上海市静安区新中高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

新中高级中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________一、填空题（共10题，每题4分，共40分）1．已知m//α，n⊂α，则直线m、n的位置关系为.（填平行、相交、异面）2.已知a向量=-m，6，33.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,F是DC的中点,设AA用a、b、c4.已知向量a=1，-1，05．如图，已知长方体ABCD-A1B则点A1到棱BC的距离是6．已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的高为.7．已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为.8．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为.9．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8液面恰好过AC，BC，A1C10．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，若13AB=12AD=EF，△ADE和△BCF都是正三角形，所成角的余弦值为.

二、单选题（共3题，每题4分，共12分）11．已知空间向量a=2，1，0，b=A．12b B．12a C．12．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（

）A．23 B．23 C．34 D13．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则下列说法中不正确的是（

）

若D1Q//平面A1PDB．不存在Q点，使得D1Q⊥C．当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥D．若D1Q=62三、解答题（共4题，共48分）14．（本题满分8分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C圆柱的体积是2π，底面直径与圆柱的高相等．（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱ABC-A15．（本题满分8分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C点G在CD上，且CG=14CD．（1）求EF与C（2）求点E到平面AB1C16．（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，且PB=6点O、Q分别为棱CD、PB的中点，且（1）证明：OQ//平面PAD；（2）求二面角P-AD-Q的大小.17．（本题满分20分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E点O，F分别为BE，DE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A

（1）求证：BE⊥平面A1OC；（2）求直线A1（3）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP//平面A1新中高级中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷解析学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________一、填空题（共10题，每题4分，共40分）1．已知m//α，n⊂α，则直线m、n的位置关系为平行或异面.（填平行、相交、异面）1．平行或异面【分析】利用线面平行的定义直接判断即可.【详解】由m//α，得直线m与平面α无公共点，而n⊂α，因此直线m,n没有公共点，所以直线m、n的位置关系为平行或异面.故答案为：平行或异面.2.已知a向量=-m，6，33.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,F是DC的中点,设AA用a、b、c表示A1F=-4.已知向量a=1，-1，0，b=5．如图，已知长方体ABCD-A1B则点A1到棱BC的距离是5cm5．5【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案.【详解】连结A1B，如图：在长方体ABCD-A1BA1B⊂平面ABB1A1，所以A1在矩形ABB1A1中，A6．已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的高为6．62【分析】设圆锥的母线为l，高为h，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长求出l可得.【详解】设圆锥的母线为l，高为h，底面半径r=3，扇形的半径为l.由已知可得AB的长为2πr=6π，又∠AOB=2π3所以圆锥的高h=l2-r7．已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为.7．423【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积【详解】设底面正方形两条对角线相交于O点，由题可得，PO⊥底面ABCD，在Rt△AOP中,∵AO=2AC=22，AP=2∴PO=AP2故VP-ABCD=13×SABCD公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用；等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.8．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为.8．16π求得结果.【详解】由题，△ABC为等腰直角三角形，作CO⊥AB于点O，如图，则△ABC绕着直径AB所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥AO和BO，由半径为2可得圆锥底面圆半径为CO=2，圆锥的高为2，则圆锥AO的体积为V1半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为V2因此剩余部分所形成的几何体的体积为V=V2-29．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8液面恰好过AC，BC，A1C9．6【分析】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案．【详解】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设△ABC的面积为S，则S梯形＝34S，水的体积V水＝34S×AA1＝6S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh＝故h＝6.【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．10．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，若13AB=12G为AD的中点，则异面直线GE与CF所成角的余弦值为.36【分析】取BC中点M，连接FM，GM，易证AD⊥平面EFMG再由等边三角形可知四边形EFMG为等腰梯形，高为2，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值.【详解】如图所示，设EF=1，取BC中点M，连接FM，GM，则GM//AB，又∵EF//AB，∴EF//GM，又∵△ADE为正三角形，G为AD的中点，∴AD⊥EG，∵GM∩EG=G，且GM，EG⊂平面EFMG，∴AD⊥平面EFMG，易知△ADE≅△BCF，则EG=FM=3，∴四边形EFMG为等腰梯形，高为2，在平面EFMG内，过点G作GM以点G为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则G0,0,0，EC-1,3,0，F0,2,2，即GE=即异面直线GE与CF的夹角余弦值为36，故答案为：3二、单选题（共3题，每题4分，共12分）11．已知空间向量a=2，1，0，b=A．12b B．12a C．11．C【分析】根据空间向量的坐标运算求a⋅b,【详解】因为a=2，1，b=12+02+-1如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（

