2024-2025学年中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a,b∈R，那么log2a>log2bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.集合A=x∣y=lnx2−2x−3A.−∞,−1 B.−∞,−1∪3,6

C.3,+∞ 3.已知复数z满足z⋅z=5，则z−2+4i的最大值为(

)A.5 B.6 C.34.已知非零向量a,b满足3a=b，向量a在向量b方向上的投影向量是−39A.33 B.13 C.−5.设函数fx的定义域为R，且f−x+4+fx=2，fx+2=f−x，当x∈1,2A.−9 B.−6 C.6 D.96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是(

)A.82，73 B.80，73 C.82，67 D.80，677.已知sin40∘−θ=4cos5A.−π3 B.−π6 C.8.已知函数fx=x−22x+1A.−∞,−1∪3,+∞ B.−1,3

C.−∞,−3∪二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知实数a,b,c满足a<b<c<0，则下列结论正确的是(

)A.1a−c>1b−c B.ab<10.已知函数fx=asin3x−cos3x，且fA.a=±1

B.fx的图象关于点π4,0对称

C.将fx的图象向左移π12个单位，得到的图象关于y轴对称

D.当x∈−11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=4,BC=2，AA.异面直线BM与AC所成角的余弦值为7210

B.点T为长方形ABCD内一点，满足D1T//平面BMN时，D1T的最小值为755

C.三棱锥B−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若实数x,y满足1≤2x+3y≤2,3≤−x+y≤4，则x+y的取值范围是

．13.如图所示，在梯形ABCD中，AE=13AB,AD//BC,BC=3AD,CE与BD交于点O，若AO=xAD+yAB，则x−y=14.在四面体ABCD中，CD=3,AD⊥CD,BC⊥CD，且AD与BC所成的角为30∘.若四面体ABCD的体积为2，则它的外接球表面积的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z1(1)若z=z1z(2)在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB16.(本小题15分)在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且cosA+1=(1)求角A；(2)已知b=3,D为BC边上一点，且BD=2,∠BAC=∠ADC，求17.(本小题15分)如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点Q为PA的三等分点，满足PQ=1(1)设平面QCD与直线PB相交于点S，求证：QS//CD；(2)若AB=3,AD=2,∠DAB=60∘,PA=32，求直线18.(本小题17分)甲､乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为p，乙同学投篮的命中率为qp>q，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响．已知每次投篮甲､乙同时命中的概率为15，恰有一人命中的概率为(1)求p,q的值；(2)求甲､乙两人投篮总共命中两次的概率．19.(本小题17分)已知函数fx=a⋅3(1)求函数y=ℎe(2)当x∈m,n时，函数ℎfx与fx的值域相同，求参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.D

6.B

7.A

8.C

9.AD

10.BC

11.BD

12.−213.11114.73π−3215.(1)z=∴(2)依题意向量OA于是有OAOA∵∠AOB为OA与OB的夹角，∴∵∠AOB∈0,π，

16.(1)由正弦定理可得：cosA+1=∴cos由sinB=sinA+CcosA⋅∴cos∵sinC≠0可得：∴cosA=−12，(2)∵∠BAC=∠ADC,∠BCA=∠ACD，∴▵BAC与△ADC相似，满足：ACCD设CD=x，则有3解得：x=1,x=−3(舍去)，即：CD=1，∵∠ADC=∠BAC=2π在△ADC中，由余弦定理可得：cos2π即：−1解得：AD=1,AD=−2(舍去)，∴AD的长为1．

17.(1)证明：因为平面QCD与直线PB相交于点S，所以平面QCD∩平面PAB=QS，因为四边形ABCD为平行四边形，∴AB//CD，∵AB⊄平面QCD,CD⊂平面QCD,∴AB//平面QCD，∵AB⊂平面PAB，平面QCD∩平面PAB=QS,∴AB//QS，∵AB//CD,∴QS//CD，

(2)过点C作CH⊥AD于点H，∵PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为平面PAD∩平面ABCD=AD，且CH⊥AD，∴CH⊥平面PAD，连接QH,∴∠CQH是直线CQ与平面PAD所成的角，因为点Q为PA的三等分点，PA=3在Rt▵DCH中，CH=3⋅sin在▵ACD中，利用余弦定理可得：cos12在Rt△QAC中，QC=在Rt△QCH中，sin∠CQH=可得∠CQH=π即直线CQ与平面PAD所成的角等于π6

18.(1)设事件A：甲投篮命中，事件B：乙投篮命中，甲､乙投篮同时命中的事件为C，则C=AB，恰有一人命中的事件为D，则D=A由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以A与B相互独立，AB,APP(D)=P(可得：pq=解得：p=13q=(2)设Ai：甲投篮命中了i次；Bj：乙投篮命中了j次，PPPPPP设E：甲､乙两人投篮总共命中两次，则E=由于Ai与Bj相互独立，∴P=

19.(1)∵fx则f(−x)=f(x)，即19∴19a−13x−3−x=0∵ℎx∴y=ℎe令ex−6ex+2=0，则ex∴y=ℎex−2a(2)设当x∈m,n时，函数fx的值域为则函数ℎfx的

值域也为由(1)知fx当且仅当3x=3令p=fx，则p≥2∵ℎx=x所以当p∈s,t时