2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳一中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳一中高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={1,4,5}，B={x|x=2n+1,n∈Z}，则A∩B=(

)A.{1,5} B.{1,4,5} C.{4} D.{1}2.已知命题p：“∃x∈R，使得3x2−2|x|+5=0”，则命题p的否定是A.∃x∈R，使得3x2−2|x|+5≠0 B.∃x∉R，使得3x2−2|x|+5≠0

C.∀x∈R，3.a，b∈R，下列命题正确的是(

)A.若a>b，则a2>b2 B.c∈R，若a>b，则ac2>bc2

C.若−3a>−3b，则a<b4.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是(

)A.大于10g B.大于等于10g C.小于10g D.小于等于10g5.函数y=1x2+3A.(−∞,13] B.(−∞,13)6.已知函数f(x)=2x,x>0x+1,x<0，且f(a)+f(1)=0，则a等于(

)A.−3 B.−1 C.1 D.37.已知a>0，b>0，且a+1b=2，则4aA.92 B.2 C.9 D.8.设a、b是实数，定义：a⊙b=a2b+ma2−9a−4b+1(m∈R)，则满足不等式1⊙(2⊙(3⊙(…(19⊙20))≤1A.m≥4011 B.m≥4111 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知集合A={x|x2−2x=0}，则下列选项中说法正确的是A.⌀⊆A B.−2∈A C.{0,2}⊆A D.A⊆{y|y<3}10.下面选项中正确的有(

)A.命题“∃x≥2，x2≥4”的否定是“∃x<2，x2<4”

B.命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≥0”

C.“a>1”是“1a<1”的充要条件

11.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为M，则下列说法正确的是A.若M=⌀，则a<0且b2−4ac≤0

B.若aa′=bb′=cc′，则关于x的不等式a′x2+b′x+c′>0的解集也为M

C.若M={x|−1<x<2}，则关于x的不等式a(x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=x+1+1x−213.下列命题：①∀x∈R，x2+1>0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x∈Z，x3<1；14.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足p=6，a+b=8，则此三角形面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)若x∈R，试比较3x2+6x与4x2−2x+16的大小；

(2)已知1≤a+b≤416.(本小题15分)

一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．

(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？

(2)17.(本小题15分)

设y=mx2−mx−1.(m∈R)

(1)若命题：∃x∈R，y>0是假命题，求m的取值范围；

(2)若命题：∃−4<x<0，y≥(m+1)x18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x+1，二次函数g(x)满足：g(x+2)−g(x)=4x且g(1)=−4．

(1)求g(x)的解析式；

(2)若a>0，解关于x的不等式(a+1)x2−(a+4)x−3>g(x)−f(x)19.(本小题17分)

阅读：已知a、b∈(0,+∞)，a+b=1，求y=1a+2b的最小值．解法如下：y=1a+2b=(1a+2b)(a+b)=ba+2ab+3≥3+22，当且仅当ba=2ab，即a=2−1，b=2−2时取到等号，则y=1a+2b的最小值为3+22参考答案1.A

2.C

3.C

4.A

5.D

6.A

7.A

8.C

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.[−1,2)∪(2,+∞)

13.①④

14.415.解：(1)∵(3x2+6x)−(4x2−2x+16)=−x2+8x−16=−(x−4)2≤0，

∴3x2+6x≤4x2−2x+16；

(2)设4a−2b=m(a+b)+n(a−b)=(m+n)a+(m−n)b

则m+n=4m−n=−2，解得m=116.解：(1)设这所公寓的客户面积为x平方米，则地板面积为(220−x)平方米，

由题意可得：x<220−xx220−x≥10%，解得：2209≤x<110．

所以这所公寓的窗户面积至少为2209平方米．

(2)设窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，窗户和地板同时增加m平方米，

则xy−x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)17.解：(1)由题意可得，∀x∈R，y≤0是真命题，

即mx2−mx−1≤0在R上恒成立，

当m=0时，−1<0，符合题意；

当m≠0时，需满足m<0Δ=m2+4m≤0，解得−4≤m<0；

综上所述，m的取值范围为[−4,0]；

(2)由题意可得，存在x∈(−4,0)使得m≥−x−4x成立，

故只需m≥(−x−4x)min,x∈(−4,0)，

因为x∈(−4,0)，所以−x∈(0,4)，

则−x−4x18.解：(1)设二次函数g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

所以g(x+2)−g(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c−(ax2+bx+c)=4x，

即4ax+4a+2b=4x，故4a=44a+2b=0，

解得a=1b=−2，所以g(x)=x2−2x+c，

所以g(1)=1−2+c=−4，解得c=−3，

所以g(x)=x2−2x−3．

(2)因为(a+1)x2−(a+4)x−3>g(x)−f(x)，

所以ax2−(a+1)x+1>0，即(x−1)(ax−1)>0，

因为a>0，

①当1a<1，即a<0(舍)