专题02平面向量解答题压轴训练-2020-2021学年高一数学下学期期末考试压轴题专练（2019尖子生专用）

专题02平面向量解答题压轴训练（时间：90分钟总分：120）班级姓名得分解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。一、解答题1．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，点.【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.【详解】解：（1）的相伴特征向量.（2）向量的相伴函数为，，.，，..（3）由为的相伴特征向量知：.所以.设，，，，又，.，，，.又，当且仅当时，和同时等于，这时式成立.在图像上存在点，使得.【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，2．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．3．如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且，AE与CD交于P．设存在和使，，，．（1）求及；（2）用，表示；（3）求的面积．【答案】（1），；（2）；（3）4．【分析】（1）用，作为基底表示出向量，，根据向量相等得到方程组，即可解得；（2）根据向量加法运算法则，计算可得；（3）先由，又，再根据可得．【详解】（1），，，，，，，，，，又，，解得．（2）由（1）知，，．（3），，，又，．【点睛】关键点睛：第（1）问的关键是用基底表示向量，然后解方程组；第（2）问的关键是运用向量的加法；第（3）问的关键是寻找面积之间的关系.4．已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点．（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示）（3）若，，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量的线性运算，将代入，再由求解.（2）易得对任意正整数，，且，有，，从而求解.（3）当时，设线段上存在一点，使得，，且存在点，，然后转化为，利用线段和最小求解.【详解】（1）因为,而点为线段上靠近点的三等分点，所以，所以，所以.（2）由题意得，，所以，事实上，对任意正整数，，且，有，，所以所以，（3）当时，线段上存在一点，使得，，且存在点，，则，，所以，即线段上存在一点，到点和点的距离之和，如图所示：作点关于线段的对称点，则最小值为.【点睛】方法点睛：在直线l上存在点P,使得最小和最大问题：当点A，B在直线l的异侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最小；作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最大；当点A，B在直线l的同侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最大；作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最小；5．已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.（1）求；（2）证明：；（3）当重合时，求的面积.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式，即可求解；（2）利用余弦定理，求得，然后求出，从而得到，即可得到结论；（3）根据向量的夹角公式，求得和，从而求得和的值，当重合时，，求得，最后根据三角形的面积公式和，即可求解.【详解】（1）在中，因为，且，可得，则，所以.（2）由（1）与已知，可得，由余弦定理可得，又因为，则，则，所以.（3）由已知可得，因为，所以，，因为，所以，当重合时，，解得，解得，此时，所以，可得，所以.【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.6．已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.（1）求；（2）求证：.（3）求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）延长交于D，则D为BC中点，可得，，即可求出；（2）设，可得，，可得，即可建立关系求得；（3）可得，再根结合的范围求出.【详解】（1）延长交于D，则D为BC中点，,G是重心，，；（2）设,，，，，三点共线，则存在，使得，即，即，，整理得，即，即，即；（3）由（2），，，，，可知，，，，则当时，取得最小值，当时，取得最大值，，则的取值范围为.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足.（1）求值；（2）已知若的最小值为，求的最大值.【答案】（1）（2）1【分析】（1）由，得，化简得，即可得到答案；（2）化简函数，对实数分类讨论求得函数的最小值，得到关于的分段函数，进而求得函数的最大值.【详解】（1）由题意知三点满足，可得，所以，即即，则，所以.（2）由题意，函数因为，所以，当时，取得最小值，当时，当时，取得最小值，当时，当时，取得最小值，综上所述，，可得函数的最大值为1，即的最大值为1.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的坐标性质，以及三角函数和二次函数的性质的综合应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，8．已知，，设.（1）当时，求的值域；（2）若锐角满足，且不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量的数量积，求得的表达式化简，再根据的取值范围求出的值域即可.（2）根据，可求的角的值，再根据不等式转化为,结合基本不等式即可求出的取值范围.【详解】解:（1）已知，，,因为,则,,故的值域为:.（2）由（1）得,因为锐角满足,,解得,又因为即①又因为带入不等式①因为在锐角中,所以,所以故的取值范围为.【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角函数及基本不等式的应用。9．如图所示，在中，，，AD与BC相交于点M．设，．（1）试用向量，表示；（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，，其中．当EF与AD重合时，，，此时；当EF与BC重合时，，，此时；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式恒成立，请说明理由．【答案】（1）；（2）能得出结论，理由详见解析.【分析】（1）设，，可得，，联立可解得，；（2）设，可得，又，，故，即，即得解【详解】（1）设，由A，D，B三点共线，可知存在（，且）使得，则，又，所以，∴，即①，由B，C，M三点共线，可知存在（，且）使得，则，又，所以，∴即②由①②得，，故．（2）能得出结论．理由：由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且），使得，于是，又，，所以，所以，从而，所以消去得．【点睛】本题考查了向量的线性运算综合问题，考查了向量共线基本定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题.10．在中，满足：，M是的中点.（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：（3）若点P是内一点，且，，，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用向量的数量积公式得到，利用向量的数量积公式展开，求出向量与向量的夹角的余弦值；（2）通过解三角形求出的长，设，则，利用向量的平行四边形法则得到而，利用向量的数量积公式将表示成关于的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值；（3）设，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于的三角函数，将平方转化为关于的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．【详解】解：（1）设向量，与向量的夹角为，令，.（2），，设，则，而，，当且仅当时，的最小值是.（3）设，，，，，同理：，当且仅当时，所以.【点睛】本题考查向量的夹角和最值问题，利用了向量的数量积公式和两向量的夹角公式，还运用二次函数和基本不等式求最值，是一道综合题．11．如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A．（1）证明：在运动过程中，△DEF的重心保持不变；（2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）解题的关键是得出同一时刻，、、分、、所成的比相同，进而设出坐标验证即可；（2）易知，，进而表示出，由二次函数的图象以及性质即可得解.【详解】（1）证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），△DEF的重心O（x0，y0），由题意，在同一时刻t，D、E、F分所成的比相同，设为λ，则，由定比分点坐标公式可得，D（txB+（1﹣t）xA，tyB+（1﹣t）yA），E（txC+（1﹣t）xB，tyC+（1﹣t）yB），F（txA+（1﹣t）xC，tyA+（1﹣t）yC），由三角形重心坐标公式有，，，把D、E、F的坐标代入x0，y0中，求得△DEF的重心坐标为，它与t无关，即在运动过程中，△DEF的重心保持不变；（2）∵，∴S△DFA：SABC＝（AD•AF）：（AB•AC）＝t（1﹣t），即S△DFA＝t（1﹣t）S，同理，S△EFC＝S△DEB＝t（1﹣t）S，∴，∴当时，S△DEF的面积取得最小值．12．在中,已知，M是BC的中点.(1)若,求向量与向量的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点,且，求的最小值；(3)若