核心考点03基本立体图形（原卷版）

核心考点03基本立体图形目录考点一：棱柱的结构特征考点二：棱锥的结构特征考点三：棱台的结构特征考点四：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）考点五：简单组合体的结构特征考点六:球的性质考点考点考向一．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．二．棱锥的结构特征【知识点的认识】1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．2．认识棱锥棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．3．棱锥的结构特征根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．4．棱锥的分类棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．5．棱锥的体积公式设棱锥的底面积为S，高为h，V棱锥＝Sh．三．棱台的结构特征【知识点的认识】1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．2．认识棱台棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．3．棱台的结构特征正棱台的性质：（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．4．棱台的分类由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．5．棱台的体积公式设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，V棱台＝．四．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：．五．简单组合体的结构特征【知识点的知识】1、简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2、其构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．3、多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成平面图形后各自所得最短距离中的最小者．旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决．六．球的性质【知识点的知识】1、球的定义：（1）球的旋转定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体．（2）球的集合定义：空间中，与定点（球心）的距离等于或小于定长（半径）的点的集合叫做球体，简称球．2、球的相关概念：（1）球心：半圆的圆心叫做球心．（2）连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．（3）连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径．（4）球的体积：V球＝πR3．（5）球的表面积：4πR2．3、球的截面及其性质：（1）截面的定义：用一个平面去截一个球，截面是圆面．（2）球的截面的性质：①球心和截面圆心的连线垂直于该截面；②球心到截面的距离d与球的半径R，小圆半径r有下面的关系：d＝．（3）大圆和小圆：①球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．②球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．4、两点间的球面距离：球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度．即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度．考点考点精讲一．棱柱的结构特征（共5小题）1．（2021春•福州期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点（1）画出平面PAC与平面ABCD的交线；（2）画出平面PA1C与平面ABCD的交线．2．（2022秋•香洲区校级期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，P是正方体内（含边界）一点，满足C1P⊥A1E，若AB＝2，则的取值范围是．（多选）3．（2022秋•东营区校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是（）A．直三棱柱的侧面积是 B．直三棱柱的外接球表面积是8π C．三棱锥E﹣AA1O的体积与点E的位置有关 D．AE+EC1的最小值为4．（2022春•三水区校级月考）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1BC1D1中，AA1＝2，AD＝1，点E为棱BB1的中点，过A，E，C1三点的平面截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（）A．2 B．2 C．2 D．5．（2021秋•仁寿县校级月考）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l；（1）画出直线l；（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长；（3）求D到l的距离．二．棱锥的结构特征（共8小题）6．（2022春•锦州期末）正三棱锥S﹣ABC的高为，斜高为，则该三棱锥的侧棱长为（）A． B． C． D．47．（2022春•太仓市校级月考）下列说法中，正确的个数为（）（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱（2）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（3）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；（4）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2022春•赤峰期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与侧面三角形底边上的高的比值为（）A． B． C． D．9．（2022春•铁西区校级期末）在正三棱锥P﹣ABC中，，M是棱PC上的任意一点，则AM+MB的最小值是．10．（2022春•山西期末）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：①线段MN的长度为1；②当F为棱AB中点时，点C到面MFN的距离为；③△FMN周长的最小值为；④三棱锥A﹣FDC的体积为定值．其中正确结论的序号为．11．（2022春•滑县期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设，则λ＝．12．（2022春•双鸭山期末）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是．①勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是②勒洛四面体ABCD内切球的半径是③勒洛四面体的截面面积的最大值为④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为13．（2022春•湖北月考）已知一圆锥底面直径是，圆锥的高是，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则a的最大值为．三．棱台的结构特征（共6小题）14．（2022春•辽宁期末）下列命题中正确的是（）A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．长方体是正四棱柱 D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体15．（2022春•丰台区期末）木工小张在处理如图所示的一块四棧台形状的木块ABCD﹣A1B1C1D1时，为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开，需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l，则l满足.（选出你认为正确的全部结论）①l∥AA1；②l∥BB1；③l与直线AA1相交；④l与直线BB1相交．16．（2022春•佛山期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为．17．（2022春•延庆区期末）如图，ABC﹣A1B1C1是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（）A． B． C． D．18．（2022春•沛县月考）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积为．19．（2022春•湖北期末）已知三棱台ABC﹣A1B1C1的上下底面均为正三角形，AB＝1，A1B1＝2，侧棱长AA1＝BB1＝CC1，若AA1⊥BB1，则此棱台的高为．四．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共11小题）20．（2021秋•新城区校级期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为．21．（2022春•邢台月考）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高．22．（2022春•道里区校级期末）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的2倍，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为，则旋转体的体积为（）A．π B． C． D．23．（2022秋•锦州期末）如图，扇形OAB中，OA⊥OB，OA＝2，将扇形绕OB所在直线旋转一周所得几何体的表面积为．24．（2022春•吉林期末）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为10cm，圆柱部分高度为7cm，该陀螺由密度为0.8g/cm3的木质材料做成，其总质量为96g，则此陀螺圆柱底面的面积．25．（2022春•宁德期末）如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为．26．（2022春•恩施州期末）若一个圆锥的底面面积为π，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为．27．（2022春•梅列区校级月考）已知圆锥SO的底面半径R＝5，高H＝12．（Ⅰ）求圆锥SO的母线长；（Ⅱ）圆锥SO的内接圆柱OO'的高为h，当h为何值时，内接圆柱OO'的轴截面面积最大，并求出最大值．28．（2022春•历下区校级月考）某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2 B． C． D．129．（2022春•滑县期末）用斜二测画法作出△ABC的水平放置的直观图△A'B'C'，如图所示，其中，A'B'＝1，则△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的侧面积为（）A．π B． C．2π D．3π30．（2022春•芜湖期末）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终不离开桌面，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α．要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．五．简单组合体的结构特征（共2小题）31．（2022春•西城区校级期末）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米．当这种酒杯内壁表面积S为定值时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）A．（0，] B．[，+∞） C．[，） D．（，]32．（2021春•丰台区校级期末）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10m、15m、30m，则立柱DD1的长度是（）A．30m B．25m C．20m D．15m六．球的性质（共2小题）33．（2022•漳浦县校级学业考试）如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球心C在线段VO上，圆锥VO的底面半径为1，母线长为2，则球C的表面积为．34．（2021春•海丰县期中）已知某圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体（每条棱长都为a的三棱锥），并且正四面体内接于圆锥的内切球．圆锥的轴截面如图所示，其中轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，则a的最大值为（）A．1 B． C． D．2巩固巩固提升一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）已知：“四棱柱是正棱柱”，：“四棱柱的底面和侧面都是矩形”，则是的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．（2023·全国·高一专题练习）下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（

