数学实验第四版 教案-教学设计 6-方差分析 实验6.1-6.2 单因素方差分析、双因素方差分析

PAGE1PAGE授课题目(教学章、节或主题)6.1单因素方差分析需用学时1学时教学目标（知识、能力、素养）1、了解单因素方差分析有关的统计知识；2、会借助MATLAB软件会进行单因素方差分析，并对计算结果进行解释分析；3、初步培养用统计分析方法解决相关实际问题的素养。重点难点重点：MATLAB的单因素方差分析有关函数的用法；难点：方差分析知识的理解、适用条件的验证课程思政元素1.通过对Fisher生平和伟大成就的了解，激发学生的学习动力和对科学的追求；2.通过教学案例的讲解让学生感受到方差分析应用的广泛、知识的重要性。教学内容及过程方差分析概述通过例1，讲解方差分析的有关术语、方差分析的作用。试验指标是指试验中所要考察的指标.在例1中产品的销售量就是试验指标.因素是指影响试验指标的条件、原因等.在例1中，要分析不同销售方式对销售量是否有显著影响，销售方式是影响销售量这个试验指标的因素.在实际问题中，影响试验指标的因素可能不止一种.如果方差分析只针对影响试验指标的一个因素进行，称为单因素方差分析.如果同时针对多个因素进行，称为多因素方差分析.本章介绍单因素方差分析和双因素方差分析，它们是方差分析中最常用的.水平指因素的具体表现，如销售的四种方式就是销售方式这个因素的四个水平.有时水平是人为划分的，比如质量被评定为好、中、差.如果一个试验设计中任一因素各水平试验数据的个数相同，则称该试验为均衡（Balance）试验，否则，就被称为不均衡.例1是均衡的.方差分析的目的是推断出对试验指标影响显著的因素.其方法是通过检验因素下不同水平的均值是否相等，从而推断出该因素对试验指标的影响是否显著.单因素方差分析的数学模型模型定义取因素A的r个水平每个水平下要考察的指标看作一个总体，并假定这个总体相互独立且，,即(1)每个总体均服从正态分布,均值可能不同,也可以未知；(2)每个正态总体的方差相同,但方差可以未知；这r个总体相互独立.对每个水平进行次独立试验,，得到样本,其观测值见表6.2.表6.2水平样本观测值表中的可以相等，也可以不等，记所有样本的总个数为n=.由假设知每个样本(和未知)，，且相互独立,即有~，故可视为随机误差.记=，从而得到如下数学模型称其为单因素方差分析的数学模型.假设检验要检验的原假设是：备择假设是记在水平下数据的样本均值为，，因素下的所有水平的样本总均值为，为了分析对比样本之间产生的差异，我们引入偏差平方和来度量各个体间的差异程度，反映了全部试验数据之间的差异，又称为总偏差平方和.把分解如下其中,它反映了在每个水平下的样本均值与样本总均值的差异，是由因素A取不同水平引起的，称为组间(偏差)平方和，也称为因素A的偏差平方和.它表示每个水平下样本值与该水平下的样本均值之间的差异的总和，它是由随机误差引起的，称为误差(偏差)平方和，也称为组内(偏差)平方和.是的无偏估计量.在模型的假定下可得F统计量及其分布=.对于给定的显著性水平，查得临界值的值.由样本观测值计算得到统计量F的观测值，如果(1)，则应拒绝，说明组间差异的影响显著地胜过随机误差的影响，认为因素A的各水平下的均值有显著差异；(2)，则接受，认为因素A的各水平下的均值无显著差异.实际应用中，常采用如下做法：(1)当时，认为因素A对试验指标影响不显著；(2)当时，认为因素A对试验指标影响显著，用记号“*”表示；(3)当时，认为因素A对试验指标影响特别显著，用记号“**”表示.为表达的方便和直观，将上面的分析过程和结果制成一个表格，如下表表6.3单因素方差分析表方差来源平方和自由度值临界值显著性组间误差总计软件中大都使用P值法进行结论判断，这里我们对P值的计算方法不做深究.给定显著性水平后.当拒绝原假设，认为该因素对试验指标影响显著.