专题22基本不等式（知识解读）-2022-2023学年高一数学《考点解读专题训练》（人教A版2019）

专题2.2基本不等式（知识解读）【学习目标】1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。【知识点梳理】考点1基本不等式的概念1、两个不等式重要不等式：,（当且仅当时取号）.常见变形公式：、基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式：；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由公式和引申出的常用结论①（同号）；②（异号）；③或考点2基本不等式的证明1、法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2、法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.考点3基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.考点4利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq\r(p).【解题思路】【典例分析】【考点1基本不等式求最值】【典例1】（2022春•浙江月考）已知x，y＞0且x+2y＝xy，则x+y的最小值为（）A．3+ B．4 C．2 D．6【变式11】（2021·六安市裕安区新安中学）已知，则的最大值为（）A． B． C． D．【变式12】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．【变式13】（2021·浙江高一期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（）A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为【典例2】（1）（2021·北京高一其他模拟）若，则函数的最小值为______．（2）（2021·云南壮族苗族自治州）已知，函数的最小值为（）A．4 B．7 C．2 D．8【变式21】（2022春•青羊区校级月考）若x＞2，则函数的最小值为（）A．4 B．6 C． D．【变式22】已知，则的最大值为________．【典例3】（1）（2021·上海市大同中学）设、为正数，且，则的最小值为_______.（2）（2021·河北石家庄市）已知，且，则的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．9【变式32】已知，，，求的最小值；【变式33】已知正数a，b满足，求的最小值．【变式34】（2022春•开福区校级月考）已知p，q为正实数且p+q＝3，则的最小值为（）A． B． C． D．【典例4】（2021·永丰县永丰中学高一期末）函数（）的最小值为（）A． B． C． D．【变式41】（2021春•湖南期中）函数f（x）＝（x＞1）的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【变式42】（2022春•湖北月考）已知a＞b，且ab＝8，则的最小值是（）A．6 B．8 C．14 D．16【考点2利用基本不等式求参数】【典例5】（1）（2021·北京东直门中学）若对任意的都有，则的取值范围是（）A． B．C． D．（2）（2021·浙江高一期末），，且，不等式恒成立，则的范围为_______.【变式51】（2021·广东深圳市）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【变式52】（2021·江苏苏州市）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【变式53】（2021·临澧县第一中学）已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点3利用基本不等式比较大小】【典例6】2021·全国高一课时练习）已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.【变式61】（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【变式62】（2021秋•雨花区校级月考）解答下列各题．（1）设a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：；（2）设a＞b＞c且恒成立，求实数m的取值范围．【考点4对基本不等式的理解】【典例7】若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【变式71】设，，下列不等式正确的是（）B．C．D．【变式72】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．3【变式73】已知且，下列各式中最大的是（）A．B．C．D．【变式74】（多选）设a＞0，b＞0，则（）B．C．D．【考点5生活实际中的基本不等式】【典例8】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.【变式81】（2021·安徽淮南市·高一期末）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为（）A．1120元 B．1280元 C．1760元 D．1960元【变式81】（2021秋•信阳校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值．【变式82】2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−.已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？专题2.2基本不等式（知识解读）【学习目标】1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。【知识点梳理】考点1基本不等式的概念1、两个不等式重要不等式：,（当且仅当时取号）.常见变形公式：、基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式：；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由公式和引申出的常用结论①（同号）；②（异号）；③或考点2基本不等式的证明1、法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2、法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.考点3基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.考点4利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq\r(p).【解题思路】【典例分析】【考点1基本不等式求最值】【典例1】（2022春•浙江月考）已知x，y＞0且x+2y＝xy，则x+y的最小值为（）A．3+ B．4 C．2 D．6【答案】A【解答】解：x＞0，y＞0，且x+2y＝xy，∴+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当＝且+＝1，即y＝1+，x＝+2时取等号，故选：A．【变式11】（2021·六安市裕安区新安中学）已知，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，整理得，即.所以的最大值为.故选：D.【变式12】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．【答案】【解答】，当且仅当时取等号．