金融数学课件ch3 鞅

金融数学第三章鞅中国人民大学出版社PAGE金融数学第三章鞅中国人民大学出版社PAGE40/57第三章鞅第三章鞅金融数学中国人民大学出版社鞅的起源鞅的起源(martingale)(doublegambling)，在该策略下，如果每次输了就把下注的资金翻倍。对于公平赌博而言，如此反复最终总能赢钱。而在马术上，鞅指的是套在马颈上的缰绳（也称马颔缰，以防止马甩头，并借此控制马的行进方向。鞅的应用鞅的应用鞅(martingale)是一类重要的随机过程。鞅的研究丰富了概率论的内容，很多以往被认为是复杂的东西，在纳入鞅论的框架后得以简化。近几十年来，鞅理论不仅在随机过程中占据重要的地位，而且在金融、保险等领域的实际问题中得到了广泛的应用。相关学者相关学者PaulP.LevyJosephL.DoobPaul-AndréMeyer1886–19711910–20041934–2003本章内容本章内容1条件期望12鞅的概念和性质离散鞅2连续鞅

鞅的金融学意义可选抽样定理3停时的含义可选抽样定理3定理的应用举例条件期望的概念条件期望的概念条件期望XYN次发生的事{Z1Z2ZN}n次事件的信息集为条件，得(conditionalexpectation)条件期望En(X)=E(X|Z1,Z2,...,Zn), En(Y)=E(Y|Z1,Z2,...,Zn)可测的概念可测的概念条件期望随机变量En(X)的值，仅与Z1,Z2,...,Zn条件期望En(X)=E(X|Z1,Z2,...,Zn)=f(Z1,Z2,...,Zn)f(·En(XZ1Z2Zn的En(XZ1Z2Zn(measurable)。条件期望的性质条件期望的性质条件期望线性性质(linearity)：对于所有常数c1和c2，以下等式成立：条件期望En(c1X+c2Y)=c1En(X)+c2En(Y)提取已知量(takingoutwhatisknown)：若X的取值只依赖于n次事件的信息集，则：En(XY)=X·En(Y)在这里，X在n次事件的信息集下是可测的，从而可以从条件期望中提取出来。条件期望的性质条件期望的性质(cont.)条件期望累次条件期望(iteratedconditioning)：若0≤n≤m≤N，则有：条件期望En[Em(X)]=En(X)从中可以看出，X的条件期望，取决于信息集中最小者。特别是针对无条件期望而言，有：E[Em(X)]=E(X)(independence)X(n1)N次事件所构成的{Zn+1Zn+2ZN}，则有：En(X)=E(X)因为此处的条件与随机变量X无关。条件期望的性质条件期望的性质(cont.)条件期望詹森（Jensen）不等式：如果ϕ(·)是凸函数，则下列不等式成立条件期望En[ϕ(X)]≥ϕ(En(X))ϕ(x)xϕ(x)x1E(x)x2ϕ(x2)E[ϕ(x)]ϕ(x1)ϕ[E(x)]x离散鞅的概念离散鞅的概念离散鞅鞅的概念和性质假设有一个随机序列{Xn},n=0,1,2,...，若对∀n≥离散鞅鞅的概念和性质E|Xn|<∞，并且E(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=Xn离散鞅具有某种无后效性，并且随机变量Xn+1对之前所有信息下的条件期望，只取决于n时刻的Xn离散鞅具有某种无后效性，并且随机变量Xn+1对之前所有信息下的条件期望，只取决于n时刻的Xn，而与n时刻之前的随机变量序列X0,X1,...,Xn−1无关，并且该条件期望刚好等于n时刻的随机变量Xn。注意：对比：马氏过程对比：马氏过程离散鞅鞅的概念和性质离散鞅的表达式：E(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=X离散鞅鞅的概念和性质马氏过程的表达式：P(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=P(Xn+1|Xn)对于布朗运动而言，其既是马氏过程也是鞅。注意：进行对比可知：鞅是通过条件期望定义的，侧重于未来结果的公平性；马氏过程则是通过条件概率定义的，侧重于过程的无记忆性，因此两者之间并无太多的相关性。对于布朗运动而言，其既是马氏过程也是鞅。注意：例子：对称随机游走例子：对称随机游走离散鞅鞅的概念和性质假设单位时间内，某粒子在一维坐标上可能向左或向右游走一个单+150%Xi离散鞅鞅的概念和性质P(Xi=+1)=P(Xi=−1)=0.5nSnX1X2···Xn，并且S00。Sn+1=Sn+Sn+1=Sn+Xn+1提示：对称随机游走证明对称随机游走证明离散鞅鞅的概念和性质根据Sn+1=Sn+Xn离散鞅鞅的概念和性质E(Sn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn+Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn|S0,S1,...,Sn)+E(Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn|S0,S1,...,Sn)+E(Xn+1)=Sn+[0.5×(+1)+0.5×(−1)]=SnS0S1SnE(Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Xn+1)对称随机游走证明对称随机游走证明(cont.)离散鞅离散鞅鞅的概念和性质1「1n 171XXi

