《数学（下册）（第二版）》 课件 第２章　导数与微分

导数与微分第2章75目录2.1导数的概念2.2导数的运算法则2.3微分及应用76教学要求：1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义；知道函数可导与连续的关系.3.会利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数.4.掌握复合函数的求导法，会求复合函数的导数.5.掌握隐函数求导的方法，了解参数方程的求导法.6.了解高阶导数的定义和二阶导数的力学意义，会求函数的二阶导数.7.了解微分的定义及几何意义，会求函数的微分，能利用微分解决一些简单的近似计算问题.771.1导数的概念78导数的概念函数在某一点处的导数设函数y＝f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处有增量Δx时，函数y有增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），如果极限存在，则称函数y＝f（x）在点x0处可导，并称此极限值为函数y＝f（x）在点x0

处的导数，记作f′（x0）或

或

，即79如果上述极限不存在，则称函数y＝f（x）在点x0

处不可导．函数增量与自变量增量之比

是函数在Δx区间上的平均变化率，而导数f′（x0）则是函数y＝f（x）在点x0处的瞬时变化率，它反映了函数y＝f（x）在点x0处变化的快慢程度．根据导数的定义，实例考察中的两个实例用导数的概念可表述如下：（1）变速直线运动的物体在时刻t0的瞬时速度，就是位移s＝s（t）在t0

处对时间t的导数，即80（2）在直角坐标系中，曲线y＝f（x）在点A（x0，y0）处的切线斜率，就是纵坐标y＝f（x）在点x0处对横坐标x的导数，即函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）也可表示为81函数在某一点处的左、右导数若比值

在点x0处的左极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处左导数，记为f′－（x0）．若比值在点x0处的右极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处右导数，记为f′＋（x0

）．函数y＝f（x）在点x0处可导的充分必要条件是f（x）在该点的左、右导数都存在且相等．82函数的导数如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点处都可导，则称函数y＝f（x）在（a，b）内可导．这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都对应着唯一确定的函数值f′（x），于是就确定了一个新的函数，这个新的函数称为函数y＝f（x）的导函数，简称导数，记作f′（x）或y′或

，且显然，函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导数f′（x）在点x＝x0处的函数值，即83导数的几何意义由切线问题的讨论及导数的定义可以知道，函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）在几何上表示曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的切线的斜率，即k＝tanα＝f′（x0）．84过切点A（x0，f（x0））且垂直于切线的直线称为曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的法线．如果f′（x0）存在，则曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），法线方程为85可导与连续的关系定理如果函数y＝f（x）在点x0处可导，则函数y＝f（x）在点x0处连续．证明函数y＝f（x）在点x0处可导，即存在，其中Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），得到所以，函数y＝f（x）在点x0处连续．值得注意的是，即使函数y＝f（x）在点x0处连续，函数y＝f（x）在点x0处也不一定可导．862.2导数的运算法则87函数的和、差、积、商的求导法则设函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可导．下面我们来考察它们的和y＝u（x）＋v（x）在点x处的导数．当自变量在x处有增量Δx时，函数u＝u（x），v＝v（x）及y＝u（x）＋v（x）相应地分别有增量Δu，Δv，Δy．因为Δy＝[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]

＝[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v（x）]

＝Δu＋Δv，88所以由于函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可导，即因此，有y′＝u′＋v′，这表明函数y＝u（x）＋v（x）在点x处也可导，即（u＋v）′＝u′＋v′．实际上，我们也可推出它们的差、积、商（当分母不等于0时）在点x处可导．8990复合函数的求导法则利用函数的四则运算的求导法则和基本初等函数的导数公式，可以来求一些简单的函数的导数，对于复合函数的求导问题，我们有如下重要的求导法则．91复合函数求导的关键在于首先把复合函数分解成初等函数，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算．注意求导之后应该把引入的中间变量代换成原来的自变量．对复合函数分解比较熟练后，就不必再写出中间变量，只要明确中间变量所对应的函数表达式，运用复合函数的求导法则，逐层求导．复合函数求导法可推广到两个以上中间变量的情形．92三个求导方法隐函数求导法我们此前遇到的函数都是用y＝f（x）这样的形式来表示，例如，y＝x3－cosx，y＝ln3x等，这种方式表示的函数称为显函数．但有些函数不是以显函数的形式出现的，例如，ex－ey＝xy，x－y＝siny等，这些二元方程也可以表示一个函数，这样的函数叫作隐函数．求隐函数的导数，并不需要先把隐函数化为显函数（事实上，有些隐函数是不能显函数化的），而是可以利用复合函数的求导法则，将二元方程的两边同时对x求导，并注意到y是x的函数，就可直接求出隐函数的导数y′．93至此，我们已经把基本初等函数的导数公式全部推导出，为了方便查阅，汇总如下．94对数求导法在求导运算中，常会遇到这样两类函数的求导问题，一是幂指函数y＝[f（x）]g（x），二是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数．对这样的函数，可先对等式两边取自然对数，把函数变成隐函数的形式，然后利用隐函数求导法求出结果．95参数方程求导法在平面解析几何中，我们学过参数方程，它的一般形式为一般地，上述方程组确定的y与x之间的函数关系称为由参数方程所确定的函数y＝f（x）．例如，已经学过的一种椭圆的参数方程就确定了y与x之间的函数关系，这个函数通过参数t联系起来．96现在来求由参数方程（t为参数，t∈I）所确定的函数y对x的导数，直接消去t有时会很难，事实上，根据复合函数求导法则可知97高阶导数设物体做变速直线运动，它的位移函数为s＝s（t），则它的瞬时速度为v＝s′（t）．此时，若速度v仍是时间的函数，我们可以求速度v＝v（t）对时间t的导数（即速度对时间的变化率），得到物体的瞬时加速度a＝v′（t）＝[s′（t）]′，它是位移函数的导数的导数．这种导数的导数称为s＝s（t）对时间t的二阶导数．98类似地，如果函数y＝f（x）的二阶导数y″的导数存在，这个导数就称为函数y＝f（x）的三阶导数，记作y

