浙江省金兰教育合作组织2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

浙江省金兰教育合作组织2024学年第一学期期中考试高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集和补集的概念计算即可.【详解】∵集合，，∴，又全集，∴故选：D.2.下列说法正确的是（）A.， B.“且”是“”的充要条件C.， D.“”是“”的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的性质可判断A；根据充分条件与必要条件的概念可判断B，D；解方程可判断C.【详解】对于A，，，当x=−1时，取等号，故A错误；对于B，当且时，可得，充分性成立；当时，不一定有“且”，如，则“且”是“”的充分不必要条件，故B错误；对于C，由得，因为，所以，则不存在，使成立，故C错误；对于D，或，则当时不一定有，充分性不成立；当时，一定有，必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：D.3.已知集合，则的值为（）A.0 B.1C. D.1或【答案】B【解析】【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的为突破口，分类讨论求出的值.【详解】集合，两个集合中元素完全相同，由，则有，得，有，所以，由集合中元素的互异性，有，得，则有.故选：B.4.设函数，则（）A.奇函数，且在上单调递增 B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增 D.是偶函数，且在上单调递减【答案】A【解析】【分析】由奇偶性的定义和指数函数的单调性可得结论．【详解】函数的定义域为，，可得为奇函数，函数和在上都单调递增，可得单调递增，故选：A．5.下列函数中最小值为4的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A；当时，即可判断B；利用基本不等式可判断C；根据对勾函数的性质可判断D.【详解】对于A，为二次函数，其对称轴为，则时，取最小值3，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，故C正确；对于D，令，则，根据对勾函数的性质可知，当时，单调递增，则时，取最小值，故D错误.故选：C6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性及特值法可判定选项.【详解】令，则，则为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D；当时,，可排除A，从而B正确.故选：B.7.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】对于ABD：举反例分析判断；对于C：根据不等式的性质分析判断.【详解】对于选项A：若，则，故A错误；对于选项B：若满足，则，故B错误；对于选项C：若，则，即，故C正确；对于选项D：若满足，则，故D错误；故选：C.8.若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性和单调性得出取值情况，进而解不等式即可.【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，所以，当或时，；当时，.不等式可变形为，或，所以，或，解得或，即的取值范围是.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.少选得部分分，错选得0分.9.已知幂函数，则以下结论正确的是（）A.的定义域为 B.是减函数C.的值域为 D.是偶函数【答案】AC【解析】【分析】由幂函数的性质，判断的定义域值域单调性和奇偶性.【详解】幂函数，函数定义域为，A选项正确；由幂函数的性质可知，在上单调递增，值域为，B选项错误，C选项正确；函数定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误.故选：AC.10.已知集合，，则下列选项中正确的是（）A.集合有32个子集 B.C.中所含元素的个数为10个 D.【答案】ABC【解析】【分析】A选项由公式计算集合的子集个数；由定义列举集合B中的元素，判断选项BCD.【详解】集合中有5个元素，则集合有个子集，A选项正确；由，则，中所含元素的个数为10个，C选项正确；，，B选项正确，D选项错误.故选：ABC.11.下列说法正确的是（）A.函数在定义域内是减函数B.若，则函数的最大值为C.若不等式对一切实数恒成立，则D.若，，，则的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】对于A取反例否定；对于B、D运用基本不等式逐一判断即可；对于C分两种情况与判断否恒成立即可【详解】对于A：取显然，所以A不正确；对于B：∵，∴，，因为，当且仅当时取等号，当时取等号，所以所以，所以B正确；对于C：当时，恒成立；当时，则，∴.所以，故C正确；对于D：因为，，所以由，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BCD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的定义域为，则的定义域是__________.【答案】【解析】【分析】利用抽象函数定义域的解法求解即可.【详解】因为的定义域为，对于函数，需使，解得，即的定义域是，故答案为：13.计算__________.【答案】【解析】【分析】根据分数指数幂和指数运算可得.【详解】故答案为：14.设，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可.【详解】，，令又，，当且仅当时等号成立,,上单调递减，时，的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步器.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）直接利用集合的运算求解即可；（2）由，得，分两种情况讨论求的取值范围.【小问1详解】若，则，又，∴；∵或x>1，∴或.【小问2详解】若，则．当时，有，解得，符合题意；当，由得，解得综上，的取值范围为.16.已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若在上为增函数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，零点分段去绝对值，解不等式；（2）零点分段去绝对值，把表示成分段函数，利用在上为增函数，求的取值范围.【小问1详解】当时，，等价于或，解得.不等式的解集为.【小问2详解】，在上为增函数，且的图象是连续曲线，函数在上单调递增，符合题意；函数在上单调递增，则有，解得.所以的取值范围为.17.某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：辆）满足函数：（1）将利润（单位：元）表示为月产量（单位：辆）的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）【答案】（1）（2）当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为元.【解析】【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润=总收入-总成本即可得到答案；（2）分段函数，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出定义区间内的最值，比较即可得到答案．【小问1详解】由题可知总成本为，∴利润.【小问2详解】当，，∴当时，有最大值；当时，是减函数，∴.∴当时，有最大值，即当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为元.18.（1）已知，，且，求的最小值；（2）设，，若，求的最小值；（3）求函数的最大值.【答案】（1）4；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由题可将化简为，再利用基本不等式求解即可；（2）利用换元思想，原式可化为，再利用基本不等式即可；（3）由定义域可得，可先求在区间上的最大值，令，利用二次函数的性质求解，【详解】（1）因为，，且，

所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4．（2）设，，若，则，，当且仅当，即时等号成立，所以时，的最小值为；（3）函数有意义，则有，解得，即函数的定义域为，有，求函数的最大值，可先求在区间上的最大值，令，则，故，再令，则，结合二次函数的图象，当时，得有最大值，则时有最大值，从而时的最大值为.19.已知定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）设，若，对，有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用函数为奇函数且，求出的值得函数的解析式；（2）定义法判断并证明在上的单调性；（3）依题意有，分类讨论函数在定义区间内的最小值即可.【小问1详解】定义在R上的奇函数，有，