（n ＼ EEE(|Sn|)=E因此，Sn是鞅。

1i=1 1≤

ni=1n

|Xi|

=i=1

E(|Xi|)=n<∞定义和定理定义和定理定义离散鞅鞅的概念和性质{Xn{Ynn012定义离散鞅鞅的概念和性质1E|Xn|<∞；2Xn是关于Y0,Y1,...,Yn的函数；3E(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=Xn。定理则称{Xn}是关于{Yn}的鞅。定理{{Xt}是关于{Yt}鞅的充要条件为：∀m,n(m>n>0)，有：E[Xm|Y0,Y1,...,Yn]=Xn鞅的推论鞅的推论1根据鞅的定义有：E(cn+1|Y0,Y1,...,Yn)=E(c|Y0,Y根据鞅的定义有：E(cn+1|Y0,Y1,...,Yn)=E(c|Y0,Y1,...,Yn)=c=cn因此，{cn}为鞅。简要证明离散鞅鞅的概念和性质鞅的推论鞅的推论2简要证明离散鞅鞅的概念和性质若{Xn}为鞅，则对任意n≥0，有：EXn=EX简要证明离散鞅鞅的概念和性质 l由于{Xn}为鞅，因此E(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=X lEE(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=E(Xn) l根据前面条件期望的性质 lEE(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=E(Xn+1)因此，E(Xn+1)=E(Xn)。依此类推，最终可得：E(Xn+1)=E(Xn)=···=E(X1)=E(X0)由此可见，若随机过程{Xn}是鞅，则其期望值不随时间而发生改变。例子：公平赌博的双倍下注问题例子：公平赌博的双倍下注问题离散鞅鞅的概念和性质MnnM00Xnn次赌博的结果，Xn1表示赢钱；Xn−离散鞅鞅的概念和性质由于是公平赌博，因此，P(Xn=1)=P(Xn=−1)=0.5，这里赌博的规则是：如果输钱，则下次下注翻倍；一旦赢钱就离开赌场。n次赌博均输钱，则输掉的总金额为：1+2+22+···+2n−1=2n−1 ⇒ Mn=−2n+1公平赌博的双倍下注问题公平赌博的双倍下注问题(cont.)离散鞅鞅的概念和性质如果下一次赢钱，则可得2n离散鞅鞅的概念和性质Mn+1=2n−(2n−1)=1如果下一次仍然输钱，则：Mn+1=−2n−(2n−1)=−2n+1+1由此可得：1 1 （ ）E(Mn |Mn)= ×1+ ×−2n+1+1=−2n+1=Mn+1 2 2可见，Mn是鞅。例子：波利亚坛子例子：波利亚坛子(Polya’surn)问题离散鞅鞅的概念和性质考虑一个装有红黄两色小球的坛子。在初始状态下，红黄小球各一个，每次从中抽取一个小球并放回。若拿出的是红色小球，则放回后再XnnX0离散鞅鞅的概念和性质P(Xn+1

k=k+1|Xn=k)=n+2

, P(Xn+1

k=k|Xn=k)=1−n+2MnnMnXn/(n2)，试证明Mn是一个关于{Xn}的鞅。波利亚坛子问题求解波利亚坛子问题求解离散鞅离散鞅鞅的概念和性质E(Xn+1|Xn=k)=(k+1)·P(Xn+1=k+1|Xn=k)=(k+1)·k+k·（1−k＼+k·=(k+1)·k+k·（1−k＼n+2k

n+2因此：

=k+n+2E(Xn+1

Xn|Xn)=Xn+n+2波利亚坛子问题求解波利亚坛子问题求解(cont.)离散鞅鞅的概念和性质由于Mn=Xn离散鞅鞅的概念和性质n+2E(Mn

|X,...,Xn)=E（Xn+11X,...,Xn＼+1111+1111=n+3E(Xn+1|Xn)n+31=1（Xnn+31n+3Xn=n+2=Mn因此，Mn是一个关于{Xn}的鞅。

