高等数学教程　上册　第4版 习题及答案 P225 第9章 微分方程

PAGE299PAGE34第九章微分方程习题9.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：(1)(2)(3)(4)解:方程（1）是二阶非线性微分方程。方程（2）是三阶线性微分方程。方程（3）是二阶线性微分方程。方程（4）是一阶非线性微分方程。2.检验下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：(1)(2)(3)(4)解：（1），则有，即满足方程，所以是方程的解。（2），，，则有，既满足方程，所以是方程的解。（3）,，，则即函数不满足方程，所以，不是方程的解。（4），，即函数满足方程，所以函数是方程的解。3.设曲线在点处的切线的斜率为，试建立该曲线所满足的微分方程。解：设该曲线的方程为，则曲线在点处的切线的斜率为，由题意该曲线所满足的微分方程为用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压对于温度的变化率与气压成正比,与温度的平方成反比。解：习题9.21.求下列微分方程的通解：(1)(2)(3)解：（1）该方程是可分离变量的方程，分离变量有方程两边积分有，有，该方程的通解为（2）该方程是可分离变量的方程，分离变量有方程两边积分有，有，该方程的通解为（3）该方程是可分离变量的方程，分离变量有方程两边积分有，有，该方程的通解为2.求下列微分方程的特解：(1)(2)解：(1)该方程是可分离变量的方程，分离变量有方程两边积分有，有，该方程的通解为,又,代入通解中有,得,所以,该方程的特解为(2)该方程是可分离变量的方程，分离变量有方程两边积分有，有该方程的通解为,又,代入通解中有,得,所以,该方程的特解为.3.设曲线过点,且它任意一点的切线的斜率等于横坐标的两倍,求这曲线的方程。解:设该曲线的方程为，则曲线在点处的切线的斜率为，由题意该曲线所满足的微分方程为由,方程两边取不不定积分,存在常数C,使得,再由,得,所以,所求曲线方程为4.求下列微分方程的通解或特解：(1)(2)(3)(4)解:（1）该方程变形为这是齐次方程，令，则，则原方程变为即为分离变量得，两边积分有即，还原变量得，原方程的通解为（2）该方程变形为这是齐次方程，令，则，则原方程变为即为，两边积分有即，还原变量得原方程的通解为（3）该方程变形为这是齐次方程，令，则，则原方程变为即，两边积分有即，还原变量得原方程的通解为，即（4）该方程变形为这是齐次方程，令，则，则原方程变为即为分离变量得两边积分有即，还原变量得原方程的通解为由，有，得，所求原方程的特解为5.求下列微分方程的通解：(1)(2)(3)(4)解：（1）该方程是一阶线性微分方程，其中，由一阶线性方程通解公式，有（2）该方程是一阶线性微分方程，其中，由一阶线性方程通解公式，有（3）该方程是一阶线性微分方程，其中，由一阶线性方程通解公式，有(4)该方程不是以为未知函数的一阶线性方程，方程变形为，即，这是以为自变量，未知函数的一阶线性方程，其中，它的通解为6.设有连接和的上凸曲线弧，是上任意一点，若曲线弧与直线所围成的面积为，试求曲线弧的方程。解:设曲线方程为，由题意有，，对上述积分方程，两边求导得当时，有这是一阶线性微分方程，所以有由，有，所以，所求曲线方程为求满足方程的连续函数。解：对方程两边求导得，此方程为一阶线性微分方程，它的通解为由，有，习题9.31.求下列微分方程的通解:(1)(2)(3)(4)（5）（6）解：（1）方程的特征方程为，特征根是方程的通解为（2）方程的特征方程为，特征根是方程的通解为(3)方程的特征方程为，特征根是方程的通解为（4）方程的特征方程为，特征根是方程的通解为（5）方程的特征方程为，特征根是方程的通解为（6）方程的特征方程为，特征根是方程的通解为2.求下列微分方程的特解:（1）（2）（3）（4）解：（1）先求方程的通解。方程的特征方程为，特征根是方程的通解为由初始条件，有，解得，所以方程的特解为（2）方程的特征方程为，特征根是方程的通解为由初始条件，有，解得，所以方程的特解为（3）方程的特征方程为，特征根是方程的通解为由初始条件，有，所以方程的特解为（4）方程的特征方程为，特征根是方程的通解为由初始条件，有，即，所以方程的特解为3.求下列微分方程的通解:(1)(2)(3)(4)（5）解：（1）先求对应的齐次方程的通解。特征方程是，特征根是齐次方程的通解为再求方程的一个特解。设该方程的特解为，代入方程后有再设，代入上式有比较两边幂的系数，有解得，所以，该方程一个特解，方程的通解为（2）先求对应的齐次方程的通解。特征方程是，特征根是齐次方程的通解为再求方程的一个特解。设该方程的特解为，代入方程后有再设，代入上式有比较两边幂的系数，有解得，所以，该方程一个特解，方程的通解为(3)先求对应的齐次方程的通解。特征方程是，特征根是齐次方程的通解为再求方程的一个特解。设该方程的特解为，代入方程后有则，特解为，方程通解为(4)先求对应的齐次方程的通解。特征方程是，特征根是齐次方程的通解为再求方程的一个特解。设该方程的特解为，代入方程后有解得，该方程的特解为，方程的通解为（5）先求对应的齐次方程的通解。特征方程是，特征根是对应齐次方程的通解为再求方程的一个特解。先求的特解，设它的特解为，代入方程后有设，代入得，所以，的特解为的虚部即是方程的特解，所以，原方程的通解为4.求下列微分方程的特解:（1）（2）(3)(4)解：（1）先求该方程对应的齐次方程的通解。