第5讲正切函数图像及其性质（知识点串讲）

第5讲正切函数图像及其性质（沪教版2020必修二）【知识讲练】知识点一：正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像xyyxyy0x根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知：（1）定义域：，（2）值域：观察：当从小于，时，当从大于，时，.周期性：（4）奇偶性：，所以是奇函数（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.（6）中心对称点：知识点二：余切函数的图象：即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：，（2）值域：（3）周期性：（4）奇偶性：，所以是奇函数（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.（6）中心对称点：例1．（2020·全国高一课时练习）设函数.（1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心；（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.【答案】（1）最小正周期，对称中心是；（2）答案见解析.【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心.（2）根据函数的解析式得到的图象与轴的交点坐标为，图象上的、两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可.【详解】（1），，令，，解得，，故对称中心为.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，图象上的点有、两点，在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，从而得到函数在一个周期内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.【变式训练11】（2020·全国高一课时练习）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）用定义判断函数的奇偶性；（3）在上作出函数的图象．【答案】（1）；（2）奇函数,见解析；(3)见解析【分析】（1）根据,求解即可；（2）由（1）可知的定义域关于原点对称,判定和的关系,从而判定奇偶性；（3）将写为分段函数,画出图象即可【详解】（1）由,得（）,所以函数的定义域是.（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称,因为,所以是奇函数.（3）,所以在上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象.【变式训练12】（2020·全国高一课时练习）设函数.（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；（2）作出函数在一个周期内的简图．【答案】（1），；（2）图象见解析【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心.（2）首先根据函数的解析式得到数的图象与轴的一个交点坐标为，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，再画出函数的图象即可.【详解】（1），.令，，解得，，故对称中心为.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.故函数在一个周期内的函数图象为：【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数完全相同的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与相同的函数.【详解】的定义域为，A.，因为，所以，定义域为或，与定义域不相同；B.，因为，所以，所以定义域为，与定义域不相同；C.，因为，所以定义域为，又因为，所以与相同；D.，因为，所以，定义域为，与定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.【变式训练13】例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数的定义域是________【答案】【分析】解不等式即得解.【详解】由题得所以x∈.故函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.【变式训练14】（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数，则的定义域是____.【答案】【分析】由意义得出，解出该不等式组即可得出函数的定义域.【详解】函数，，，，因此，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.例3．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数，关于的性质，下列说法正确的是_________.①定义域是；②值域是；③最小正周期是；④是奇函数；⑤在定义域上单调递增.【答案】③④【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】且，定义域是；所以；最小正周期是；是奇函数；在定义域上不具有单调性故答案为：③④【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.【变式训练15】（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由定义域可得，令则，所以，再根据幂函数的性质计算可得；（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为，所以令则所以因为，所以，，，，即（2）因为所以令，所以所以在上单调递增，在上单调递减，，，所以即函数的值域为【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.【变式训练16】（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先令，得到，再根据的单调性即可得到函数的值域.（2）首先令，得到，再根据函数的单调性即可得到值域.（3）首先将函数化简为，令，得到，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域.【详解】（1）令，因为，所以，又在上为增函数，所以所求函数值域为．（2）令，因为，所以．．因为为减函数，所以在为增函数，即：在上为增函数，所以，.所以函数的值域为．（3）．令，所以．．当时，，当时，.所以函数的值域为．【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.例4．（2016·上海浦东新区·高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确选项即可.【详解】由题意观察选项，C的周期不是，所以C不正确；对于A，，函数的周期为，但在区间上为增函数，故A不正确；对于B，，函数的周期为，且在区间上为减函数，故B正确；对于D，，函数的周期为，但在区间上为增函数，故D不正确；故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的性质，需熟记正弦、余弦、正切、余切的性质，属于基础题.【变式训练17】（2018·上海市青浦高级中学）函数的最小正周期为______________.【答案】【分析】利用函数y＝Atan（ωx+φ）的周期为，得出结论．【详解】函数y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Atan（ωx+φ）的周期为．【变式训练18】（2019·上海市向明中学高一期中）函数的最小正周期为______.【答案】【分析】的周期.【详解】.故答案为【点睛】本题考查三角函数的周期，属于基础题.例5．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）函数的最小正周期为____________，对称中心为____________.【答案】，.【分析】由题意利用正切函数的周期性以及图象的对称性，得出结论.【详解】函数的最小正周期，令，求得，可得函数的图象的对称中心为，，故答案为：；，.【点睛】本题考查正切型函数的性质，属于基础题.【变式训练19】（2020·上海徐汇区·位育中学高一月考）下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的单调性和奇偶性逐一判断选项即可.【详解】A.是奇函数，上单调递增，A选项错误.B.是偶函数，B选项错误.C.是奇函数，且定义域为，C选项错误.D.是奇函数，单调递增区间为，D选项正确.故选：D【点睛】本题考查三角函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.【变式训练110】