【变式13】（2021·浙江高一期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（）A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为【答案】C【解答】，，且，（1），当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：．【典例2】（1）（2021·北京高一其他模拟）若，则函数的最小值为______．（2）（2021·云南壮族苗族自治州）已知，函数的最小值为（）A．4 B．7 C．2 D．8【答案】（1）5（2）B【解答】（1）因为，则函数，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值5．故答案为：5.（2）因为，所以，当且仅当即时取等号，所以的最小值为7.故选：B【变式21】（2022春•青羊区校级月考）若x＞2，则函数的最小值为（）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解答】解：若x＞2，则x﹣2＞0，则函数＝，当且仅当x＝4时，等号成立；故选：B．【变式22】已知，则的最大值为________．【答案】（1）；（2）1【解答】（1），当且仅当，即时，取等号．（2）因为，所以，则,当且仅当，即时，取等号．故的最大值为1【典例3】（1）（2021·上海市大同中学）设、为正数，且，则的最小值为_______.（2）（2021·河北石家庄市）已知，且，则的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．9【答案】（1）4（2）B【解答】（1）因为、为正数，且，所以,当且仅当a=b=1时取等号即的最小值为4.故答案为：4（2）由，得，所以，当且仅当，取等号.故选：B.【变式32】已知，，，求的最小值；【答案】2【解答】，，当且仅当时，等号成立当时，的最小值为【变式33】已知正数a，b满足，求的最小值．【答案】【解答】因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值.【变式34】（2022春•开福区校级月考）已知p，q为正实数且p+q＝3，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：因为p，q为正实数且p+q＝3，所以p+2+q+1＝6，则＝（）（p+2+q+1）×＝（2+）（2+2）＝，当且仅当且p+q＝3，即q＝2，p＝1时取等号．故选：A．【典例4】（2021·永丰县永丰中学高一期末）函数（）的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值为，故选：B【变式41】（2021春•湖南期中）函数f（x）＝（x＞1）的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴f（x）＝＝＝x﹣1+＝x﹣1+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x﹣1＝，即x＝2时取等号，∴函数f（x）的最小值为3．故选：D．【变式42】（2022春•湖北月考）已知a＞b，且ab＝8，则的最小值是（）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解答】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，∵ab＝8，则＝﹣2＝a﹣b+﹣2≥2﹣2＝6，当且仅当a﹣b＝，即a﹣b＝4时等号成立，∴的最小值是6，故选：A【考点2利用基本不等式求参数】【典例5】（1）（2021·北京东直门中学）若对任意的都有，则的取值范围是（）A． B．C． D．（2）（2021·浙江高一期末），，且，不等式恒成立，则的范围为_______.【答案】（1）A（2）【解答】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以，故选：A（2）解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，故答案为：【变式51】（2021·广东深圳市）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解答】因为，所以，所以恒成立，只需因为，所以，当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D【变式52】（2021·江苏苏州市）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】当时，，，当且仅当，即时等号成立，.故选：D.【变式53】（2021·临澧县第一中学）已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解答】因为，恒成立，即所以，即，又，所以所以，所以，所以正实数的最小值为2．故选：A．【考点3利用基本不等式比较大小】【典例6】2021·全国高一课时练习）已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.【变式61】（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）解：4x+4y＝1，所以，解得，当且仅当取等号，∴xy的最大值为．（2）解：，当且仅当，取等号，∴a2+5a≤36，解得﹣9≤a≤4．即a的取值范围是[﹣9，4]．【变式62】（2021秋•雨花区校级月考）解答下列各题．（1）设a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：；（2）设a＞b＞c且恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴＝，∵ab≤＝，∴0＜ab≤，（当且仅当时取等号）故≥8，即++≥8．（2）∵a＞c，∴a﹣c＞0，∵恒成立，∴m≤+恒成立，即＝，又∵a＞b＞c，∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，则．当且仅当b﹣c＝a﹣b，即a+c＝2b时上式等号成立．∴m≤4，∴m的取值范围是：（﹣∞，4]．【考点4对基本不等式的理解】【典例7】若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.【变式71】设，，下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】对于A，，，由均值不等式，，当且仅当，即时取“”，A错误；对于B，，所以，B错误；对于C，，C错误；对于D，由，，，得，当且仅当时，取“”，D正确.故选：D【变式72】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为，所以（3）正确；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C【变式73】已知且，下列各式中最大的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】因为，所以，，所以，，由均值不等式可知，所以，由上可知：，所以四个式子中最大，故选：D.【变式74】（多选）设a＞0，b＞0，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【解答】A.，当且仅当时，等号成立，故正确；B.因为，正负不定，故错误；C.，当且仅当，时，等号成立，故正确；D.，故正确；故选：ACD【考点5生活实际中的基本不等式】【典例8】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.【答案】每个区域的长和宽分别是m和m时，彩带总长最小，最小值为m【解答】设每个区域的长为，宽为，由题意得，，，则彩带总长==，当且仅当，即且等号成立，所以每个区域的长和宽分别是和时，彩带总长最小，最小值为.【变式81】（2021·安徽淮南市·高一期末）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元