同步优化设计2024年高中数学第六章概率3.2离散型随机变量的方差课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

第六章概率§3离散型随机变量的均值与方差3.2离散型随机变量的方差课后篇巩固提升合格考达标练1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估计()A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较答案B解析∵DX甲>DX乙,∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=13,k=3,6,9,则DX等于(A.6 B.9 C.3 D.4答案A解析EX=3×13+6×13+9×13=6.DX=(3-6)2×13+(6-6)2×13.随机变量X的分布列如下:X-101Pa1b若EX=13,则DX的值是(A.19 B.29答案D解析由题设可得a+b=23,b-a=13⇒a=16则DX=-1-132×16+0-132×13+1-1324.已知随机变量X的取值为1,2,3,若P(X=3)=16,EX=53,则DX=(A.19 B.39答案C解析设P(X=1)=p,P(X=2)=q,所以EX=p+2q+3×16=16+p+q=1,②由①②得,p=12,q=1所以DX=12×1-532+13×2-532+16×3-535.已知随机变量ξ,η的分布列如下表所示,则()ξ123P111η123P111A.Eξ<Eη,Dξ<Dη B.Eξ<Eη,Dξ>DηC.Eξ<Eη,Dξ=Dη D.Eξ=Eη,Dξ=Dη答案C解析由题意得Eξ=1×13+2×12Dξ=1-1162×13+2-1162×12+3-1162×16=1736;Eη=1×1Dη=1-1362×16+2-1362×12+3-1362×所以Eξ<Eη,Dξ=Dη.6.已知随机变量X的分布列为X01xP11p若EX=2(1)求DX的值;(2)若Y=3X-2,求DY的值.解由12+13+p=1,又EX=0×12+1×13+16(1)DX=0-232×12+1-232×13+2-232(2)因为Y=3X-2,所以DY=D(3X-2)=9DX=5.7.有甲、乙两家单位都情愿聘用你做兼职员工,而你能获得如下信息:甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1依据工资待遇的差异状况,你情愿选择哪家单位?解依据月工资的分布列,可得EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400,DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1=40000;EX2=1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)2×0.1=160000.因为EX1=EX2,DX1<DX2,所以两家单位的工资的期望相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,我希望不同职位的工资差距小一些,可选择甲单位;假如我希望不同职位的工资差距大一些,可选择乙单位.(言之有理即可)8.甲、乙两人轮番射击,每人每次射击一次,先射中者获胜,射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为23,乙每次射击命中的概率为25,且每次射击互不影响,(1)求甲获胜的概率;(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望及方差.解(1)记甲第i次射中获胜为Ai(i=1,2,3),则A1,A2,A3彼此互斥,甲获胜的事务为A1+A2+A3,因为P(A1)=23P(A2)=13P(A3)=132×352×23=所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=23即甲获胜的概率为62(2)X全部可能的取值为1,2,3,则P(X=1)=23P(X=2)=13P(X=3)=132×352×1=125.所以X的分布列为X123P441所以X的数学期望EX=1×45+2×425X的方差DX=1-31252×45+2-31252×425+3-31252等级考提升练9.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,又已知EX=43,DX=29,则x1+x2A.53 B.73 C答案C解析∵EX=23x1+13x2=∴x2=4-2x1,DX=43-x12×23+43-x22×∵x1<x2,∴x1=1,x2=210.已知ξ的分布列为ξ-101P111则在下列式子①Eξ=-13;②Dξ=2327;③P(ξ=0)=13,正确的个数是A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析由题意,依据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得Eξ=(-1)×12+0×13+1×16=-13,所以①正确;Dξ=-1+132×12+0+132×13+1+132×16=59,所以②不正确;11.设0<p<1,随机变量ξ的分布列是ξ-101P11p则当p在(0,1)内渐渐增大时()A.Dξ增大 B.Dξ减小C.Dξ先增大后减小 D.Dξ先减小后增大答案A解析因为0<p<1,所以由随机变量ξ的分布列的性质得Eξ=(-1)×12+0×1-p2+1×p2=p2-12,Dξ=-12-p22×12+12-p22×1-p2+312.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满意Y=2X+1,则下列结果正确的有()A.q=0.1 B.EX=2,DX=1.4C.EX=2,DX=1.8 D.EY=5,DY=7.2答案ACD解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又EX=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,DX=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故B不正确,C正确;因为Y=2X+1,所以EY=2EX+1=5,DY=4DX=7.2,故D正确.13.(多选题)若随机变量X听从两点分布,其中P(X=0)=13,EX,DX分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(A.P(X=1)=EX B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.D(X)=4答案AB解析随机变量X听从两点分布,其中P(X=0)=13,所以P(X=1)=23,EX=0×13+1×23=23,DX=0-232×13+1-232×23=29,在A中,P(X=1)=EX,故A正确;在B中,E(3X+2)=3EX+2=3×23+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9DX=9×214.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=15,Eξ=1,则Dξ=.答案2解析设P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,则15+a+b=1,a+2b=1,解得a=35,b=15,15.变量ξ的分布列如下:ξ-101Pabc其中2b=a+c,若Eξ=13,则Dξ的值是.答案5解析∵2b=a+c,且a+b+c=3b=1,∴b=13,a+c=又Eξ=-a+c=13,∴a=16,c=故分布列为ξ-101P111∴Dξ=-1-132×16+0-132×13+1-13216.为了丰富学生的课余生活,促进校内文化建设,我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读竞赛决赛.决赛通过随机抽签方式确定出场依次.求:(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率;(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X,求X的均值和方差.解(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事务A,则P(A)=A所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为1(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=A2P(X=1)=4×P(X=2)=A4P(X=3)=A4P(X=4)=A随机变量X的分布列为X01234P14121因此,EX=0×13+1×415+2×15DX=13×0-432+415×1-432+15×2-432+215×3-432+115×4-新情境创新练17.依据以往的阅历,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率.解(1)由已知条件有P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是,EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,DY=(0-3)2×0.3+(2