专题33幂函数（重点题型解题技巧）

专题3.3幂函数（重点题型解题技巧）【题型1求幂函数的解析式（凹凸问题）】【题型2求幂函数及复合函数的定义域及定点问题】【题型3判断五种常见幂函数的奇偶性】【题型4由幂函数的单调性解不等式及比较大小】题型1求幂函数的解析式（凹凸问题）一：幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．①当α>0时，函数在[0,+∞)上是增函数；当α<0时，函数在[0,+∞)上是减函数②当α>0时，函数在(0,+∞)上的增长趋势如何？指数越大，越靠近x，指数越大，越靠近x幂函数解析式的确定步骤第一步：如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即第二步：将点代入所设解析式中即二：函数y=f(x)凸性的几何特征下凸：函数在区间的图象总在线段的下方故存在图象如下：下凸：函数在区间的图象总在线段的上方故存在图象如下：形如1：已知幂函数的图象过点，则破解：因为函数是幂函数，所以设，代入，得，解得所以所以形如2：已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则破解：因为是幂函数，所以，解得或3因为，且，均有，所以的图象在第一象限上凸，因此所以，所以形如3：若是幂函数，则＝破解：由题意得，解得，故，所以形如4：已知幂函数在上单调递减.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围破解：（1）因为幂函数在上单调递减，则，解得，故。由（1）可知，对任意的恒成立由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立所以，，因此，实数的取值范围是一、单选题1．已知点在幂函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由幂函数的定义可以求出，然后将点的坐标代入即可求出，由此即可得解.【详解】由幂函数的定义可知，解得；将点代入，得，解得；所以．故选：B．2．已知点在幂函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意结合幂函数的定义列式求解.【详解】由题意可得：，解得，所以.故选：B.3．已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】根据幂函数定义求得k，再根据图象过的点求得，即可得答案.【详解】由题意是幂函数，则，即，将代入可得，故，故选：C二、填空题4．幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为．【答案】或【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值.【详解】是幂函数，也是偶函数，且在上为增函数，且为偶数，解得或，当时，，当时，.故答案为：或5．已知幂函数()是偶函数，且在上是增函数，则函数的解析式为．【答案】【分析】由幂函数求参数，结合其为偶函数及区间单调性求解析式即可.【详解】由是幂函数，则，解得或或.当时，是非奇非偶函数，不满足题意；当时，是偶函数，但在上递减，不满足题意；当时，是偶函数且上递增，满足题意．综上，实数t的值为，所求解析式为.故答案为：6．已知幂函数在第一象限单调递减，则.【答案】【分析】根据题意得，即可解决.【详解】由题知，幂函数在第一象限单调递减，所以，解得（舍去），或，所以，所以，故答案为：三、解答题7．已知幂函数是偶函数．(1)求的解析式；(2)求函数的值域．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用幂函数定义及性质求解作答.（2）由（1）的结论，利用换元法，结合二次函数求出函数最值作答.【详解】（1）依题意，，即，解得或，当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数，所以的解析式是．（2）由（1）知，，，设，则，，因此，当时，，当或时，，于是，所以函数的值域为.8．函数是幂函数，且当时，是增函数，求的解析式.【答案】【分析】由题意可得求出，再根据当时，是增函数，可求出其解析式【详解】因为是幂函数，所以，解得或，当时，在上是增函数，符合题意，当时，在上是减函数，不合题意，所以9．已知幂函数的图象经过点.(1)求的解析式:并判断它的奇偶性（不证明）；(2)若，求a的取值范围.【答案】(1)，非奇非偶函数；(2)【分析】（1）待定系数法求解函数解析式，并得到函数奇偶性；（2）根据函数的定义域和单调性，得到不等式组，求出答案.【详解】（1）设幂函数，将代入可得，解得，故，此函数为非奇非偶函数，理由如下：因为定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；（2）在上单调递增，，故，解得，即的取值范围是.10．已知幂函数是偶函数．(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义求得的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围．【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，所以或，又函数为偶函数，所以；（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，若，则，平方后解得，所以x的取值范围是.题型2求幂函数及复合函数的定义域及定点问题定义域：(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3)的底数不为零；(4)的底数不为零；注：的定义域为[0,+∞)，而的定义域为R.第二步：列出不等式（组）第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域.定点问题：形如一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．当时，的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过点，C．幂函数的图象有可能出现在第四象限D．若幂函数在区间上单调递减，则【答案】D【分析】根据幂函数的性质，结合零指数幂的性质逐一判断即可,【详解】当时，此时要求，所以的图象是一条直线是错误的，因此选项A不正确；幂函数的图象不经过点，所以选项B不正确；当时，幂函数，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，所以选项C不正确；当幂函数在区间上单调递减，则有，所以选项D正确，故选：D2．下列关于幂函数的命题中正确的有（