n+2连续鞅的引入连续鞅的引入连续鞅鞅的概念和性质连续鞅鞅的概念和性质可积(integrable)；域流(filtration)。可积的定义连续鞅可积的定义连续鞅鞅的概念和性质可积的概念可积的概念对于一个随机变量对于一个随机变量X1若E|X|<∞，则称X是可积的(integrable)；2若E(X2)<∞，则称X是平方可积的(squareintegrable)。根据可积的定义可知：E(X)≤E|X|<∞因此，当随机变量X可积时，其期望值必然是有限的。类似地，当X是平方可积时，其方差也必然是有限的。域流的定义连续鞅域流的定义连续鞅鞅的概念和性质域流的概念域流的概念Tt[0T]σ代数F(t0stTF(s)F(t成立，则{F(t)},t[0Tσ(filtration)。F(t[0t(information)。随着时间的推移，信息量逐渐增加，体现为新时刻包含了旧时刻的所有信息。由这些{F(0)F(1)F(t)F(0)F(1)···F(t)。基于条件期望的结论基于条件期望的结论连续鞅鞅的概念和性质对于可积随机变量X和Y连续鞅鞅的概念和性质E[c1X+c2Y|F]=c1E[X|F]+c2E[Y|F]其中：c1和c2是常数。若X和Y是可积随机变量，XY可积，并且X为F可测，则有：E[XY|F]=XE[Y|F], E[X|F]=X由于X为F可测，因此F中所包含的信息足以确定X的值。基于条件期望的结论基于条件期望的结论(cont.)连续鞅鞅的概念和性质若可积随机变量X与F连续鞅鞅的概念和性质E[X|F]=E[X]由于X与F独立，因此F中所包含的信息无法确定X的值。若F⊂G，则对于可积随机变量X，下式成立：EE[X|G]|Fl=E[X|F]这里由于F⊂G，因此F中所包含的信息要小于G，于是最终的条件期望取决于信息量较少的F。基于条件期望的结论基于条件期望的结论(cont.)连续鞅鞅的概念和性质若ϕ(x)是关于x的凸函数，且X连续鞅鞅的概念和性质注意：Eϕ(X)|Fl≥ϕ（E[|F]）注意：该结论是前面所介绍的条件期望之该结论是前面所介绍的条件期望之Jensen不等式的直接推广。连续鞅的定义连续鞅的定义连续鞅鞅的概念和性质{ΩFPMt满足以下三个条件，则称其{F(t)连续鞅鞅的概念和性质对任意t，有E|Mt|<∞，即Mt是可积的；Mt对任意t均是F(t)可测的(measurable)；若s<t，则E[Mt|F(s)]=Ms, a.s.原公式等价公式连续鞅原公式等价公式连续鞅鞅的概念和性质两个等价公式两个等价公式E[E[Mt|F(s)]=MsE[Mt−Ms|F(s)]=0E「MtMs1F(s)=1l例：泊松过程是鞅例：泊松过程是鞅思路：连续鞅鞅的概念和性质假设泊松过程{N(t),t≥0}的强度为λ，试证：N(t)−λt思路：连续鞅鞅的概念和性质设s>t，记X(t)=N(t)−λt，可得： l l1E[X(s)−X(t)|F(t)]=EsN(s)−λs−N(t) l l1=Es(s)−(t)l1F()1−(λs−λt)简要证明简要证明连续鞅鞅的概念和性质 l根据泊松过程的增量独立性，N(s)−N(t)与F连续鞅鞅的概念和性质 lE[X(s)−X(t)|F(t)]=EN(s)−N(t)−λ(s−t)=EN(s)−EN(t)−λ(s−t)=λs−λt−λ(s−t)=0因此，X(t)=N(t)−λt是一个鞅。更进一步地，还可以验证X(t)可积，即：E|X(t)|=E|N(t)−λt|≤E[(t)+λt]=E(t)+λt=2λt<∞定义连续鞅定义连续鞅鞅的概念和性质上鞅和下鞅上鞅和下鞅对于随机过程对于随机过程Mt，若s<t并且满足：1E[Mt|F(sMsMt(submartingale)；2E[Mt|F(sMsMt(supermartingale)；对于下鞅而言下式成立：E[Mt]≥E[Ms], s<t不难看出，随着时间的流逝，Mt的期望值趋向于增大；相反对于上鞅，Mt的期望值趋向于减小。