2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷1

5/72017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1）姓名___＿___填空题已知函数，则____________．A,B两点分别在抛物线和上，则的取值范围是__＿_＿____＿＿_.若，则的最大值为＿____＿__＿___.已知△ABC等腰直角三角形,其中∠C为直角，ＡC=ＢC=1，过点B作平面ＡBC的垂线DB,使得ＤB=１,在DA、DC上分别取点Ｅ、F，则△BEF周长的最小值为_＿______＿_＿＿．已知函数，对任意的，恒成立,则正实数x的取值范围为_＿____＿___＿_.已知向量满足，且，若为的夹角，则的值为_＿＿_____＿___.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为___＿_＿_____＿.将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为_＿____＿＿_＿＿_．解答题(本小题满分14分)在△ＡBC中，内角A，B,Ｃ对边的边长分别是a，b,c,向量，向量，且满足.(Ⅰ)求△ABC的内角C的值；（Ⅱ)若c=2，２ｓin2Ａ+siｎ(2B+Ｃ）=sｉnＣ,求△ＡBC的面积.(本小题满分14分）已知数列满足：．（1)求证:数列是等比数列,并求的通项公式;（２)若,且数列的前ｎ项和为，求证:.(本小题满分1４分）设.(e是自然对数的底数）（Ⅰ)若对一切恒成立,求a的取值范围；（Ⅱ)求证:．(本小题满分15分)设正数ｘ,y满足,求使恒成立的实数的最大值.（本小题满分１5分)已知椭圆及点，过点P作直线ｌ与椭圆Ｃ交于A、B两点，过A、B两点分别作Ｃ的切线交于点Ｑ.求点Q的轨迹方程;求△ＡBQ的面积的最小值.2０17年高中数学竞赛模拟试卷（１)答案【解析】.【解析】由于,则只需要考虑的范围.故的取值范围为.【解析】【解析】由题意可知，,且∠BDA与∠CDＡ之和为.如图，将侧面ＢＤA和侧面CＤＢ分别折起至面和，且与侧面ADC位于同一个平面上.则△BＥF周长的最小值即面上两点之间的线段长．由前面的分析可知,,由余弦定理可得,所以,△BEF周长的最小值为.【解析】为奇函数且为增函数等价于即即对任意的成立即,所以，即0<x＜２【解析】由得所以，又,所以，又，所以ｋ=2，所以的值为．【解析】这10个小球成棱锥形来放,第一层1个,第2层3个,第3层6个,即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上２倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为３,正四面体的高和棱所成角的余弦值为，故容器棱长的最小值为.【解析】法1：如果只有2个小球(1黑1白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；如果只有4个小球(2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为;如果只有6个小球(3黑3白）,则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；以此类推，可知将１0个小球（5个黑球和5个白球)排成一行,从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为;法２:直接从10个小球入手分类讨论.【解析】(Ⅰ)由题意,所以,.由正弦定理，可得.整理得.由余弦定理可得,,又，所以，……6分(Ⅱ)由可得,．整理得，.当时，，此时，.所以△ＡBC的面积为当时，上式即为，有正弦定理可得ｂ=2a，又,解之得，，,所以△ＡBC的面积为.综上所述,△ABC的面积为.ﻩ……14分【解析】(1）由已知得,，因为,所以,两边取对数得，即，故为以lｇ３为首项，2为公比的等比数列，即，即. ……5分法１:由两边取倒数得,所以，即, ……10分故，故.ﻩ……14分法2:,则.【解析】（Ⅰ)，令，则，由得x>0．所以h(ｘ）在上单调递增，ｈ(x)在(-1,0）单调递减.所以，由此得：.又x＝-１时,即为,此时a取任意值都成立.综上得:． ……8分(Ⅱ）.由(Ⅰ）知,当ａ=1时对一切恒成立，即（ｘ=0时取等号).取，得.即证得：．ﻩ……14分１2【解析】由正数x，y满足，知.令.不等式等价于,等价于，等价于等价于.因为,等号仅当，即时成立，所以,实数的最大值为.ﻩ……15分【解析】(1)设,则过Q，有;……①，有,……②故直线过点，