）A．幂函数图象都通过点B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限C．当幂指数时，幂函数是增函数D．若，则函数图象不通过点【答案】B【分析】根据幂函数的性质，结合取值的情况，一一判断各选项的正误，可得答案.【详解】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；对于B，幂指数时，幂函数分别为，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B正确；对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，故选：B3．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案.【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B．4．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.二、多选题5．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（

）A． B．恒过定点C．若时，关于轴对称 D．若时，【答案】ABC【分析】根据为幂函数，可求得a值，即可判断A的正误；根据幂函数性质，可判断B的正误；当时，根据偶函数的定义及性质，可判断C的正误；根据m的范围，可得范围，根据幂函数的性质，可判断D的正误，即可得答案.【详解】因为为幂函数，所以，解得，故A正确；则，故恒过定点，故B正确；当时，，，所以为偶函数，则关于轴对称，故C正确；当时，，则在上为增函数，所以，故D错误.故选：ABC三、填空题6．幂函数的图像恒过定点．【答案】【分析】根据幂函数的知识求得正确答案.【详解】幂函数的图像恒过定点.故答案为：7．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为.【答案】【分析】由幂函数的性质知的图象恒过，即可求出函数的图象恒过的定点.【详解】因为的图象恒过，所以的图象恒过定点.故答案为：8．若幂函数的图象经过点，则．【答案】【分析】根据幂函数的性质和定义可得出关于实数的等式与不等式，由此可求得实数的值.【详解】由题意可得，解得.故答案为：.9．已知幂函数的图象过点，则的定义域为．【答案】【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．故答案为：四、概念填空10．对幂函数，填空：（1）当，时，图象恒过和两点；其中当时，幂函数图象在图象的方；当时，幂函数图象在图象的方．（2）当，时，图象也恒过和两点；其中当时，幂函数图象在图象的方；当，幂函数图象在图象的方．（3）当，时，图象恒过点．【答案】下上上下【分析】根据幂函数的性质，对每个空进行逐一填写即可.【详解】（1）当，时，图象恒过和两点；其中当时，幂函数图象在图象的下方；当时，幂函数图象在图象的上方．（2）当，时，图象也恒过和两点；其中当时，幂函数图象在图象的上方；当，幂函数图象在图象的下方．（3）当，时，图象恒过点点.故答案为：；；下；上；；；上；下；.题型3判断五种常见幂函数的奇偶性根据题干已知单调性及奇偶性便可确定具体幂函数的表达式，然后画出对应的图象可以解决题干所求形如1．已知幂函数为偶函数，．(1)若，求；(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．破解：（1）对于幂函数，得，解得或，又当时，不为偶函数，，，。解得（2）关于x的不等式在上恒成立；即在上恒成立，即，先证明在上单调递增，任取则，，，又，，，即，故在上单调递增.，又，解得.形如2．已知幂函数为奇函数．(1)求的解析式；(2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值．破解：（1）为幂函数，，解得：或当时，，则，即为偶函数，不合题意，舍去当时，，则，即为奇函数，符合题意综上所述：（2）由（1）得：，即，又，（当且仅当，即，时取等号，形如3．已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．破解：∵为幂函数，∴，解得又，∴，解得，∵，∴或当时，，此时的图像关于原点对称，不合题意当时，，满足题意，∴，∴1．设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【分析】根据幂函数的定义域和幂函数的奇偶性可以确定m的值.【详解】解：由题意知，因为其图像关于y轴成轴对称，则.故选：C．2．若幂函数的图象关于轴对称，则（

