微积分 第3版 课件 6.1 定积分的概念与性质

6.1

定积分的概念与性质

同导数一样，我们仍然从几何和物理两个方面介绍定积分的背景问题，从中引出定积分的概念，然后介绍定积分的性质。第六章定积分及其应用所围成的平面图形.引例一求曲边梯形的面积曲边梯形是指由连续曲线x轴与两条直线一、定积分的背景和定义6.1.1定积分的概念用矩形面积之和近似取代曲边梯形面积思想:以直代曲应用极限的思想,分四步求面积A.(1)

划分(2)

近似长度为为高的小矩形,面积近似代替任意用分点(3)

求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值:(4)

取极限为了得到A的精确值,分割无限加细,趋近于零时,取极限,极限值就是曲边梯形面积即小区间的最大长度(库存量的瞬时变化率),

求该仓库在

时

引例二库存量问题设某仓库在时刻的边际库存量为

段上库存的变化总量.(3)求和(4)取极限库存量的精确值(2)近似(1)

划分任取

表示在时间

内的库存量变化设函数

f(x)在[a,b]上有界,定义6.1

把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为一点作乘积如果不论对[a,b](1)在[a,b]中任意插入若干个分点(2)在各小区间上任取(3)并作和(4)记被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.积分下限积分上限积分变量[a,b]称为积分区间也不论在小区间上点关于定积分概念的两条说明：

而与积分变量的字母无关.2.定积分是数值,仅与被积函数及积分区间有关,1.如果

f(x)在[a,b]上的定积分存在,则称

f(x)在[a,b]上可积,否则,称

f(x)在[a,b]上不可积.连续函数一定可积.定积分的存在定理取

.解例6.1用定义计算.显然，在

[0,1]上连续,

在

[0,1]上可积.因而把区间[0,1]等分,则第

i个分点为,于是二、定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值几何意义取负号.它是介于x轴、函数

f(x)的图形及两条直线

x=a,x=b之间的各部分面积的代数和.在

x轴上方的面积取正号;在

x轴下方的面积例6.2

计算解例6.3

求解oxyP1363(2)利用定积分的几何意义求：解oxy

设f(x)连续，由定积分的几何意义得到下面的结论：(2)如果

f(x)是

[-a,a]上的奇函数，则；(3)如果

f(x)是

[-a,a]上的偶函数，则；(1)；4.如果f(x)是以T为周期的连续函数,则例6.4

计算解区间

[-1,1]关于原点对称，函数

是连续的奇函数，所以(2)6.1.2定积分的性质设函数f(x)在区间

上可积，规定:性质6.1

线性性质性质

6.2

区间可加性无论

a,b,c

的相对位置如何,上式总成立.设

则无论

a,b,c

的相对位置如何,上式总成立.例

若则性质6.3

保号性则有如果在区间[a,b]上证因即得令又因推论6.1

保序性

如果在区间[a,b]上则

推论6.2证即解因于是例

比较积分值

和

的大小.性质

6.4

定积分的估值定理证

因设

M及m分别是函数

在区间[a,b]上的最大值与最小值,则

即由推论6.1(保序性)解

设例6.6

估计定积分

的值的范围.故因性质6.5

定积分中值定理则在积分区间上至少存在一个点如果函数在闭区间上连续,积分中值公式

使得

证使得由闭区间上连续函数的介值定理知,上至少存在一个点在区间[a,b]所以在区间[a,b]上至少存在一点使得以区间[a,b]为底边,以曲