）A．25 B．24 C．31 D．284．（2023·全国·高一专题练习）用平面截正方体，截面不可能是（

）A．菱形 B．等腰梯形C．正五边形 D．正六边形5．（2023·高一课时练习）长方体中，，，则此长方体的对角线长是（

）A．2 B． C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）三棱锥中，，若三角形和都是等腰直角三角形，则可能的不同取值有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．至少4种7．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥9．（2023·全国·高一专题练习）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（

）A． B．C． D．10．（2023·高一课时练习）圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（

）A．1 B．2 C． D．11．（2023·全国·高一专题练习）如图是某几何体的展开图，该几何体是（

）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱12．（2023·全国·高一专题练习）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（

）A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球13．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（

）A．如图是棱台 B．如图是圆台C．如图是棱锥 D．如图不是棱柱14．（2023·全国·高一专题练习）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的项点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（

）A． B． C． D．15．（2023·全国·高一专题练习）棱长为的正四面体容器中能放进10个半径为1的小球，则的最小值为（

）A． B． C． D．16．（2023·全国·高一专题练习）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（

）A． B． C． D．二、多选题17．（2023·全国·高一专题练习）下列说法中，正确的是（

）A．棱锥的各个侧面都是三角形B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C．棱锥的侧棱平行D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥18．（2023·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（

）（多选）A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体19．（2023·全国·高一专题练习）下列说法，正确的是（

）A．圆柱的母线与它的轴可以不平行B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的20．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（

）（多选）A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