材料力学第4章弯曲内力

第4章弯曲内力4.1引言4.2梁的计算简图4.3弯曲内力及内力图4.4剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系

4.5平面刚架与曲杆的内力4.1引言图

4－1图

4－2图

4－3一般来说，当杆件承受垂直于轴线的外力，或在其轴线平面内作用有外力偶时，杆的轴线将由直线变为曲线。以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。

工程中常见梁的横截面往往具有对称轴〔见图4－4(a)～(d)〕，由对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面〔见图4－4(e)〕。图

4－44.2梁的计算简图

为了对梁进行强度和刚度分析，首先必须对梁的几何形状、约束及载荷进行简化。

1.作用在梁上的外载荷

作用在梁上的外载荷有以下三种：

(1)集中载荷：假设作用在梁上的横向力分布范围很小，可以近似地当作作用在一点的集中载荷，用F表示。

(2)集中力偶:作用在微小梁段上的外力偶，可以近似地看做作用在梁上一点的集中力偶，用M或Me表示。

(3)分布载荷:沿梁轴线连续分布在较长范围内的横向力，称为分布载荷。

分布载荷的大小用载荷集度q来描述，载荷集度就是沿梁轴线单位长度的作用力，其常用单位为N/mm或N/m。当载荷均匀分布时，q为常数；当载荷非均匀分布时，q为横截面位置x的函数，即q=q(x)。

2.梁支座的简化

梁的支座可以简化为以下三种形式：

(1)活动铰支座:如图4－5(a)所示,它对梁的约束力FR沿支承面法线方向，图4－5(a)给出了活动铰支座及其约束力简图。

(2)固定铰支座:如图4－5(b)所示,在研究平面问题时，固定铰支座的约束力可用平面内两个分力表示，一般情况下，用沿梁轴方向的约束力FRx与垂直于梁轴方向的约束力FRy来表示。

(3)固定端:如图4－5(c)所示,在研究平面问题时，相应约束力用三个分量表示,即沿梁轴方向的约束力FRx、垂直于梁轴方向的约束力FRy和位于纵向对称面内的约束力偶Me。图

4－5图

4－6上述三种梁都可以用静平衡方程来计算约束力，属于静定梁。有时为了保证梁的强度和刚度，为一个梁设置较多的支座，从而使梁的约束力数目多于独立静平衡方程数目，这时单凭静力学知识就不能确定全部约束力，这种梁称为静不定梁〔超静定梁〕。 4.3弯曲内力及内力图

梁横截面上的内力——剪力与弯矩

梁的外力确定后，就可用截面法分析梁的内力。

如图4－7(a)所示简支梁，用截面法确定距A端为x处截面m－m上的内力。假想沿m－m截面将梁截开，分成左右两段，任选其中一段，例如左段〔见图4－7(b)〕进行研究。在左段梁上作用有外力FAy与F1，为了保持左段平衡，m－m截面上一定存在内力。为了分析其内力，将作用在左段梁上的所有外力均向截面形心C简化，得主矢FS′和主矩M′。由于外力均垂直于梁轴，主矢FS′也垂直于梁轴。由此可见，当梁弯曲时，横截面上必然同时存在两种内力分量：与主矢平衡的内力FS；与主矩平衡的内力偶矩M。这种作用线与横截面相切的内力称为剪力，记为FS；作用在纵向对称面的内力偶矩称为弯矩，记为M。根据左段梁的平衡方程可得剪力FS的大小等于左段梁上所有横向外力的代数和，弯矩M的大小等于左段梁上所有外力对形心C取矩的代数和同理，如果以右段梁为研究对象(见图4－7(c))，并根据右段梁的平衡条件计算m－m截面的内力，将得到与左段大小相同的剪力和弯矩，但是其方向相反。图