上鞅和下鞅的含义上鞅和下鞅的含义连续鞅鞅的概念和性质连续鞅鞅的概念和性质相比之下，上鞅则意味着赌徒赢钱的期望值随时间而减小，因此是(劣赌)；下鞅意味着赌徒赢钱的期望值随时间而增大，因此(优赌)。布朗运动与鞅布朗运动与鞅连续鞅鞅的概念和性质对于布朗运动W(t)而言，当0连续鞅鞅的概念和性质E[W(t)|F(s)]=E[W(t)−W(s)+W(s)|F(s)]=E[W(t)−W(s)|F(s)]+E[W(s)|F(s)]=E[W(t)−W(s)]+W(s)=W(s)其中：W(t)−W(s)与F(s)独立，并且W(s)是F(s)可测。因此：布朗运动W(t)是关于F(t)的鞅。鞅的金融学意义鞅的金融学意义鞅的金融学意义鞅的概念和性质E[X(t+u)−X(t)|F(t)]=E[X(t+u)|F(t)]−E[X(t)|F(鞅的金融学意义鞅的概念和性质=X(t)−X(t)=0由于鞅在未来的移动方向是不可能被预测的，因此，如果观测到一(trajectory)有明显的趋势性倾向或周期性规律，那么，该随机过程一定不是鞅。(EMH)认为，如果无法利用市场的历史信息对未来资产价格的走势做出任何预测，则这样的市场就是有效的。这一概念与鞅的含义不谋而合。鞅的金融学意义鞅的金融学意义(cont.)鞅的金融学意义鞅的概念和性质在金融工程当中，往往基于无套利分析法对金融产品进行定价。在有效市场中套利机会是不存在的，正因如此，鞅可以看作无套利的数学鞅的金融学意义鞅的概念和性质对常见的金融资产价格进行分析，会发现它们并非都满足鞅的特性。比如熟悉的欧式期权，其时间价值会因为合约到期日的临近而趋于减少，因此欧式期权的价值满足上鞅。停时的含义停时的含义停时的含义可选抽样定理一个定义在正实数域上的随机变量，记作停时的含义可选抽样定理{τ>t}∈F(t), t>0说明：则称τ是停时。说明：关于{τ>t}这一事件的信息只取决于F(t)中的信息。换句话说，若在tτtt时刻停时仍未发生，则τ>t[0t时间段随机变量的所有信F(t)。定理定理简要证明：停时的含义可选抽样定理τθτθτθ简要证明：停时的含义可选抽样定理由于τ和θ均是停时，因此满足：{τ>t}∈F(t), {θ>t}∈F(t) t>0因此：{(τ∧θ)>t}={τ>t并且θ>t}={τ>t}∩{θ>t}∈F(t){(τ∨θ)>t}={τ>t或者θ>t}={τ>t}∪{θ>t}∈F(t)最后的变换来自σ-代数的性质：对交集和并集运算封闭。因而τ∧θ和τ∨θ都是停时。定义：停时的含义定义：停时的含义可选抽样定理首中时刻与停时首中时刻与停时过程过程Xt首次到达x处的时刻即首中时刻，定义如下：τx=min{t:t>0,Xt=x}首中时刻可看作停时的一个特例。在时间离散时，{τxt表示首xttXsx处，即：{τx>t}={Xs x,0≤s≤t}={X0̸=x}∩{X1̸=x}∩···∩{Xt̸=x}∈F(t), t∈N首中时刻首中时刻(cont.)停时的含义可选抽样定理过程到达x或停时的含义可选抽样定理τx,y=min{t:t>0,Xt=x或Xt=y}注意：（ 注意：（ ∈ ]τ=mint [0,T]:Xt=maxXs∈[0,T{ } F即：在[0,T]时间段内，首次到达该区间最大值的对应时点。因为在该时间段内，决定τ>t这一事件是否成立的信息 (t)还不充分。类似地，以下随机变量τx{ } Fτx=max{t:t>0,Xt=x}即：在(0,∞)时间段内，最后一次到达x处的时间。停时的直观理解停时的直观理解停时的含义可选抽样定理2020元的前一天收盘前把它卖了”就不是一个停时规则，停时的含义可选抽样定理停止过程停止过程停时的含义可选抽样定理Zt是定义在正实数域上的随机过程，并且τ是其上的停时，则定义停止过程（stoppedprocess）Zt∧τ停时的含义可选抽样定理Zt∧τ

