《2.3.2 双曲线的简单几何性质》导学案

《2.3.2双曲线的简单几何性质》导学案课题：2.3.2双曲线的简单几何性质班级：姓名：【学习目标】1、能说出双曲线的简单几何性质，像范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等，就像你能说出自己好朋友的特点一样清楚。2、会根据双曲线的标准方程求出它的几何性质，这就好比根据一个人的外貌特征能判断出他的一些习惯一样。3、能够运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题，就像用钥匙开锁一样自然。【重点和难点】重点：1、双曲线的几何性质，这是我们这节课要掌握的核心内容，就像一场比赛的关键得分点。2、双曲线的渐近线概念的理解和求法，这可是有点难度的地方哦，就像爬山时比较陡峭的那一段路。难点：1、渐近线概念的理解，这就像理解一种很抽象的艺术概念一样，需要多花点心思。2、运用双曲线的几何性质解决问题，就像把不同的拼图块组合成一幅完整的图，需要一些技巧。【创设情境】我给你们讲个真实的事儿啊。有一次我去一个建筑工地上参观，看到了那种高高的塔吊。你们看啊，塔吊的起重臂和平衡臂就有点像双曲线的形状。从远处看，它们好像无限延伸，但又不会相交，这就有点像双曲线的渐近线的感觉。那大家想一想，在数学里，双曲线是不是也有类似这种很神奇的性质呢？1、先回忆一下椭圆的几何性质有哪些，比如说范围、对称性、顶点之类的。这就像是复习一下之前走过的路，为探索双曲线的性质做准备。2、我们来看双曲线的标准方程＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1（a>0，b>0），大家猜猜看，这个方程能告诉我们双曲线的哪些几何信息呢？【合作探究】活动一：探究双曲线的范围1、对于双曲线方程＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1，我们来讨论一下x和y的取值范围。大家可以这样想，假如你要在一个坐标平面上找到这个双曲线的所有点，x和y能取哪些值呢？提示：从方程本身出发，比如对于x，当y＝0的时候，x是多少呢？当y取很大的值或者很小的值的时候，x又会怎样呢？2、总结一下双曲线的范围性质，就像把找到的宝藏整理到一个盒子里一样。活动二：探究双曲线的对称性1、大家看看双曲线的方程，想象一下把这个双曲线在坐标平面上进行一些变换。如果把x换成x，方程会怎样？把y换成y呢？同时把x换成x，y换成y呢？这就像给双曲线照镜子一样，看看它有没有什么特殊的对称关系。启发性问题：在我们的生活中，有哪些东西是具有对称性的呢？这种对称性和双曲线的对称性有什么相似之处或者不同之处呢？2、得出双曲线的对称性结论，并且和椭圆的对称性做个对比，看看有什么相同和不同的地方。活动三：探究双曲线的顶点1、在双曲线方程＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1中，当y＝0的时候，x的值是多少呢？这就是双曲线的顶点的横坐标哦。那顶点有几个呢？它们在双曲线的什么位置呢？提示：可以画个简单的草图，在草图上标记出可能的顶点位置。2、确定双曲线的顶点坐标，并且思考顶点对于描述双曲线形状有什么重要的意义。活动四：探究双曲线的渐近线1、这可是个有点难的部分哦。我们先从直观上感受一下渐近线。还是回到我们前面说的塔吊的例子，塔吊的起重臂和平衡臂虽然不会相交，但是好像有一个趋势朝着某个方向延伸。对于双曲线＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1，我们来试着找出这样的“趋势线”。方法：我们可以先令双曲线方程中的右边等于0，得到＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝0，然后解这个方程，看看得到的是什么？启发性问题：这个解出来的结果和双曲线的形状有什么内在的联系呢？为什么它会被叫做渐近线呢？2、总结渐近线的方程，并且理解渐近线对于描述双曲线的重要性。比如说，渐近线可以帮助我们更好地画出双曲线的大致形状，就像给画家的一个草图框架一样。活动五：探究双曲线的离心率1、我们知道椭圆有离心率，双曲线也有离心率哦。那双曲线的离心率e怎么定义呢？e＝＼frac{c}｛a}（c是双曲线的半焦距），那这个离心率能反映双曲线的什么特性呢？提示：可以从a、c的大小关系以及双曲线的形状变化来思考。2、讨论离心率的取值范围，并且思考当离心率变化的时候，双曲线的形状会发生怎样的变化。就像调整一个机器的参数，看看机器的运行状态会有什么不同。【典型例题】例1：求双曲线＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率。1、对于范围：按照我们之前探究的方法，从方程中分析x和y的取值范围。解答：对于x，因为＼frac{x^｛2}｝｛16}＝1＋＼frac{y^｛2}｝｛9}＼geq1，所以x≥4或者x≤4；对于y，可以取任意实数。2、对称性：根据双曲线方程的特点，判断关于x轴、y轴和原点的对称情况。解答：因为把x换成x，方程不变，把y换成y，方程也不变，同时把x换成x，y换成y方程还是不变，所以双曲线关于x轴、y轴和原点对称。3、顶点：当y＝0时，求出x的值，确定顶点坐标。解答：当y＝0时，＼frac{x^｛2}｝｛16}＝1，解得x＝±4，所以顶点坐标为(4,0)和(4,0)。