单因素方差分析的MATLAB实现有关函数介绍单因素方差分析的相关函数有[p,t,s]=anova1(x,group)anova是analysisofvariance的缩写,最后一位是数字1；输入变量x是nχr数据矩阵,n是每个水平数据个数(注意,每个水平的数据必须写成一列的形式),r是水平个数，group是用于标识不同水平的数据的向量,均衡试验可以缺省;输出变量p是大于统计量F的观测值的概率，当p<α时，原拒绝H0.t是方差分析表的文本数据,s是进行多重比较的结构数据.拒绝原假设后需要进行多重比较，以判断各水平之间差异的显著性.c=multcompare(s)其中输入变量s是anova1的输出结果s;输出结果c是两两显著性差异的比较.案例例1某公司采用四种方式推销其产品.为检验不同方式推销产品的效果，随机抽样如下（见表6.1）.试分析销售方式对销售量是否有显著影响(α=0.05).表6.1某公司产品销售方式所对应的销售量序号销售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279总均值81.5具体操作见课件。例2用四种不同的的工艺生产电灯泡，从各种工艺生产的电灯泡中分别抽取样品，并测的样品的使用寿命（单位：h）如表6.6所示.表6.6工艺A1A2A3A4样本观测值1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680平均值1708163515401585检验这四种不同的工艺生产电灯泡的使用寿命是否有显著的差异（=0.05）.具体操作详见课件。讨论、思考、作业练习例题1和例题2，熟悉相关函数用法。完成教材课后题1和2。参考资料（含参考书、文献等）：《数学实验》，萧树铁主编高等教育出版社《数学实验》，李尚志主编高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟，授新课85分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：√理论课讨论课实验课练习课其他教学方式：√讲授讨论指导其他教学资源：√课件√在线课程动画其他授课题目(教学章、节或主题)6.2双因素方差分析需用学时1学时教学目标（知识、能力、素养）1、了解双因素方差分析有关的统计知识；2、会借助MATLAB软件会进行双因素方差分析，并对计算结果进行解释分析；3、初步培养用统计分析方法解决相关实际问题的素养。重点难点重点：MATLAB的双因素方差分析有关函数的用法；难点：方差分析知识的理解、适用条件的验证课程思政元素1.通过对Fisher生平和伟大成就的了解，激发学生的学习动力和对科学的追求；2.通过教学案例的讲解让学生感受到方差分析应用的广泛、知识的重要性。教学内容及过程一、无交互作用的双因素方差分析模型定义设因素取个水平，因素取个水平，我们假定在水平组合下的总体，，方差都等于(可以是未知的)，但总体均值(也是未知的)可能不相等，并假定所有的试验是相互独立的.若每一种因素组合仅做一次试验，则称双因素无重复试验.设水平得到的样本观测值为，试验结果列表6.15如下表6.15无交互作用双因素方差分析的数据结构因素B……均值因素A…………┋┋┋┋┋┋……均值…… 其中行平均值列平均值方差分析的目的是判断两个因素A和B对试验指标的影响是否显著，就是要检验如下假设:判读因素对试验指标影响是否显著，就是要检验下列假设：,即，因素A的影响不显著：不全相等，即因素A的显著影响判断因素B的影响是否显著，就要检验下列假设：，即，因素B的影响不显著：不全相等，即，因素B的影响显著下面构造统计量进行检验.设总的样本均值双因素方差分析时对总变差平方和进行分解为三部分：、和分别反映因素A的组间差异、因素B的组间差异和随机误差的总平方和.它们的计算公式分别为：；为检验因素A的影响是否显著，采用下面的统计量及分布：为检验因素B的影响是否显著，采用下面的统计量及分布：由平方和与自由度可以计算出均方，从而计算出F检验值，如表6.16所示.