4－7为了使选择不同研究对象得到的同一横截面上的剪力和弯矩，不但在数值上相同，而且正负号也一致，剪力和弯矩的正负号需根据变形来确定。规定如下：在梁内欲求内力截面的内侧切取微段，凡使该微段沿顺时针方向转动的剪力规定为正(见图4－8(a))，反之为负；使微段产生下凹变形的弯矩规定为正(见图4－8(b))，反之为负。

按此规定，图4－7(b)、

(c)所示的m－m截面上的剪力与弯矩均为正值。图

4－8例4－1图4－9所示外伸梁上的外载荷均为，试求图示各指定截面的剪力和弯矩。图

4－9解〔1〕求梁的约束力。由静平衡方程可得

解得〔2〕计算各指定截面的内力。对于截面5－5，取该截面右侧局部为研究对象，其余各截面均取相应截面左侧局部为研究对象。根据静平衡方程可求得:

1－1截面：〔因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。〕2－2截面：3－3截面：4－4截面：5－5截面：剪力图与弯矩图

一般情况下，在梁的不同横截面上，剪力与弯矩均不相同，即剪力与弯矩随横截面位置的不同而变化。为了描述剪力与弯矩沿梁轴线的变化情况，取梁的轴线为x轴，以坐标x表示横截面的位置，剪力、弯矩可表示成横截面位置x的函数，即上述关系式分别称为剪力方程和弯矩方程。描述剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法是图示法。与轴力图、扭矩图的表示方式类似，作图时，以x为横坐标轴，表示横截面位置，以FS或M为纵坐标轴，分别绘制剪力、弯矩沿梁轴线变化的曲线，上述曲线分别称为剪力图与弯矩图。

剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解决梁的弯曲强度和刚度问题都必不可少、同等重要，所以，剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图是分析弯曲问题的重要根底。

例4－2某填料塔塔盘下的支承梁，在物料重力的作用下，可以简化为一承受均布载荷的简支梁，如图4－10(a)所示，在全梁长度l上承受集度为q的均布载荷作用，试作梁的剪力、弯矩图。图4－10解〔1〕计算约束力。均布载荷合力为FR=ql，并作用在梁中点，所以，A端与B端的约束力分别为(2〕建立剪力、弯矩方程。从距左端为x的任意截面处截开，研究左半段，根据静平衡方程可得(a)

(b)〔3〕画剪力、弯矩图。由式(a)知，剪力FS为x的一次函数，剪力图为一条斜向下的直线，并计算得画出剪力图如图4－10(c)所示。由式(b)知，弯矩M为x的二次函数，弯矩图为一条开口向下的抛物线，并计算得画出弯矩图如图4－10(d)所示。例4－3图4－11(a)所示简支梁，在梁上C点处承受集中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解〔1〕计算约束力。以梁AB为研究对象，对B、A两点分别列出矩式平衡方程∑MB=0和∑MA=0，可解得A端和B端的约束力分别为图4－11(2〕建立剪力、弯矩方程。由于在截面C处作用有集中载荷F，故应将梁分为AC和CB两段，分段建立剪力与弯矩方程。

对于AC段，以A点为原点，坐标轴x1向右为正，由图4－11(b)可知，该段梁的剪力、弯矩方程分别为(a)(b)对于CB段，为计算方便，以B点为原点，坐标轴x2向左为正，由图4－11(c)可知，该段梁的剪力、弯矩方程分别为(c)(d)〔3〕画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图〔见图4－11(d)〕；根据式(b)、(d)画弯矩图〔见图4－11

(e)〕。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为如果a>b，那么CB段的剪力绝对值最大，其值为如果集中载荷作用在梁中点，即

时由剪力、弯矩图可以看出，在集中力作用处，其左右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力发生突变，突变量等于该集中力的大小。