特征方程是，特征根是齐次方程的通解为易知该方程的一个特解为，所以，方程的通解为由初始条件，有，解得，所以，所求特解为（2）特征方程是，特征根是对应齐次方程的通解为再求方程的一个特解。设它的特解为，代入方程后有则有，所以方程的通解为再由初始条件，有，既，所以，所求特解为(3)特征方程是，特征根是齐次方程的通解为再求方程的一个特解。设它的特解为，代入方程后有则有，所以，方程的通解为再由初始条件，有，则有，所以，所求特解为。(4)特征方程是，特征根是对应齐次方程的通解为再求方程的一个特解。先求的特解，设它的特解为，代入方程后有解得，所以的特解的虚部即是方程的特解，所以，原方程的通解为再由初始条件，有解得，所以，原方程的通解为习题9.41.确定下列方程的阶：（1）(2)解：（1）因为，所以方程的阶为3。（2）因为，所以方程的阶为6。2.求下列一阶差分方程的通解和满足初值条件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）对应的齐次方程的通解为，为任意常数。设特解为，则，即。原差分方程通解为。(2)对应的齐次方程的通解为，为任意常数。设特解为，代入原方程比较系数得，解得原差分方程通解为。(3)原方程即为对应的齐次方程的通解为，为任意常数。做变量代换，代入原方程得消去，整理得设特解为，代入方程整理得，原差分方程特解。原差分方程通解为。（4）对应的齐次方程的通解为，为任意常数。做变量代换，代入原方程得消去，整理得设特解为，代入方程整理得比较系数，解得，即。原差分方程通解为。（5）原方程即为对应的齐次方程的通解为，为任意常数。设原方程的特解为设特解为，代入原方程比较系数得，解得原差分方程通解为。由初始条件，代入通解中，得，所求特解为（6）对应的齐次方程的通解为，为任意常数。设非齐次方程的特解为，代入原方程得消去，整理得则，代入方程有，即。得非齐次方程的特解为。又非齐次方程的特解为。原方程的一个特解为。原方程的通解为由初始条件，得，所求特解为（7）对应的齐次方程的通解为，为任意常数。原方程的一个特解为，代入原方程得整理得比较系数有解得，原方程的一个特解为，原方程的通解为由初始条件，得，所求特解为（8）先求解。对应的齐次方程的通解为，为任意常数。做变量代换，代入方程得消去，整理得设该方程的特解为，代入上式有，原方程的一个特解为，取其虚部得原方程的一个特解，原方程的通解为由初始条件，得，所求特解为3.设分别是下列差分方程的解，证明：是差分方程的解。证明：因为分别是下列差分方程的解，所以，，，。满足差分方程，所以是该差分方程的解。习题9.51.在农业生产中，种植先于产出及产品出售一个适当的时期，时刻该产品的价格决定着生产者在下一时期愿意提供市场的产量，还决定着本期该产品的需求量，因此有（均为正的常数）假设每个时期中价格总是在市场售清的水平上，且当时，是初值价格，求（1）确定价格满足的差分方程，并求解该差分方程。（2）分析价格随时间变动的规律。解：（1）因为假设在每一个时期中价格总是确定在市场售清的水平上，即，因此可以得到即，于是，得到价格满足的差分方程为该方程的通解为（为任意常数）将当时，初值条件代入上式得记（静态均衡价格），于是，满足初值价格时的解为（2）（i）若初值价格，则由上式通解知这是“静态均衡”的情形。（ii）若，当时，即价格（振荡）稳定地趋于均衡价格。当时，，即随着时间延续，价格将无限增大。当时，在时，价格在两个数值和上来回摆动。2.求的均衡解并分析其稳定性。解：差分方程的均衡解为方程的通解为。因为，所以差分方程的均衡解为不是稳定的。3.求的均衡解，并分析其稳定性。解：方程的均衡解为。的均衡解是稳定的充要条件是特征根均小于零，而该方程的特征根为，故的均衡解不是稳定的。综合习题9设方程的一个特解为,试确定的值,并求该方程的解。解:因为是方程的一个特解，所以，满足该方程。代入方程有则有，解得。原方程为对应的齐次方程为，特征方程是，特征根是，齐次方程的通解为原方程的通解为设连续函数满足方程，求。解：（1）（1）式两边求导，得（2）（2）式两边求导，得再由（1）和（2）的函数满足初值问题（3）方程（3）的特征根为，对应的齐次方程的通解为方程（3）的一个特解为，方程（3）的一个通解为由，代入上面式中，有，得，，所以，连续函数为3.证明：为方程的通解。（为任意常数）证明：，，，则即满足方程，故是该方程的解，又是二阶方程，含有两个独立常数，所以，它是方程的通解。设对任意,曲线上的点处的切线在轴上的截距等于,试求的一般表达式。解：曲线上的点处的切线为切线在轴上的截距为，由条件有方程两边同乘，有两边求导得满足的方程为整理得，，已知函数的图像在原点与曲线相切，并满足方程求函数。解：方程两边求导有即函数满足微分方程（1）由的图像在原点与曲线相切，得（2）方程（1）的特征方程为，特征根是，对应的齐次方程的通解设方程（1）的特解为，代入方程（1）有设，则，代入上式得比较等式两边有，解得，所以方程（1）的通解为由（2）有，，解得，所以6．证明:设是二阶线性非齐次方程的两个任意解,则是对应的齐次方程的解。解：是二阶线性非齐次方程的解，所以有（1）（2）（1）式（2）式有即有所以，是对应的齐次方程的解。7.设二阶可导,且,过曲线上任意一点作该曲线的切线及到轴的垂线,上述两直线与轴所围成的三角形的面积为,区间上以曲边的曲边梯形的面积为,已知,求。解：曲线在点的切线方程切线与轴的交点为，由于,从而，于是又由条件知（1）上式两边求导，并化简得令，则上式方程可化为