第02讲函数概念与性质-2022年高一数学寒假课（2019）（原卷版）

第02讲函数概念与性质【学习目标】理解函数的概念。掌握函数的三种表示方法、理解函数图象的作用和分段函数。理解函数单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性。会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性。理解函数的最大值和最小值，能借助函数的图象和单调性求一些简单函数的最值。理解奇函数、偶函数的定义，理解奇偶函数的图象特征，能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题。【基础知识】1．函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为f：A→B，或y＝f(x)(x∈A)．(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(5)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．2.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．3.映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数的定义域为R．(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R．(5)y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．5．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为．(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．6．函数的单调性(1)单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：（2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．7．函数的奇偶性(1)奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：①考察定义域是否关于原点对称．②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．【考点剖析】考点一：函数的概念例1．下列各组函数中，表示同一函数的是________.(填序号)f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)②f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝(eq\r(x))2③f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1④f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，g(x)＝eq\r(x2－1)变1．下列四个图象中，是函数图象的是________.(填序号)解题策略1．判断是否是同一函数关键看两点：①定义域相同；2对应关系相同．判断是否是函数图象，要看定义域和值域是否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应一个因变量．考点二：函数解析式求法例2．(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．变2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.解题策略函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程组法：已知f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．考点三：函数的定义域例3．求下列函数的定义域(1);(2)变3．函数f()=的定义域为________.解题策略抓住常见函数有意义的约束条件是解题的关键，需要注意的是：函数定义域应写成集合或区间的形式．考点四：函数的值域例4．求下列函数的值域(1)y＝x2＋2x，x∈[0，3]；(2)变4．(1)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5]；(2)f(x)＝x－eq\r(1－2x).考点五：分段函数例5．(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,2x，x≤0，))则f(f(eq\f(1,9)))＝________.(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝________．变5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．解题策略1.分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．2.在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．考点六：函数单调性的判断例6．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________.(填序号)y＝eq\r(x＋1)②y＝(x－1)2③y＝2－x④y＝log0.5(x＋1)变6．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________.(填序号)①f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))②f(x)＝x3③f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)④f(x)＝3x解题策略确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．考点七：函数单调性的应用例7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________.变7．函数f(x)＝eq\f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，则a＋b＝________.解题策略1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．考点八：求函数的单调区间例8．求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．变8．函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．解题策略1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．考点九：判断函数的奇偶性例9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(3)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3).解题策略判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断f(－x)与f(x)关系.若f(－x)＝－f(x)则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．考点十：函数性质的综合运用例10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范围是________．变10．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）A．B．C． D．【真题演练】（2020年北京）函数的定义域是__________.（2018年全国1卷）设函数若的的取值范围是（）.B.C.D.3.（2019年全国2卷）设为奇函数，且当时，，则当时，=（）.B.C.D.4.（2020年全国2卷）设函数，则().A.是奇函数，且在单调递增B.是奇函数，且在单调递减C.是偶函数，且在单调递增D.是偶函数，且在单调递减（2020新高考1卷）若定义在R上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值为（）.B.C.D.【过关检测】1.函数f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定义域为________．2．函数y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是________．3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是________．②③④4．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x＜1，,2x，x≥1.))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，则b等于________．5．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是_________________．6.(1)已知f(x)是一次函数，且满足f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋3，求f(x)的解析式．(2)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，求g(x)的解析式．7.．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．8．设函数f(x)＝eq\b\l