例4－4图4－12(a)所示悬臂梁，承受集中载荷F与集中力偶Me=Fa作用，试作梁的剪力、弯矩图。图4－12解〔1〕建立剪力、弯矩方程。由于在截面C处作用有集中力偶，故应将梁分成AC、CB两段。对于AC段，选坐标x1，可以看出，AC段的剪力、弯矩方程分别为对于CB段，选坐标x2，可以看出，CB段的剪力、弯矩方程分别为〔2〕画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画出剪力图〔见图4－12(b)〕；根据式(b)、(d)画出弯矩图〔见图4－12

(c)〕。

由剪力、弯矩图可以看出，在集中力偶作用处，左右两侧横截面上的剪力相同，而弯矩发生突变，突变量等于该力偶矩的大小。例4－5图4－13(a)所示的简支梁，承受集中载荷F＝qa与半跨度均布载荷q的作用，试作梁的剪力、弯矩图。

解〔1〕计算约束力。由平衡方程∑MB＝0与∑MA＝0可分别计算出A端、B端约束力分别为方向如图4－13(a)所示。图4－13(2〕建立剪力、弯矩方程。截面C处，既是集中载荷作用处，也是分布载荷的不连续处，故应将梁分为AC、CB两段。对于AC段，以A为原点，坐标轴x1向右为正，可以看出，AC段的剪力、弯矩方程分别为对于CB段，以B为原点，坐标轴x2向左为正，可以看出，CB段的剪力、弯矩方程分别为(c)(d)由剪力图、弯矩图可知，截面A处的剪力最大，其值为截面C处的弯矩最大，其值为

4.4剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系本节研究剪力、弯矩与载荷集度间的关系，及其在绘制剪力、弯矩图中的应用。图4－14(a)所示的梁，承受集度为q(x)的分布载荷作用。在此规定载荷集度q向上为正，坐标轴y向上为正，x向右为正。为了研究剪力与弯矩沿梁轴的变化，在梁上切取微段dx(见图4－14(b))。左截面上的剪力和弯矩分别为FS和M，由于微段上作用有连续变化的分布载荷，内力沿梁轴也将连续变化，因此，右截面上的剪力和弯矩分别为FS＋dFS与M＋dM。图4－14在上述各力作用下，微段处于平衡状态，y轴方向的静平衡方程可写为可得(4－1)微段上的所有力对右侧面形心C取矩的代数和为零,即略去高阶微量q(dx)2/2，可得将式(4－2)再对x求导，并考虑到式(4－1)，可得〔4－3〕以上三式即为直梁的剪力FS、弯矩M和载荷集度q(x)间的微分关系。剪力、弯矩与载荷集度间微分关系的几何意义为：剪力图某点处的切线斜率，等于梁上相应截面处的载荷集度；弯矩图某点处的切线斜率，等于相应截面处的剪力；而弯矩图某点处的二阶导数，那么等于相应截面处的载荷集度。特别注意：载荷集度q规定向上为正，x轴向右为正。

根据上述微分关系，可以总结出剪力、弯矩图的下述规律：

〔1〕无载荷作用的梁段:因为q(x)=0，即dFS/dx=0，故FS(x)=常数，那么该梁段的剪力图为水平直线。又因为FS(x)=常数，故dM/dx=FS(x)=常数，那么该段梁弯矩图的切线斜率为常数，弯矩图为一斜直线。由此可见，当梁上仅有集中载荷作用时，其剪力与弯矩图一定是由直线构成的。〔见表4－1(1)〕。〔3〕集中力作用处:在集中力作用处，剪力图有突变，突变量等于集中力的大小；弯矩图有折角(见表4－1(3)〕。

〔4〕集中力偶作用处:在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变量等于集中力偶矩的大小(见表4－1(4)〕。

上述结论可归结为表4－1。表4－1各种形式载荷作用下的剪力图、弯矩图例4－6图4－15(a)所示外伸梁，承受均布载荷q、集中载荷F和集中力偶Me作用，其中F=qa，Me=qa2，试作梁的剪力、弯矩图，并检验其正确性。