表6.16无交互作用的双因素方差分析表方差来源平方和自由度F值临界值显著性因素AQAr-1因素BQBs-1误差QE(r-1)(s-1)总计Qrs-1根据给定的显著性水平α在F分布表中查找相应的临界值，将统计量F与进行比较，作出拒绝或不能拒绝原假设的决策.若>，则拒绝原假设，表明均值之间有显著差异，即因素A对试验指标有显著影响；反之,则说明因素A对试验指标没有显著影响；若>，则拒绝原假设，表明均值之间有显著差异，即因素B对观察值有显著影响.反之,这说明因素B对观察值没有显著影响；软件中常通过F统计量对应的p值小于显著性水平,来拒绝原假设.双因素方差分析的MATLAB实现单因素方差分析的相关函数有[p,t,s]=anova2(x)最后一位是数字2；输入变量x是nχr数据矩阵,n是数据在行上的因素水平数据个数，r是因素在列上的水平个数，输出变量p是大于统计量F的观测值的概率，当p<α时，原拒绝H0.t是方差分析表的文本数据,s是进行多重比较的结构数据.拒绝原假设后需要进行多重比较，以判断各水平之间差异的显著性.c=multcompare(s)其中输入变量s是anova1的输出结果s;输出结果c是两两显著性差异的比较.3.案例例3某公司想知道产品销售量与销售方式及销售地点是否有关，随机抽样得如表6.17所示资料，以0.05的显著性水平进行检验.表6.17某公司产品销售方式及销售地点所对应的销售量地点一地点二地点三地点四地点五方式一7786818883方式二9592789689方式三7176688174方式四8084797082具体操作见课件。二、有交互作用的双因素方差分析1.模型定义设两个因素分别是A和B，因素A共有个水平，因素B共有个水平，为对两个因素的交互作用进行分析，每组试验条件的试验至少要进行两次，若对每个水平组合水平下（）重复t次试验，假定每种组合的总体且相互独立.每个水平下的样本与总体服从同一分布，即每次试验的结果用表示，有交互作用的双因素方差分析的数据结构如表6.19所示.表6.19有交互作用双因素方差分析的数据结构因素B……均值因素A,,…,……,,…,,,…,……,,…,┋┋┋┋┋,,…,……,,…,均值水平的均值，，总均值.其任务就是要根据这些样本观测值来检验因素、及其交互作用对试验的结果的影响是否显著.因此我们提出如下假设：对于因素提出假设：：因素的影响不显著，：因素的影响显著.对于因素提出假设：：因素的影响不显著，，因素的影响显著.对于因素、的交互作用提出假设：：因素、交互作用的影响不显著，：因素、交互作用的影响显著.与无交互作用的双因素方差分析不同，总变差平方和将被分解为四个部分.其中，、、和分别反映因素A的组间差异、因素B的组间差异、因素A、B的交互效应和随机误差.由平方和除以自由度可以计算出均方差，从而计算出F检验值，如表6.20所示.表6.20有交互作用的双因素方差分析表方差来源平方和自由度F值临界值显著性因素AQAr-1因素BQBs-1交互作用IQI(r-1)(s-1)误差QErs(t-1)总计Qrst-1根据给定的显著性水平α在F分布表中查找相应的临界值，将统计量F与进行比较，作出拒绝或不能拒绝原假设的决策.若>，则拒绝原假设，表明因素A对试验指标有显著影响；若>，则拒绝原假设，表明因素B对试验指标有显著影响；若>，则拒绝原假设，表明因素A、B的交互效应对试验指标有显著影响.软件中常通过F统计量对应的p值小于显著性水平,来拒绝原假设.MATLAB函数介绍在MATLAB统计工具箱中，双因素方差分析的命令是p=anova2(x,rep)其中，x数据矩阵,rep给出重复试验的次数.应用案例例4电池的板极材料与使用的环境温度对电池的输出电压均有影响.今材料类型与环境温度都取了三个水平，测得输出电压数据如表6.21所示，问不同材料、不同温度及它们的交互作用对输出电压有无显著影响（α=0.05）.表6.21材料与环境温度的输出电压影响的测试表材料类型环境温度15℃25℃35℃11551804080757082582188159