）A．或4 B． C．4 D．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.【详解】若幂函数，则，解得或，且幂函数的图象关于轴对称，则为偶数，故.故选：C．3．函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】由的值依次求出的值，然后根据函数的性质确定，得函数解析式，计算函数值．【详解】，，，代入分别是，在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，时，在上不是减函数，只有满足，此时，，．故选：B．4．已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【答案】A【分析】根据幂函数以及幂函数的对称性确定正确答案.【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或.当时，，是偶函数，图像关于轴对称，符合题意.当时，，是奇函数，图像不关于轴对称，不符合题意.所以的值为.故选：A5．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数【答案】AC【分析】根据幂函数中结论一一分析即可.【详解】对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确；对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误；对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确；对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；故选：AC.6．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，的值可以是.（写一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据幂函数的性质确定出值作答.【详解】由偶函数在上单调递增，得在上单调递减，而是幂函数，则，取，符合题意.故答案为：7．幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为．【答案】或【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值.【详解】是幂函数，也是偶函数，且在上为增函数，且为偶数，解得或，当时，，当时，.故答案为：或8．已知幂函数为偶函数，则实数的值为.【答案】【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.【详解】为幂函数，，解得：或；当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不合题意；综上所述：.故答案为：.9．函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值是.【答案】3【分析】由函数是幂函数，且为偶函数，列方程求出的值.【详解】由函数是幂函数，得，即，解得或；又∵为偶函数，即为偶数，所以实数的值是3.故答案为：3.10．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.【答案】【分析】根据幂函数的图象关于轴对称，求出的值．再根据幂函数的单调性，即可求出满足的的取值范围．【详解】由题意，∵函数在上递减，∴即，又∴或，又函数图象关于轴对称，∴为偶数，因此，∴函数在上为增函数，∴等价于，∴，故的取值范围为．11．已知幂函数满足：①在上为增函数，②对，都有，求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.【答案】，【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域.【详解】因为在上为增函数，所以，解得，又，所以，或．又因为，所以是偶函数，所以为偶数．当时，满足题意；当时，不满足题意，所以，又因为在上递增，所以，，故时，的值域是．12．已知幂函数是偶函数．(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义求得的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围．【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，所以或，又函数为偶函数，所以；（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，若，则，平方后解得，所以x的取值范围是.题型4由幂函数的单调性解不等式及比较大小①比较大小：直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的②幂函数的单调性解不等式第一步：根据幂函数定义，设，代入点即可得解析式第二步：利用幂函数单调性及其定义域，即可求得实数的取值范围形如1．已知是幂函数，(1)若函数过定点，求函数的表达式和定义域；(2)若，求实数的取值范围.破解：（1）设，代入点得，解得即，其定义域为（2）由幂函数的性质可得，函数的定义域为，且在定义域上单调递减，，，解得或形如2．已知幂函数在上是减函数，．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．破解：（1）由函数为幂函数得，解得或又函数在上是减函数，则，即，所以，（2）由（1）得，所以不等式为设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减所以，解得，所以的取值范围是形如3．比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．破解：（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以1．已知幂函数在上是减函数，.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以解得，所以实数的取值范围是.2．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的a的取值范围.【答案】【分析】利用幂函数的性质求得，利用幂函数的单调性解不等式即可.