‴或f

‴（x）或一般地，如果函数y＝f（x）的n－1阶导数的导数存在，这个导数就称为函数y＝f（x）的n阶导数，记作y（n）或f（n）（x）或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，称y′＝f′（x）为一阶导数．992.３微分及应用100微分的概念函数的微分的定义设函数y＝f（x）在点x处可导，则f′（x）＝，由无穷小与函数极限的关系可知，于是Δy＝f′（x）Δx＋αΔx．上式表明，当f′（x）≠0时，函数的增量可以分成两部分：一部分是f′（x）Δx，它是Δy的主要部分，且是Δx的线性函数，我们把它称为Δy的线性主部；另一部分是αΔx，当Δx→0时，它是比Δx高阶的无穷小．所以当Δx很小时，可以忽略不计，即Δy≈f′（x）Δx．101一般地，我们给出下面的定义．通常把自变量的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，因此，函数y＝f（x）的微分又可记为dy＝f

′（x）dx．102从而有上式表明，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于函数的导数，因此导数又叫作微商．在前面我们把

当作一个整体的记号，现在有了微分的概念，

就可以看作是一个分式．从微分的定义可以看出可导与微分之间存在联系，一元函数在某点处可导等价于在某点处可微，把可导函数也称为可微函数．103微分的几何意义设函数y＝f（x）的图像如图所示，过曲线y＝f（x）上一点M（x，y）作切线MT，设MT的倾斜角为α，由导数的几何意义tanα＝f′（x）．当自变量x有增量Δx时，切线MT的纵坐标相应也有增量QP＝tanαΔx＝f′（x）Δx＝dy．104因此，微分dy＝f′（x）Δx图形上表示当x有增量时，曲线y＝f（x）在对应点M（x，y）处的切线的纵坐标的增量．用dy近似代替Δy，就是用点M处的切线纵坐标的增量QP近似代替曲线y＝f（x）的纵坐标的增量QN，且丨Δy－dy丨＝PN，当Δx→０时，丨Δy－dy丨是比Δx高阶的无穷小．105微分公式与微分的运算法则由函数微分的定义dy＝f′（x）dx可知，要计算函数的微分，只需要求出函数的导数，再乘以自变量的微分就可以了．因此，由导数的基本公式和运算法则可以直接推出微分的基本公式和运算法则．微分的基本公式106函数的和、差、积、商的微分法则设函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可微，则有（1）d（u±v）＝du±dv；（2）d（uv）＝vdu＋udv，特别地，d（Cu）＝Cdu（C为常数）；（3）

（v≠0），特别地，107复合函数的微分由复合函数的求导法则，可以得到复合函数的微分法则．设y＝f（u），u＝φ（x）均可微，则复合函数y＝f（φ（x））也可微（u为中间变量），且复合函数y＝f（φ（x））的微分为dy＝f′（u）φ′（x）dx＝f′（φ（x））φ′（x）dx．由于φ′（x）dx＝d（φ（x））＝du，所以，复合函数y＝f（φ（x））的微分也可以写成dy＝f′（u）du．从上式的形式来看，它与y＝f（u）（u为自变量）的微分dy＝f′（u）du形式一样．这个性质称为微分形式的不变性．也就是说，不管u是自变量还是中间变量，函数y＝f（u）的微分形式总可以用dy＝f′（u）du来统一表示．利用这一性质可直接求一些复合函数的微分