=Zτ, t≥τZt, t<τ停止过程在金融衍生产品的研究中常用于刻画障碍期权问题，比如对于其中的敲出期权而言，当标的资产的价格达到障碍价格时，该期权自动废止，相应的资产价格变动的过程停留在期权废止的时间，此时停τt；若在该期权到期前，标的资产价格t终止，于是标的资产达到τt。可选抽样定理可选抽样定理(optionalsamplingtheorem)对任意停时0<τ≤t，可得：E(Mτ)=E(Mτ∧t)=E(Mτ∧0)=E(对任意停时0<τ≤t，可得：E(Mτ)=E(Mτ∧t)=E(Mτ∧0)=E(M0)注意：可选抽样定理可选抽样定理可选抽样定理的证明可选抽样定理的证明可选抽样定理可选抽样定理可选抽样定理E[Mt|F(t−1)]=Mt−1停止过程Mt∧τ可以拆分成两个部分，具体如下：M =M1

+M1

=Mτ, τ<t其中，

t∧τ τ{τ<t}

t{τ≥t}、t−1、

Mt, τ≥tMτ1{τ<t}= Mn1{τ=n}n=1金融数学第三章鞅中国人民大学出版社金融数学第三章鞅中国人民大学出版社47/57可选抽样定理的证明可选抽样定理的证明(cont.)可选抽样定理可选抽样定理可选抽样定理E[M∧τ|F(t−1)]=EMτ1{τ<t}|F(t−1)l+EMt1{τ≥t}|F(t−1)lt−1n=1、EMn1{τ=n}|F(t1)lEMt1{τ≥t}|F(tt−1n=1上式当中，由于n≤t−1，故Mn1{τ=n}是F(t−1)可测的，另外EMt1{τ≥t}|F(t−1)l=1{τ≥t}EEMt1{τ≥t}|F(t−1)l=1{τ≥t}E[Mt|F(t−1)]=1{τ≥t}Mt−1EMn1{τ=n}|F(t−1)l=Mn1{τ=n}注意：金融数学第三章鞅中国人民大学出版社PAGE金融数学第三章鞅中国人民大学出版社PAGE53/57可选抽样定理的证明可选抽样定理的证明(cont.)可选抽样定理可选抽样定理可选抽样定理t−1n=1E[t∧τ|F(t−1)]=、n1{τn}+1{τ≥t}M−n=1、t−2、= Mn1{τ=n}+1{τ=t−1}Mt−1+1{τ≥t}Mt−1n=1、t−2、= Mn1{τ=n}+Mt−11{τ≥t−1}n=1=M(t−1)∧τ因此，停止过程Mt∧τ是鞅。布朗运动首中概率的计算布朗运动首中概率的计算定理的应用举例可选抽样定理aba<bX(t0时刻位于x处［(0)=x，并且a≤x≤定理的应用举例可选抽样定理X(t)=x+W(t)记布朗运动首次击中a或b的时间为τa,b，该时刻即为停时：τa,b=记布朗运动首次击中a或b的时间为τa,b，该时刻即为停时：τa,b=min｛t:t≥0,X(t)=a或X(t)=b｝思路：解答：解答：定理的应用举例可选抽样定理由于X(t)是鞅，因此根据可选抽样定理，停止过程X(τa,b∧t)也是鞅。另外X(0)=x,a≤x≤定理的应用举例可选抽样定理E[(τa,b)|(0)=x]=E[(0)|(0)=x]=x运用全概率公式可得：E[(τa,b)|X(0)=x]=a·P[(τa,b=)|(0)=x]+b·P[X(τa,b=b)|X(0)=x]=x解答解答(cont.)定理的应用举例定理的应用举例可选抽样定理P[X(τa,b=a)|X(0)=x]+P[X(τa,b=b)|X(0)=x]=1将两式联立，可得：,P[X(τab=a)|X(0)=x]=b−x,b−a,P[X(τab=b)|X(0)=x]=1−b−x=x−a,b−a b−a布朗运动首中的期望时间计算布朗运动首中的期望时间计算定理的应用举例可选抽样定理aba<bX(t0时刻位于x处［(0)=x，并且a≤x≤定理的应用举例可选抽样定理X(t)=x+W(t)利用W2(t)−t是鞅的性质。思路：求布朗运动X利用W2(t)−t是鞅的性质。思路：解答：解答：定理的应用举例可选抽样定理 l lW2(t定理的应用举例可选抽样定理 l lEX2(t)−t|X(0)=x=EX2(0)−0|X(0)=x=X2(0)=x2 − |根据可选抽样定理，停时X2(τa,b) − |x2=EX2(τa,b) τa,bX(0)