）A．23 B．23 C．34 12．B【分析】设球的半径为R，根据球、圆柱的体积公式计算可得.【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以球的体积V球圆柱的体积V圆柱=πR2×2R=2πR如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CQ为正方形BB1C1若D1Q//平面A1PDB．不存在Q点，使得D1Q⊥C．当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥D．若D1Q=6213．D【分析】利用线面平行与面面平行的判定定理与性质定理判断A；建立空间直角坐标系，求得平面A1PD的法向量，从而利用线面垂直的向量表示可判断B；利用空间向量法求得点Q到平面A1PD的距离关于x,z的表达式，分类讨论x+z的取值范围求得三棱锥Q-A1PD的体积，从而判断进而求其长度判断D.【详解】选项A，分别取B1C1,CC

由PF与B1C1，A1D1平行且相等得平行四边形A1又D1F⊂平面A1DP，A1P⊂平面A1DP，所以D1F//平面A1DP，同理EF//平面A1DP，又EF∩D1F=F,EF,D1F⊂平面D1EF，所以平面故A正确；选项B，以D1为原点，D1A1,设Qx,1,z0≤x,z≤1，则A1D=-1,0,1,A1P=0,1,12,D1Q=x,1,z，设m使得D1Q=λm，则x=λ1=-λ2z=λ使得D1Q⊥平面A1选项C，△A1PD面积为定值，当且仅当点Q到平面A又A1Q=x-1,1,z，则Q到平面A1PD的距离为则当x+z=0时，d有最大值1；当32≤x+z≤2时，d=23x+z-3综上，当x+z=0时，d取得最大值1，即Q与C1重合时，d取得最大值，三棱锥Q-A1选项D，D1C1⊥平面BB1C所以Q点轨迹是以C1为圆心，22为半径的圆弧，圆心角是π2，则其轨迹长度为14×2π三、解答题（共4题，共48分）14．（本题满分8分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C圆柱的体积是2π，底面直径与圆柱的高相等．（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱ABC-A（1）4π；（2）2【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为r=1，代入侧面积公式可得结果；（2）求出三棱柱底面△ABC的面积，再由体积公式可得结果.【详解】（1）设底面圆的直径为2r，则其高也为2r；由题可知，圆柱的体积V=πr2⋅2r=2（2）因为△ABC是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长AB=AC=2，所以三棱柱ABC-A1B（本题满分8分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-AE、F分别为DD1、BD的中点，点（1）求EF与C1G所成角的余弦值；（2）求点E到平面AB15．（1）5117；（2）.【分析】（1向量的坐标运算，由EF⋅B1C【详解】（1）证明：以DA，DC，DD1所在直线分别为x则根据题意可得：E∴∴cos〈EF，GC1〉=EF⋅∴EF与CG所成角的余弦值为5117（2）∵由三垂线定理得：BD1⊥平面AB1C，∴平面AB1∵AE=-1，0，12，∴点E到平面AB1（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，且PB=6BC，点O、Q分别为棱CD、（1）证明：OQ//平面PAD；（2）求二面角P-AD-Q的大小.16．（1）证明见解析；（2）π4.【分析】（1）取PA中点G，连接GQ,GD可证OQ//DG，进而OQ//平面PAD；（2）根据已知可证OQ⊥平面ABCD，取AB中点E，以OE,OC,OQ所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，由两平面夹角的向量公式可解.【详解】（1）取PA中点G，连接GQ,GD∴点Q为PB中点，∴GQ//AB,GQ=12AB，∵O为CD中点，∴DO//AB,DO=12AB，∴GQ//OD,GQ=OD∴四边形∴OQ//DG,∵OQ⊄平面PAD,GD⊂平面PAD，∴OQ//平面（2）∵DQ⊥平面PBC,BC⊂平面PBC∴DQ⊥BC，又∵底面是边长为2的正方形，∴DC⊥BC,∵DQ∩DC=D,DQ⊂平面DCQ，DC⊂平面DCQ，∴BC⊥平面DCQ，∵OQ⊂平面DCQ,∴BC⊥OQ.又∵CQ⊂平面DCQ,∴BC⊥CQ.∵PB=26,∴QB=6,∵BC=2,∴QC=2，∵∵O为CD中点，∴OQ⊥DC，又∵BC⊥OQ,DC∩BC=C,DC⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴OQ⊥平面ABCD，取AB中点E，以OE,OC,OQ所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则O0,0,0所以AP=设平面PAD法向量为m=x,y,z设平面QAD法向量为n=x1∴n=0,1,-1，cos结合图形可知二面角P-AD-Q为锐角，所以二面角P-AD-Q的大小为π417．（本题满分20分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E点O，F分别为BE，DE的中点，将△ABE沿BE