解〔1〕计算约束力。研究整个梁，由静平衡方程∑MC=0与∑MB=0，可得B、C端的约束力分别为方向如图4－15(a)所示。图4－15〔2〕建立剪力、弯矩方程。选坐标x1、x2如图4－15〔a)所示，可得梁AB、CB段的剪力，弯矩方程分别为(3〕画剪力、弯矩图。根据上述方程可画出剪力、弯矩图,分别如图4－15(b)与图4－15(c)所示，其中在梁BC段中点D截面上，FSD＝0，弯矩取极值〔4〕检验。先检查A、B和C处的剪力、弯矩值的正确性。A处有向下集中力F，故A处右邻面上的剪力为FS＝－qa，弯矩为零。B点有向上的约束力FBy＝2qa作用，B处剪力图有突变B点有集中力偶Me＝qa2作用，B处弯矩图有突变C点有约束力作用，无集中力偶，故因此，上述三点剪力、弯矩值正确。再检验剪力、弯矩图的图形趋势。AB段无载荷，故剪力图应是一条水平线，弯矩图应是一条斜直线。BC段有向下的均布载荷，故剪力图应是一条从左向右递减的斜直线，弯矩图应是一开口向下的抛物线。对照剪力、弯矩图，符合上述分析，故梁的剪力、弯矩图绘制正确。例4－7一外伸梁受均布载荷和集中力偶作用，如图4－16(a)所示。试作梁的剪力、弯矩图。

解〔1〕求约束力。以悬臂梁为研究对象，根据静平衡方程可求得A、B两处的约束力分别为图4－16〔2〕绘制剪力图。根据梁的受力情况，将梁分为CA、AD、DB三段，CA段上作用有均布载荷，故剪力图为一条斜直线；AD、DB段没有载荷作用，AB间也没有集中力作用，故剪力图为一条水平直线。为准确地画出剪力图，需求出以下分段截面上的剪力值:根据以上数据便可绘出梁的剪力图〔见图4－16(b)〕。由图可见，在截面A处有支座约束力作用，截面A处剪力图有突变，突变量的大小等于该处支座约束力的大小。整个梁上A-面上的剪力绝对值最大，其值为|FS|max=20kN。〔3〕绘制弯矩图。CA段上作用有向下的均布载荷，弯矩图为开口向下的抛物线；AD、DB上无载荷，其弯矩图为斜直线。为准确画出各段的弯矩图，需求出以下各分段截面上的弯矩：根据以上数据可画出梁的弯矩图〔见图4－16(c)〕。由弯矩图可看出，在D截面处作用有集中力偶，弯矩图有突变，突变量等于集中力偶矩的大小。在A截面处弯矩图有折角。整个梁上最大弯矩发生在D+截面，其值为|M|max=15kN·m。 4.5平面刚架与曲杆的内力

工程中，某些机器的机身或机架的轴线是由几段直线组成的折线，如液压机机身、轧钢机机架、钻床床架〔见图4－17〕等。在这种结构中，杆与杆的交点称为节点。由于其刚度很大，受力前后节点处各杆间的夹角保持不变，即杆与杆在节点处不发生相对转动，因此这样的节点称为刚节点。由刚节点连接杆件组成的结构称为刚架。刚节点处的内力通常包含轴力、剪力和弯矩。图4－17工程中还有一些构件，其轴线是一条平面曲线，称为平面曲杆，如活塞环、链环、拱〔见图4－18〕等。平面曲杆横截面上的内力通常包含轴力、剪力和弯矩。下面举例说明平面刚架和平面曲杆内力的计算方法和内力图的绘制。图1－181.平面刚架

平面刚架上的轴力和剪力，其正负规定与直杆相同。而弯矩没有正负号的规定，在画弯矩图时，将弯矩图画在弯曲变形凹入的一侧，即画在杆件受压纤维的一侧即可。

例4－8图4－19(a)所示刚架ABC，设在AB段承