4、渐近线：按照渐近线的求法，先令方程右边为0，然后求解。解答：令＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝0，即＼frac{y}｛x}＝＼pm＼frac{3}｛4}，所以渐近线方程为y＝±＼frac{3}｛4}x。5、离心率：先求出c的值（根据c^｛2}＝a^｛2}＋b^｛2}），然后计算离心率e。解答：因为a＝4，b＝3，所以c＝＼sqrt{16＋9}＝5，离心率e＝＼frac{c}｛a}＝＼frac{5}｛4}。例2：已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(1,3)，求双曲线的标准方程。1、分析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，所以我们可以设双曲线的方程为x^｛2}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝＼lambda（＼lambda＼neq0)。启发性问题：为什么可以这样设方程呢？这和渐近线方程有什么联系呢？2、求解：把点(1,3)代入所设方程，求出λ的值。解答：把(1,3)代入方程x^｛2}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝＼lambda，得到1＼frac{9}｛4}＝＼lambda，解得＼lambda＝＼frac{5}｛4}，所以双曲线的标准方程为＼frac{y^｛2}｝｛5}＼frac{4x^｛2}｝｛5}＝1。练习：课本上相关的练习题，大家认真做哦，就像运动员在赛场上认真比赛一样。【当堂反馈】1、双曲线＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1的渐近线方程是（）A.y＝±＼frac{3}｛4}xB.y＝±＼frac{4}｛3}xC.y＝±＼frac{9}｛16}xD.y＝±＼frac{16}｛9}x2、双曲线的离心率e＝2，实轴长为4，则双曲线的标准方程为（）A.＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛12}＝1B.＼frac{x^｛2}｝｛12}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝1C.以上都有可能D.无法确定3、已知双曲线＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝＼frac{1}｛2}x，则该双曲线的离心率为（）A.＼frac{＼sqrt{5}｝｛2}B.＼sqrt{5}C.＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}D.＼sqrt{3}4、双曲线的顶点坐标为(±3,0)，渐近线方程为y＝±＼frac{2}｛3}x，则双曲线的标准方程为（）A.＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝1B.＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1C.＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛4}＝1D.＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝15、求双曲线＼frac{x^｛2}｝｛25}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1的离心率、顶点坐标、渐近线方程。6、已知双曲线的离心率为＼sqrt{3}，虚轴长为8，求双曲线的标准方程。【课堂小结】1、我们今天学习了双曲线的哪些几何性质呢？就像回顾一次旅行的景点一样，把范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等性质都回忆一下。2、在探究这些性质的过程中，我们用到了哪些方法呢？是从方程出发进行分析，还是通过一些特殊的变换来得出结论的呢？3、对于双曲线的渐近线概念，大家现在是不是理解得更深刻了呢？它对我们研究双曲线的形状和方程有什么重要的意义呢？【课后作业】基础题：1、求双曲线＼frac{x^｛2}｝｛12}＼frac{y^｛2}｝｛3}＝1的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率。2、已知双曲线的渐近线方程为y＝±＼frac{1}｛3}x，且经过点(3,1)，求双曲线的标准方程。提高题：1、双曲线＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1（a>0，b>0）的离心率e＝＼frac{＼sqrt{5}｝｛2}，实轴长为4，求双曲线的焦点坐标。2、设双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2，离心率为＼sqrt{5}，求双曲线的方程以及渐近线方程。拓展提升：1、已知双曲线＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}