2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.2.2第2课时组合的综合应用作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE第一章1.21.2.2第2课时【基础练习】1．某高校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．3种 B．6种C．9种 D．18种【答案】C2.(2024年四川模拟)从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（

）A．7200 B．2880 C．120 D．60【答案】B3．12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对依次不变，则不同调整方法的种数是()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)【答案】C4.(2024年开封模拟)某地实行高考改革，考生除参与语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为()A.6B.12C.19D.20【答案】C【解析】从六科中选考三科的选法有Ceq\o\al(3,6)种，其中不选物理、政治、历史中随意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有Ceq\o\al(3,6)－1＝19种.5．(2015年上海)在报名的3名男老师和6名女老师中，选取5人参与义务献血，要求男、女老师都有，则不同的选取方式的种数为________．(结果用数值表示)【答案】1206.(2024年常熟期中)某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路途共有

条．【答案】126【解析】要使路途最短，则只能向东或向北走，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段，从9个行走段中任取4个走纵线段，其余5个行走段走横线段，故共有C94=126种走法，即最短路途有126条.7．现有12件产品，其中5件一级品，4件二级品，3件三级品，从中取出4件使得：(1)至少1件一级品，共几种取法？(2)至多2件一级品，共几种取法？(3)不都是一级品，共几种取法？(4)都不是一级品，共几种取法？【解析】(1)Ceq\o\al(4,12)－Ceq\o\al(4,7)＝460(种)．(2)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,7)＝420(种)．(3)解除都是一级品的，所以有Ceq\o\al(4,12)－Ceq\o\al(4,5)＝490(种)．(4)都不是一级品，则只能从其余7件中选取，有Ceq\o\al(4,7)＝35(种)．8．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中随意两个偶数不相邻的七位数有几个？【解析】(1)分步完成，第一步在4个偶数中取3个，可有Ceq\o\al(3,4)种状况；其次步在5个奇数中取4个，可有Ceq\o\al(4,5)种状况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有Aeq\o\al(7,7)种状况，所以符合题意的七位数有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(7,7)＝100800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝14400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝5760(个)．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空中，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝28800(个)．【实力提升】9．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位挚友，每位挚友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种 B．10种C．18种 D．20种【答案】B【解析】分两类：第一类，剩余的一本是画册，则赠送方法有Ceq\o\al(1,4)种；其次类，剩余的一本是集邮册，则赠送方法有Ceq\o\al(2,4)种，因此共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10种不同的赠送方法．10.(2024年马鞍山模拟)某学校有5位老师参与某师范高校组织的暑期骨干老师培训，现有5个培训项目，每位老师可随意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位老师中的任何一位老师选择的状况数为()A.5400B.3000C.1500D.150【答案】C【解析】第一步：从5个培训项目中选取3个，共Ceq\o\al(3,5)种状况；其次步：5位老师分成两类：①选择选出的3个培训项目的老师人数分别为1人，1人，3人，共eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))种状况；②选择选出的3个培训项目的老师人数分别为1人，2人，2人，共eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))种状况.故选择状况数为Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)＝1500(种).11.(2024年浙江模拟)现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）【答案】336【解析】若不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有A44种排法，再支配空盒，有C52A22种方法;若红球与黄球相邻，则4个小球有A33A22种排法，再支配空盒，有C42A22种方法.所以所求方法种数为A44C52A22-A33A22C42A22=336.12．如下图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？【解析】(1)可分三类：第一类，C1，C2，C3，C4，C5，C6中取三点，可构成Ceq\o\al(3,6)个三角形；其次类，C1，C2，C3，C4，C5，C6中取两点，D1，D2，D3，D4中取一点，可构成Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)个三角形；第三类，C1，C2，C3，C4，C5，C6中取一点，D1，D2，D3，D4中取两点，可构成Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)个三角形．∴共有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq