1b>b+1a B.2a+ba+2b5.已知2sinα+cosα=102，则tan2α=A.34 B.43 C.−36.10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从(1)到(10)依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为(

)A.(1)和(10) B.(4)和(5) C.(5)和(6) D.(4)和(6)7.设a=e0.1−1，b=111，A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.已知O为坐标原点，点P1(cos1,sin1)，P2(cos2,−sin2)，P3(cos3,sin3)A.|OP1|=|OP2| 9.三次函数f(x)=x3+ax+2叙述正确的是A.当a=1时，函数f(x)无极值点 B.函数f(x)的图象关于点(0,2)中心对称

C.过点(0,2)的切线有两条 D.当a<−3时，函数f(x)有3个零点10.已知f(x)=2sinx+2，对任意的x1∈[0,π2]，都存在x2∈[0,πA.3π4 B.4π7 C.6π7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.已知复数1+3i与3i在复平面内用向量OA和OB表示(其中i是虚数单位，O为坐标原点)，则OA与OB12.函数y=|2x−m|+m在(−∞,2]上的最大值为4，则m13.设a，b，c∈[0,1]，则M=|a−b|+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题13分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求角A；

(2)已知b=8，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，并求出△ABC的面积．

条件①：cosB=−23；条件②：a=7；条件③：AC边上中线的长为21．

(注：如果选择的条件不符合要求，第15.(本小题15分)

某地区上年度天然气价格为2.8元/m3，年用气量为am3.本年度计划将天然气单价下调到2.55元/m3至2.75元/m3之间.经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/m3，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比(比例系数为k).已知天然气的成本价为2.3元/m3．

(1)写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y(单位：元)关于实际单价x(单位：元/m3)的函数解析式；(收益16.(本小题15分)

已知函数f(x)=8x+a⋅2xa⋅4x(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．

(1)求a的值；

17.(本小题17分)

已知函数f(x)=x(2−lnx)

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)求函数f(x)在(e2,f(e2))处切线方程；

(3)若f(x)=m有两解x1，x18.(本小题17分)

(1)若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．

(2)①已知a1，a2，…，an，都是正数，求证：a1+a2+…+参考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.A

6.C

7.A

8.AC

9.ABD

10.AC

11.π612.(−∞,2]

13.3+14.解：(1)根据acosC+3asinC−b−c=0，由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0．

即sinAcosC+3sinAsinC−sin(A+C)−sinC=0，

所以3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0(sinC>0)，可得3sinA−cosA=1，即sin(A−π6)=12．

因为0<A<π，−π6<A−π6<5π6，所以A−π6=π6，可得A=π3；

(2)若选条件①cosB=−23，则cosB<−12，可得B>2π3，

此时A+B>π，与三角形内角和定理矛盾，不能构成三角形，故此种情况不符合题意．

若选条件②：a=7，

则在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，

即72=82+c2−16c⋅cosπ3，整理得c2−8c+15=0，解得c=315.解：(1)∵天然气价格为2.8元/m3，年用气量为am3，

又天然气单价下调到2.55元/m3至2.75元/m3之间，∴x∈[2.55,2.75]，

又用户期望天然气单价为2.4元/m3，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比(比例系数为k)．

且天然气的成本价为2.3元/m3，

∴y=(kx−2.4+a)(x−2.3)，x∈[2.55,2.75]；

(2)16.解：(1)f(x)=1a×2x+12x，

因为f(x)是奇函数，

所以f(−x)=−f(x)，

所以1a×12x+2x=−(1a×2x+12x)，

所以(1a+1)(2x+12x)=0恒成立，

所以1a+1=0,a=−1．

经验证，a=−1符合题意，故a=−1．

(2)因为f(x)=1217.(1)解：由题意可得f′(x)=1−lnx，x∈(0,+∞)，令f′(x)=0，x=e，

当x∈(0,e)时，f′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，

故f(x)在区间(0,e)内为增函数，在区间(e,+∞)为减函数；

(2)由(1)可得f′(e2)=1−lne2=−1，又f(e2)=0，

所以切线方程为：y−0=−(x−e2)，即x+y−e2=0；

(3)证明：先证x1+x2>2e，

由(1)可知：0<x1<e<x2<e2，

且f(x)在区间(e,+∞)为减函数，要证x1+x2>2e，即x2>2e−x1>e，

即证：f(x2)<f(2e−x1)⇔f(x1)<f(2e−x1)，

令g(x)=f(x)−f(2e−x)，x∈(0,e)，则g′(x)=2−lnx(2e−x)≥2−ln(x+2e−x2)2=0，

所以g(x)在区间(0,e)内单调递增，g(x)<g(e)=0，即f(x1)−f(2e−x1)<0，

即x118.解：(1)将20分成正整数x1，…，xn之和，即20=x1+…+xn，

假定乘积p=x1…xn已经最大．

若x1=1，则将x1与x2合并为一个数x1+x2=1+x2，其和不变，

乘积由x1x2=x2增加到1+x2，说明原来的p不是最大，不满足假设，故xi≥2，

同理xi≥2(i=1,2,…,n)，

将每个大于2的xi=2+xi−2拆成2，xi−2之和，和不变，

乘积2(xi−2)≤xi⇒xi≤4，

故所有的xi只能取2，3，4之一，且4=2×2=2+2，

所以将xi取2和3即可，

如果2的个数大于等于3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，

故在p中2的个数不超过2个，

可得20=2+3+3+3+3+3+3，最大乘积为36×2=1458；

(2)①证明：先证：ex−1≥x，x∈R，

令f(x)=ex−1−x，x∈R，

则f′(x)=ex−1−1，x∈R，

令