【详解】因为函数在上单调递减，所以，即.又，所以或.又函数的图象关于y轴对称，所以是偶数，所以，即.则原不等式可化为.因为函数在R上是增函数，所以，解得.故实数a的取值范围是.3．已知幂函数在上是减函数，．(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性进行计算；（2）结合（1）中的参数，根据幂函数的单调性和定义域计算.【详解】（1）根据幂函数的定义和单调性可知：，解得，于是（2）根据幂函数的单调性，在定义域上单调递减，由，即，于是，解得4．已知幂函数在定义域上不单调．(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)为奇函数；理由见解析(2)或【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根，由此确定的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.【详解】（1）由题意，解得或，当时，，函数在上单调递增，不合题意；当时，，函数的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递减，但，所以函数在定义域上不单调，符合题意，所以，因为函数的定义域关于原点对称，且，所以为奇函数；（2）由及为奇函数，可得，即，而在上递减且恒负，在上递减且恒正，所以或或，解得或．5．已知幂函数为奇函数.(1)求的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据幂函数的定义得到或，根据奇偶性即可得到的值，再计算即可；（2）根据幂函数的单调性结合条件可得或或，进而即得.【详解】（1）由，得或，当时，是奇函数，满足题意，当时，是偶函数，不满足题意，所以，；（2）因为的定义域为，单调减区间为，，由，可得或或，解得或，所以实数的取值范围为或.6．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，(1)求的值.(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）幂函数在上单调递减，可得且,可得m的值为1或2，然后根据已知条件分析即可；（2）由（1）可得不等式，由可得单调性，然后分类讨论，解出不等式求出a的取值范围.【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，所以，解得，又，所以，当时，，当时，，因为函数图像关于轴对称，所以是偶数，因此；（2）由（1）可得，故为，因为在上均为减函数，所以等价于：或或解得或，故的取值范围为或.7．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.(1)求和的值；(2)求满足的的取值范围.【答案】(1)或3，(2)或.【分析】（1）根据幂函数的定义可得系数为1，进而可求或3，根据幂函数的单调性，可求解，（2）利用幂函数的单调性即可求解.【详解】（1）∵幂函数，∴，解得或3，又因为幂函数在上是减函数，∴，解得，∵，∴或，又因为幂函数图象关于轴对称，当时，，图象关于轴对称，符合题意；当时，，图象关于原点对称，不合题意，综上，或3，；（2）由（1）可得，∴原不等式可化为而函数在和上分别为减函数，所以不等式可化为：或或，解得或.8．已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．【答案】【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．由m为正整数，则或,又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，而当时，，为奇函数，不符题意，当时，，为偶函数，于是．因为为奇函数，在与上均为严格减函数，所以等价于或或，解得或，即.9．已知幂函数，在上单调递增，(1)求；(2)当满足时，求实数的范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用幂函数的定义及性质即可求解；（2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为是幂函数，所以，即，解得或.又因为在上单调递增，所以.（2）由（1）知，，所以的解析式为，由幂函数的性质知，在上单调递增，且，所以，解得.所以实数的范围为.10．已知幂函数在上是减函数(1)求的解析式(2)若，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性列式运算求解；（2）根据幂函数的单调性列式运算求解，注意幂函数的定义域.【详解】（1）由题意可得，解得，故.（2）由（1）可知：的定义域为，由，则，解得，∵幂函数在上是减函数，则，解得，∴a的取值范围为.11．已知幂函数过点(1)求的解析式(2)若，则实数的取值范围是？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数定义，设，代入点即可得解析式；（2）利用幂函数单调性及其定义域，即可求得实数的取值范围.【详解】（1）依题意可知，设函数，将点代入得；所以，的解析式（2）由（1）知，，易知在上为减函数，又∴解得.即实数的取值范围是.12．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.(1)求m和n的值；(2)求满足不等式的a的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得m,结合幂函数的性质即可求得n的值;（2）根据（1）的结论，可得，利用函数的性质，可得关于a的不等式，求得答案.【详解】（1）∵是幂函数，∴，解得m=3.由在上单调递增得，解得.∵，∴或.当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.综上，，.（2